Álgebra para o Cálculo 1: caderno de revisão

CADERNO DE REVISÃO

Álgebra para o Cálculo 1

Teoria explicada, exemplos resolvidos e erros clássicos

Baseado nos Testes de Verificação de Álgebra, Cálculo, James Stewart

Curso de Engenharia Civil

Como usar este caderno

Cada bloco segue a mesma estrutura: (1) a ideia por trás da regra, (2) a regra formal, (3) exemplo resolvido passo a passo e (4) o erro clássico associado.

Copie bloco por bloco à mão, o ato de escrever fixa mais que a leitura. Depois de alguns dias, tape a resolução e refaça os exemplos do zero. No fim do caderno há um roteiro de revisão espaçada.

Sumário

Bloco 1, Potências

1.1 O que é um expoente, de verdade

Expoente é apenas contagem de multiplicações repetidas:

34 = 3 · 3 · 3 · 3 = 81

Todas as regras de potência abaixo são essa contagem organizada. Se você esquecer uma regra na prova, expanda e conte, sempre funciona.

1.2 Onde está o parêntese?

Esta é a fonte de erro nº 1 do capítulo:

(−3)4 = (−3)(−3)(−3)(−3) = +81 −34 = −(3 · 3 · 3 · 3) = −81

Por que a diferença? No primeiro caso o parêntese diz "o número é −3, multiplique-o quatro vezes". No segundo, o expoente gruda apenas no 3; o sinal de menos fica de fora, esperando o resultado.

Regra de leitura: expoente é mais forte que sinal de menos. Só o parêntese muda isso.

• Base negativa com expoente par → resultado positivo (os sinais se cancelam aos pares).

• Base negativa com expoente ímpar → resultado negativo (sobra um menos).

1.3 Expoente negativo significa inverter

a−n = 1 / an

Por quê? Porque am / an = am−n. Fazendo m = 0, temos 1 / an = a0−n = a−n.

Atenção: expoente negativo não produz número negativo. Ele produz uma fração.

3−4 = 1/81 (positivo!)

Quando a base é fração, o efeito é virar de cabeça para baixo:

(2/3)−2 = (3/2)2 = 9/4

1.4 Expoente fracionário significa raiz

am/n = ⁿ√(am) = (ⁿ√a)m

O denominador do expoente é o índice da raiz. O numerador é a potência.

Exemplo comentado: 16^{−3/4}

O sinal de menos manda inverter: 1 / 163/4

O 4 embaixo é raiz quarta: ⁴√16 = 2

O 3 em cima é o cubo: 23 = 8

Resposta: 1/8

Dica de ordem: tire a raiz primeiro, depois eleve. Por 163/4, a raiz primeiro dá 23 = 8; a potência primeiro dá ⁴√4096, mesma resposta, muito mais trabalho.

1.5 Tabela das propriedades

Propriedade · Fórmula · Ideia

Produto · am · an = am+n · juntar os fatores

Quociente · am / an = am−n · cancelar fatores

Potência de potência · (am)n = amn · grupos de grupos

Produto elevado · (ab)n = an bn · distribui sobre produto

Fração elevada · (a/b)n = an / bn · distribui sobre quociente

Expoente zero · a0 = 1 (a ≠ 0) · porque an/an = 1

NÃO EXISTE "(a + b)n = an + bn".

Expoente distribui sobre multiplicação e divisão, nunca sobre soma. Guarde isso, é o erro mais caro do semestre.

1.6 Exemplo integrado (questão 2c do teste)

[ (3×3/2 y3) / (x2 y−1/2) ]−2

Estratégia: simplifique o miolo antes de aplicar o expoente de fora. Sempre.

Passo 1: quociente de mesma base: subtraia expoentes

x: 3/2 − 2 = −1/2 y: 3 − (−1/2) = 7/2

Miolo: 3 x−1/2 y7/2

Passo 2: aplique o −2 a cada fator (multiplique os expoentes)

3−2 = 1/9 x(−1/2)(−2) = x1 y(7/2)(−2) = y−7

Passo 3: expoentes negativos descem para o denominador

Resposta: x / (9 y7)

Bloco 2, Radicais

2.1 Extrair fator do radical

√200 = √(100 · 2) = √100 · √2 = 10√2

Método: procure o maior quadrado perfeito que divide o número, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144…

Só depois de extrair é que dá para somar radicais:

√200 − √32 = 10√2 − 4√2 = 6√2

Repare: √2 funciona como se fosse uma letra. 10√2 − 4√2 é igual a 10k − 4k = 6k.

