Geometria analítica, módulo A: a base aritmética

GUIA DA P1: GEOMETRIA ANALÍTICA

Módulo A

A base aritmética

Para quem está voltando à matemática depois de muitos anos, do zero mesmo

Guia da P1 · Autor: Ulysses Cesar · Curso de Engenharia Civil

POR QUE ESTE MÓDULO EXISTE

Os outros módulos desta série começam em "vetor". Este começa antes: em sinal, fração, potência e raiz.

Não é reforço nem revisão rápida. É a reconstrução, do zero, das quatro ou cinco ferramentas que aparecem em toda conta da prova, e que, se estiverem tortas, derrubam a questão inteira mesmo que a teoria de vetores esteja perfeita.

Nada aqui pressupõe que você lembre de alguma coisa. Se um trecho parecer óbvio, pule. Se algum não parecer, ele é justamente o que precisava ser lido.

ONDE ESTE MÓDULO SE ENCAIXA

Módulo A, A base aritmética (este). Sinais, frações, potências, raízes, letras e equação do 2º grau.

Módulo 0, Os pré-requisitos. Coordenadas, Pitágoras, trigonometria e determinantes.

Módulo 1, Vetores, coordenadas e norma.

Módulo 2, Produto escalar.

Módulo 3, Produto vetorial e produto misto.

Módulo 4, As quatro questões da prova, resolvidas item por item.

A ordem é essa. Se você fizer o treino do fim deste módulo sem consultar, pode ir direto para o Módulo 0.

SUMÁRIO

PARTE A: Números com sinal

A.1 Para que servem os negativos

A.2 A reta numérica

A.3 Somar e subtrair com sinal

A.4 A regra de sinais da multiplicação

A.5 O sinal na frente do parêntese

PARTE B: Frações

B.1 O que uma fração significa

B.2 Frações equivalentes e simplificação

B.3 Somar e subtrair

B.4 Multiplicar

B.5 Dividir

B.6 Fração dentro de fração

B.7 Fração e decimal

PARTE C: Potências e raízes

C.1 O que é uma potência

C.2 As cinco regras

C.3 Expoente zero e expoente negativo

C.4 A raiz como pergunta invertida

C.5 O que se pode e o que não se pode fazer com raiz

PARTE D: A ordem das operações

PARTE E: Trabalhar com letras

PARTE F: Equação do 2º grau

PARTE G: Treino

PARTE H: Onde ler mais

COMO LER OS SÍMBOLOS DESTE MÓDULO

Nenhum símbolo aqui é decoração: cada um substitui uma frase inteira. Se travar na leitura de uma equação, volte a esta tabela.

Símbolo · Lê-se · O que é

Δ · delta maiúsculo · em equação do 2º grau é o discriminante, Δ = b² − 4ac. Em medida, significa 'variação de'.

√ · raiz quadrada · pergunta qual número, multiplicado por ele mesmo, dá o que está sob o traço.

· · vezes · multiplicação. Usa-se o ponto para não confundir com a letra x.

× · vezes · multiplicação.

÷ · dividido por · divisão.

± · mais ou menos · as duas contas valem: uma com +, outra com −.

≠ · diferente de · não é igual.

⟨ · produto escalar (interno), escreve-se ⟨u, v⟩ · ⟨u, v⟩ multiplica coordenada por coordenada e soma. Devolve um NÚMERO. Dá zero exatamente quando os vetores são perpendiculares.

| · módulo, ou norma, escreve-se |v| · |v| é o comprimento do vetor v; |x| é a distância de x até zero. Nunca é negativo.

² (expoente 2) · ao quadrado · o número multiplicado por ele mesmo. x² é x·x.

³ (expoente 3) · ao cubo · o número multiplicado por ele mesmo três vezes.

PARTE A: NÚMEROS COM SINAL

A.1 Para que servem os negativos

Contar objetos só precisa de 1, 2, 3. Mas medir em duas direções precisa de mais: temperatura acima e abaixo de zero, dinheiro que entra e que sai, altura acima e abaixo do nível do mar.

O número negativo é o que registra a direção, e não só a quantidade. Dizer −7 é dizer "sete, para o outro lado".