Radicais só somam se forem idênticos.

2.2 O que vale e o que não vale

Situação · Expressão · Vale?

Raiz de produto · √(ab) = √a · √b (a, b ≥ 0) · SIM

Raiz de quociente · √(a/b) = √a / √b · SIM

Raiz de soma · √(a + b) = √a + √b · NÃO

Teste rápido de falsidade: ponha a = b = 1 e veja se quebra.

√(1+1) = √2 ≈ 1,41 mas √1 + √1 = 2

Falso. Guarde esse teste, serve para qualquer identidade suspeita do exercício 10.

2.3 Racionalização pelo conjugado

O conjugado de √5 − 2 é √5 + 2. Multiplicando os dois:

(√5 − 2)(√5 + 2) = 5 − 4 = 1

Por que funciona? É a diferença de quadrados (a − b)(a + b) = a² − b². Elevar ao quadrado destrói a raiz, que é exatamente o objetivo.

Exemplo (questão 6a)

√10 / (√5 − 2) × (√5 + 2)/(√5 + 2) = √10 (√5 + 2) / 1

= √50 + 2√10 = 5√2 + 2√10

2.4 Racionalizar o NUMERADOR, a técnica mais importante do capítulo

Questão 6b:

( √(4 + h) − 2 ) / h

Se você tentar h = 0 direto: (2 − 2)/0 = 0/0. Indeterminado. Travou.

A saída é multiplicar pelo conjugado de cima:

[ √(4+h) − 2 ] / h × [ √(4+h) + 2 ] / [ √(4+h) + 2 ]

= [ (4 + h) − 4 ] / { h [ √(4+h) + 2 ] } = h / { h [ √(4+h) + 2 ] }

= 1 / [ √(4+h) + 2 ]

Agora h = 0 funciona: 1/(2 + 2) = 1/4.

Por que isso importa tanto

Essa expressão é a definição de derivada de f(x) = √x no ponto x = 4. Você vai refazer essa conta dezenas de vezes ao longo do semestre.

A ideia central do Cálculo inteiro está aqui: manipular algebricamente até o h do denominador cancelar, e só então substituir.

Bloco 3, Produtos notáveis e fatoração

3.1 Os produtos notáveis

Nome · Fórmula

Quadrado da soma · (a + b)² = a² + 2ab + b²

Quadrado da diferença · (a − b)² = a² − 2ab + b²

Diferença de quadrados · (a + b)(a − b) = a² − b²

Cubo da soma · (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Soma de cubos · a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)

Diferença de cubos · a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)

De onde vem o 2ab? Distribua na mão uma vez:

(a+b)(a+b) = a·a + a·b + b·a + b·b = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²

Os dois termos do meio são iguais, por isso 2ab. Faça essa distribuição uma vez no caderno e você nunca mais esquece.

Sinais dos cubos. Na fatoração, o sinal do binômio acompanha o sinal original e o do meio no trinômio é o oposto:

a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)

a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)

3.2 Fatorar é reconhecer padrão

Ordem de ataque, siga sempre esta sequência:

Fator comum. Tem algo em todos os termos? Bote para fora.

Conte quantos termos sobraram. 2 termos → diferença de quadrados ou soma/diferença de cubos. 3 termos → trinômio (soma e produto, ou Bhaskara). 4 termos → agrupamento.

Repita nos fatores obtidos até não dar mais.

Exemplos do teste, comentados

(a) 4x² − 25, dois termos, ambos quadrados perfeitos (4x² = (2x)², 25 = 5²), com sinal de menos:

= (2x − 5)(2x + 5)

(b) 2x² + 5x − 12, trinômio com coeficiente ≠ 1. Procure dois números que multiplicam 2 · (−12) = −24 e somam 5: são 8 e −3.

2x² + 8x − 3x − 12 = 2x(x + 4) − 3(x + 4) = (2x − 3)(x + 4)

(c) x³ − 3x² − 4x + 12, quatro termos, então agrupe dois a dois:

x²(x − 3) − 4(x − 3) = (x − 3)(x² − 4) = (x − 3)(x − 2)(x + 2)

Repare que o passo 3 foi essencial: x² − 4 ainda fatorava.

(d) x⁴ + 27x, fator comum x primeiro!

x(x³ + 27) = x(x³ + 3³) = x(x + 3)(x² − 3x + 9)

(e) 3×3/2 − 9×1/2 + 6x−1/2, fator comum com expoente fracionário. Regra: puxe a menor potência, aqui x−1/2.

3x−1/2 (x² − 3x + 2) = 3x−1/2 (x − 1)(x − 2)

Confira: x−1/2 · x² = x3/2 (confere) | x−1/2 · x = x1/2 (confere) | x−1/2 · 1 = x−1/2 (confere)

(f) x³y − 4xy, fator comum xy:

xy(x² − 4) = xy(x − 2)(x + 2)

Por que fatorar importa em Cálculo

Limites, derivadas e integrais quase sempre exigem cancelar algo. E só se cancela o que está fatorado. Fatoração é, antes de tudo, a ferramenta de cancelamento.

Bloco 4, Frações algébricas

4.1 A regra de ouro

Fatore tudo primeiro. Cancele depois.

(x² + 3x + 2) / (x² − x − 2) = [(x+1)(x+2)] / [(x+1)(x−2)] = (x + 2)/(x − 2)

Só se cancela fator inteiro, nunca parcela solta. Em (x + 2)/(x − 2) não dá para "cortar o x": ele está somado, não multiplicado.

4.2 Restrição de domínio

Ao cancelar (x + 1), o valor x = −1 some da expressão simplificada, mas continua proibido na original, porque zerava o denominador. Por isso escrevemos x ≠ −1.

Exemplo com número. Em f(x) = (x² − 9) / (x − 3), fatore o numerador: (x − 3)(x + 3) / (x − 3). Cancelando o fator (x − 3), sobra x + 3, com a restrição x ≠ 3. Em x = 3 a conta original dá 0/0, que não existe. Veja o que a função faz perto de 3, dos dois lados:

x · (x² − 9) / (x − 3) · valor

2,9 · (8,41 − 9) / (−0,1) · 5,9

2,99 · (8,9401 − 9) / (−0,01) · 5,99

2,999 · (8,994001 − 9) / (−0,001) · 5,999

3 · 0 / 0 · não existe

3,001 · (9,006001 − 9) / 0,001 · 6,001

3,01 · (9,0601 − 9) / 0,01 · 6,01

3,1 · (9,61 − 9) / 0,1 · 6,1

Dos dois lados os valores se aproximam de 6, que é exatamente 3 + 3, o valor da forma simplificada x + 3 em x = 3. O gráfico é a reta y = x + 3 com um buraco no ponto (3, 6): a função não existe em x = 3, mas se comporta como se valesse 6. É isso que se chama descontinuidade removível.

Em Cálculo isso vira o conceito de descontinuidade removível, a função tem um "buraco" naquele ponto. Anote a restrição sempre.

4.3 Soma e subtração: mínimo múltiplo comum

x²/(x² − 4) − (x + 1)/(x + 2)

Fatore os denominadores: x² − 4 = (x − 2)(x + 2)

O mmc é (x − 2)(x + 2)

A segunda fração precisa multiplicar por (x − 2)

[ x² − (x+1)(x−2) ] / [(x−2)(x+2)] = [ x² − (x² − x − 2) ] / [(x−2)(x+2)]

= (x + 2) / [(x−2)(x+2)] = 1/(x − 2)

Cuidado com o menos na frente do parêntese.

−(x² − x − 2) = −x² + x + 2. Troque todos os sinais. Erro clássico: trocar só o primeiro.

4.4 Fração de fração

[ (y/x) − (x/y) ] / [ (1/y) − (1/x) ]

Método: resolva cima e baixo separadamente, depois divida multiplicando pelo inverso.