Na Geometria Analítica isso aparece o tempo todo: um ponto de coordenada −2 está dois passos para a esquerda da origem; um vetor de componente −3 anda três passos para trás.

Um caso de obra: a cota de nível mede a altura de cada ponto em relação a uma referência combinada, que vale 0. O piso do térreo fica a +2,50 m (acima da referência) e o fundo da vala a −1,20 m (abaixo). Sem o sinal, "1,20 m" e "2,50 m" não dizem de que lado da referência está cada ponto. Com o sinal, a diferença de nível sai por conta: 2,50 − (−1,20) = 2,50 + 1,20 = 3,70 m.

A.2 A reta numérica

Desenhe uma reta, marque o zero no meio e distribua os inteiros igualmente espaçados: à direita, os positivos; à esquerda, os negativos.

Duas leituras que valem a pena fixar:

Maior é quem está mais à direita. Por isso −2 é maior que −7. Parece estranho no começo, 7 é maior que 2, mas −7 está mais longe do zero pelo lado esquerdo. Devendo 7 você está pior do que devendo 2.

O módulo é a distância até o zero, sem olhar o lado. Escreve-se com duas barras: |−7| = 7 e |7| = 7.

O MÓDULO É A MESMA IDEIA DO MÓDULO DE UM VETOR

Quando, no Módulo 1, você vir |v| e ler "módulo do vetor v", é exatamente esta ideia: o tamanho, sem o sinal e sem a direção. Um vetor apontando para a esquerda e outro para a direita, do mesmo comprimento, têm o mesmo módulo.

E é por isso que módulo nunca é negativo. Distância não é negativa.

A.3 Somar e subtrair com sinal

Pense sempre em andar na reta: o primeiro número é onde você está, o segundo é quanto andar, e o sinal diz para que lado.

Conta · Leitura · Resultado

3 + 5 · estou no 3, ando 5 para a direita · 8

3 − 5 · estou no 3, ando 5 para a esquerda · −2

−3 + 5 · estou no −3, ando 5 para a direita · 2

−3 − 5 · estou no −3, ando 5 para a esquerda · −8

A regra prática que sai daí:

Sinais iguais: some os valores e mantenha o sinal. (−3) + (−5) = −8.

Sinais diferentes: subtraia o menor do maior e fique com o sinal do maior. (−3) + 5 = 2, porque 5 é maior que 3 e é positivo.

A.4 A regra de sinais da multiplicação

(+)·(+)= +(+)·(−)= −(−)·(+)= −(−)·(−)= +

As três primeiras são intuitivas. A quarta, menos com menos dá mais, costuma ser decorada sem entender, e por isso escorrega na hora do nervoso. Vale ver de onde vem.

Olhe a sequência, diminuindo o primeiro fator de um em um:

Conta · Resultado

3 · (−4) · −12

2 · (−4) · −8

1 · (−4) · −4

0 · (−4) · 0

(−1) · (−4) · ?

A cada linha o resultado sobe 4: −12, −8, −4, 0… A próxima só pode ser +4. Ou seja, (−1)·(−4) = 4. A regra não é convenção arbitrária: é o que mantém o padrão funcionando.

A mesma regra vale para a divisão: (−12)/(−4) = 3, e (−12)/4 = −3.

ONDE ISSO DERRUBA GENTE NA PROVA

No produto escalar. Em ⟨u, w⟩ com u = (1, 4, 8) e w = (−4, −8, −8), a conta é 1·(−4) + 4·(−8) + 8·(−8) = −4 − 32 − 64 = −100. Três multiplicações de sinal trocado, somadas.

E no determinante do produto vetorial, onde aparecem coisas como (−1)·0 − 1·(−1) = 0 + 1 = 1. O erro clássico é escrever −1 em vez de +1 aqui.

A.5 O sinal na frente do parêntese

Este é o erro de sinal mais frequente de toda a matemática, e vale isolar.

Um menos na frente do parêntese troca o sinal de tudo o que está dentro:

−(a − b)= −a + b −(3 − 5)= −3 + 5 = 2

a −(b + c)= a − b − c 10 −(3 + 4)= 10 − 3 − 4 = 3

Se em vez disso você escrever 10 − 3 + 4 = 11, errou, porque o menos precisa alcançar o 4 também.