Cima: (y² − x²) / xy Baixo: (x − y) / xy

[(y² − x²)/xy] · [xy/(x − y)] = (y² − x²)/(x − y)

Agora o truque de sinal: y² − x² = (y − x)(y + x) = −(x − y)(x + y)

= −(x − y)(x + y) / (x − y) = −(x + y)

Truque para guardar: y − x = −(x − y).

Quando o fator aparece "invertido", puxe um sinal de menos e ele cancela. Isso aparece o tempo todo.

Bloco 5, Completar o quadrado

5.1 A ideia

Você quer transformar x² + bx em um quadrado perfeito. Sabe que (x + k)² = x² + 2kx + k². Comparando: 2k = b, logo k = b/2.

Falta o k² = (b/2)². Então você soma e subtrai esse valor, não altera nada, apenas reorganiza:

x² + bx = [ x² + bx + (b/2)² ] − (b/2)² = ( x + b/2 )² − (b/2)²

Receita: pegue o coeficiente de x, divida por 2, eleve ao quadrado. Some e subtraia.

5.2 Exemplo (a): x² + x + 1

b = 1 → metade = 1/2 → quadrado = 1/4

x² + x + 1/4 − 1/4 + 1 = ( x + 1/2 )² + 3/4

5.3 Exemplo (b): 2x² − 12x + 11, quando o coeficiente não é 1

Passo obrigatório: ponha o coeficiente de x² em evidência apenas nos dois primeiros termos.

2(x² − 6x) + 11

Dentro: b = −6 → metade = −3 → quadrado = 9

2[ (x − 3)² − 9 ] + 11 = 2(x − 3)² − 18 + 11 = 2(x − 3)² − 7

Não esqueça de distribuir o 2 no −9. Erro comum: escrever 2(x − 3)² − 9 + 11.

5.4 Para que serve

Achar o vértice de uma parábola: 2(x − 3)² − 7 tem vértice em (3, −7), com mínimo igual a −7.

Deduzir a fórmula de Bhaskara.

Integrais com denominador quadrático, você vai usar muito em Cálculo 2.

Bloco 6, Equações

6.1 Princípio geral

Toda equação se resolve fazendo a mesma operação dos dois lados. Mas duas operações exigem cuidado:

Multiplicar por expressão com variável → pode criar raízes falsas.

Elevar ao quadrado → pode criar raízes falsas.

Nesses dois casos, verificação no final é obrigatória.

6.2 Equação com fração

2x/(x + 1) = (2x − 1)/x

Antes de tudo: anote as restrições. x ≠ 0 e x ≠ −1.

Multiplicação cruzada: 2x² = (2x − 1)(x + 1) = 2x² + x − 1

Cancela 2x²: 0 = x − 1 ⇒ x = 1 (confere) não viola restrição

6.3 Quadrática, Bhaskara

x = [ −b ± √(b² − 4ac) ] / 2a Δ = b² − 4ac

Discriminante · Consequência

Δ > 0 · duas raízes reais distintas

Δ = 0 · uma raiz real (dupla)

Δ < 0 · nenhuma raiz real

Exemplo: 2x² + 4x + 1 = 0, com Δ = 16 − 8 = 8

x = (−4 ± 2√2)/4 = (−2 ± √2)/2

Simplifiquei dividindo tudo por 2, sempre simplifique a fração final.

Quando não usar Bhaskara: se você enxerga a fatoração, é mais rápido.

x² − x − 12 = 0 → (x − 4)(x + 3) = 0 → x = 4 ou x = −3

Dois números que somam −1 e multiplicam −12: são −4 e 3.

6.4 Biquadrada, substituição

x⁴ − 3x² + 2 = 0

Só há expoentes pares, então faça u = x²:

u² − 3u + 2 = 0 ⇒ (u − 1)(u − 2) = 0 ⇒ u = 1 ou u = 2

Volte para x, ninguém pode esquecer esse passo:

x² = 1 ⇒ x = ±1 x² = 2 ⇒ x = ±√2

Quatro soluções. Uma equação de grau 4 tem até 4 raízes.

A ideia de substituição é uma das mais poderosas da matemática. Reaparece como "mudança de variável" em integração.

6.5 Equação com módulo

|A| = k (com k > 0) significa "A está a distância k de zero", ou seja, dois casos: A = k ou A = −k.

3|x − 4| = 10 ⇒ |x − 4| = 10/3 ⇒ x − 4 = ±10/3

x = 22/3 ou x = 2/3

Isole o módulo antes de abrir nos dois casos. Aqui, divida por 3 primeiro.

6.6 Equação com radical ou expoente fracionário

2x(4 − x)−1/2 − 3√(4 − x) = 0

Domínio, antes de qualquer conta. (4 − x)−1/2 está no denominador de uma raiz, então 4 − x > 0, ou seja, x < 4.

Multiplique tudo por √(4 − x), permitido, pois é positivo:

2x − 3(4 − x) = 0 ⇒ 2x − 12 + 3x = 0 ⇒ 5x = 12 ⇒ x = 12/5

Verifique: 12/5 = 2,4 < 4 (confere) Solução válida.

Alternativa: fatorar (4 − x)−1/2 em evidência, mesma conta, mesmo resultado.

Bloco 7, Desigualdades

7.1 A regra que todo mundo esquece

Multiplicar ou dividir os dois lados por um número NEGATIVO inverte o sinal da desigualdade.

Por quê? 2 < 5, mas −2 > −5. Multiplicar por negativo espelha a reta numérica.

Exemplo: −4 < 5 − 3x ≤ 17

Subtraia 5 (operação segura): −9 < −3x ≤ 12

Divida por −3 e inverta: 3 > x ≥ −4

Reescrevendo na ordem natural: −4 ≤ x < 3 → [ −4 , 3 )

Note como as extremidades acompanham: o ≤ que estava junto ao 17 virou o ≤ do −4. Reescreva com calma.

7.2 Notação de intervalo

Símbolo · Significado

[a, b] · inclui a e b

(a, b) · exclui ambos

[a, b) · inclui a, exclui b

(−∞, a] · tudo até a, incluindo a

∪ · união, dois pedaços separados

Infinito nunca leva colchete. Sempre (∞ ou −∞). Não é um número, logo não pode ser "incluído".

7.3 Desigualdade quadrática, o método correto

x² < 2x + 8

Jogue tudo para um lado, deixando 0 do outro: x² − 2x − 8 < 0

Fatore: (x − 4)(x + 2) < 0

Ache as raízes: x = 4 e x = −2. Elas dividem a reta em três regiões.

Monte o quadro de sinais:

Região · (x + 2) · (x − 4) · Produto

x < −2 · − · − · +

−2 < x < 4 · + · − · −

x > 4 · + · + · +

Queremos produto < 0 (negativo): ( −2 , 4 )

Nunca "divida" uma desigualdade por uma expressão com x, você não sabe o sinal dela, então não sabe se inverte ou não.

Sempre passe tudo para um lado e faça quadro de sinais.

7.4 Três fatores

x(x − 1)(x + 2) > 0

Raízes: −2, 0 e 1 → quatro regiões. Teste um ponto em cada:

Região · Ponto-teste · Sinal do produto

x < −2 · x = −3 · (−)(−)(−) = −

−2 < x < 0 · x = −1 · (−)(−)(+) = +

0 < x < 1 · x = 0,5 · (+)(−)(+) = −

x > 1 · x = 2 · (+)(+)(+) = +

Queremos > 0: ( −2 , 0 ) ∪ ( 1 , ∞ )

Atalho: com fatores todos de grau 1, os sinais alternam. Comece pela região da direita (sempre +) e vá alternando para a esquerda: + , − , + , −.

7.5 Desigualdade com módulo

|x − 4| < 3

Leitura: "a distância de x até 4 é menor que 3". Isso descreve uma faixa:

−3 < x − 4 < 3 ⇒ 1 < x < 7 ⇒ ( 1 , 7 )

Forma · Equivale a · Formato da resposta

|A| < k · −k < A < k · faixa única (usa "e")

|A| > k · A < −k ou A > k · dois pedaços (usa ∪)

7.6 Desigualdade com fração

(2x − 3)/(x + 1) ≤ 1

NÃO multiplique por (x + 1), o sinal dele é desconhecido!

Passe tudo para um lado:

(2x − 3)/(x + 1) − 1 ≤ 0 ⇒ [ 2x − 3 − (x + 1) ] / (x + 1) ≤ 0 ⇒ (x − 4)/(x + 1) ≤ 0

Pontos críticos: x = 4 (zera o numerador) e x = −1 (zera o denominador).

Região · (x − 4) · (x + 1) · Quociente

x < −1 · − · − · +

−1 < x < 4 · − · + · −

x > 4 · + · + · +

Queremos ≤ 0, então a região do meio. Inclusão das pontas:

x = 4: numerador zera, a fração vale 0, e 0 ≤ 0 é verdadeiro → incluído.

x = −1: denominador zera, a expressão é indefinida → sempre excluído.

Resposta: ( −1 , 4 ]

Regra permanente: zero do numerador pode entrar (se a desigualdade for ≤ ou ≥); zero do denominador nunca entra.

Bloco 8, Identidades falsas: o "hall da vergonha"

O exercício 10 existe para vacinar você contra estes erros. Todos eles aparecem em provas de Cálculo.

8.1 A raiz de todos os males

(p + q)² ≠ p² + q²

Falta o 2pq. Teste com p = q = 1: (1 + 1)² = 4, mas 1 + 1 = 2. Falso.

Generalização: nenhuma operação "não-linear" distribui sobre soma.

Escrita FALSA · O que é verdadeiro

(a + b)² = a² + b² · a² + 2ab + b²

√(a² + b²) = a + b · não simplifica

1/(x − y) = 1/x − 1/y · não simplifica

ln(a + b) = ln a + ln b · ln(ab) = ln a + ln b

sen(a + b) = sen a + sen b · fórmula da soma de arcos

O que É verdadeiro: √(ab) = √a · √b, para a, b ≥ 0.

Raiz distribui sobre produto, nunca sobre soma.

8.2 Cancelamento em frações

(1 + TC)/C ≠ 1 + T

O que houve: alguém "cancelou o C". Mas o C de cima está multiplicando o T, não a soma inteira.

Correto: (1 + TC)/C = 1/C + TC/C = 1/C + T

Regra do cancelamento: só se cancela o que multiplica a expressão inteira, ou seja, fatores.

Se há sinal de + ou − separando os termos, quebre a fração termo a termo primeiro.

8.3 Um caso que é verdadeiro

(1/x) / ( a/x − b/x )

Denominador: (a − b)/x. Aqui existe fator comum 1/x de verdade.

(1/x) · [ x/(a − b) ] = 1/(a − b) VERDADEIRO

Compare com 8.2: ali o C não multiplicava tudo; aqui o 1/x multiplica. Diferença sutil, resultado oposto.

A pergunta certa é sempre: isso é fator ou é parcela?

8.4 Seu método de verificação

Diante de qualquer identidade suspeita:

Substitua números simples (a = 1, b = 1; ou a = 2, b = 3).

Calcule os dois lados.

Se deu diferente, a identidade é falsa, e você já tem o contraexemplo pronto para escrever na prova.

Se deu igual, teste outro conjunto de números. Um teste que passa não prova nada; um teste que falha derruba a identidade na hora.

Roteiro de revisão espaçada

Reler tudo de uma vez funciona mal. Revisar em intervalos crescentes funciona muito melhor.

Quando · O que fazer

Hoje · Copiar os blocos à mão, refazendo os exemplos junto

+ 2 dias · Tapar as resoluções e refazer só os exemplos das caixas de destaque

+ 1 semana · Refazer o teste diagnóstico inteiro do zero, cronometrado

+ 1 mês · Só a tabela do Bloco 8 e os quadros de sinais do Bloco 7

Sinais de que você já domina o conteúdo

Fatora x³ − 3x² − 4x + 12 sem precisar pensar em qual método usar.

Resolve (2x − 3)/(x + 1) ≤ 1 sem multiplicar cruzado.

Racionaliza [√(4 + h) − 2]/h automaticamente ao ver o h no denominador.

Esses três são exatamente o que Cálculo 1 vai cobrar de você nas primeiras semanas do semestre.