Um jeito de nunca errar: pense no menos como "vezes −1", e distribua.

−(3 − 5)=(−1)·3 +(−1)·(−5)= −3 + 5

PARTE B: FRAÇÕES

B.1 O que uma fração significa

Uma fração é uma divisão que ficou registrada em vez de ser efetuada.

Em 3/4, o número de baixo (denominador) diz em quantas partes iguais o inteiro foi cortado; o de cima (numerador) diz quantas dessas partes você tem.

Duas coisas que vale saber desde já:

Todo inteiro é uma fração: 5 = 5/1.

Denominador nunca pode ser zero. Dividir por zero não tem resultado, não existe número que multiplicado por 0 dê 7. É por isso que, no Cálculo, achar o domínio de uma função sempre começa por "denominador ≠ 0".

B.2 Frações equivalentes e simplificação

Multiplicar em cima e embaixo pelo mesmo número não muda o valor:

1/2 = 2/4 = 3/6 = 50/100

Simplificar é o caminho inverso: dividir em cima e embaixo pelo mesmo número.

18/24 =(18÷6)/(24÷6)= 3/4

Só se pode cortar fator que multiplica o numerador e o denominador inteiros. Em (3 + 6)/3 não se pode cortar o 3, porque no numerador ele está somando. O certo é resolver primeiro: 9/3 = 3.

B.3 Somar e subtrair

Só se somam frações com o mesmo denominador. Se forem diferentes, iguale-os primeiro.

Exemplo passo a passo: 1/2 + 1/3

1. Ache um denominador comum. O mais simples é multiplicar os dois: 2 × 3 = 6.

2. Converta cada fração para esse denominador: 1/2 = 3/6 (multipliquei por 3 em cima e embaixo); 1/3 = 2/6 (multipliquei por 2).

3. Agora some só os numeradores: 3/6 + 2/6 = 5/6.

Exemplo da prova: 1 − 9/25

Este aparece literalmente na questão 3 da P1, ao tirar o seno a partir do cosseno.

1. Escreva o 1 como fração de denominador 25: 1 = 25/25.

2. Subtraia: 25/25 − 9/25 = 16/25.

B.4 Multiplicar

É a operação mais fácil: numerador vezes numerador, denominador vezes denominador. Não precisa de denominador comum.

(2/3)·(4/5)= 8/15

E um número inteiro multiplicando uma fração multiplica só o numerador:

3 ·(2/5)= 6/5

B.5 Dividir

Dividir por uma fração é multiplicar pelo inverso dela. Vira a segunda de cabeça para baixo e multiplica.

(2/3)÷(4/5)=(2/3)·(5/4)= 10/12 = 5/6

Por quê: dividir por 4/5 é perguntar "quantos pedaços de 4/5 cabem aqui?". Como 4/5 é menor que 1, cabem mais do que o total, e por isso dividir por fração menor que 1 aumenta o resultado.

B.6 Fração dentro de fração

Aparece na fórmula da projeção e nos cossenos diretores. A regra é a mesma: a barra principal é uma divisão.

(1/2)/(3/4)=(1/2)·(4/3)= 4/6 = 2/3

B.7 Fração e decimal

São o mesmo número escrito de dois jeitos: 3/4 = 0,75.

Mas em matemática prefere-se a fração, por dois motivos: ela é exata (1/3 = 0,333… nunca termina) e mantém a estrutura visível.

Na prova, deixe 3/5 em vez de 0,6, a menos que o enunciado peça valor aproximado. E lembre: em português usa-se vírgula decimal, não ponto.

PARTE C: POTÊNCIAS E RAÍZES

C.1 O que é uma potência

Potência é multiplicação repetida. Em 5³, o 5 é a base e o 3 é o expoente:

5^3 = 5 · 5 · 5 = 125

O caso mais usado na prova é o expoente 2, chamado quadrado:

4^2 = 4 · 4 = 16(−4)^2 =(−4)·(−4)= 16

Repare na segunda: quadrado de número negativo dá positivo, pela regra de sinais. Isso é o que faz a norma de um vetor funcionar, as coordenadas negativas não "descontam".

O PARÊNTESE MUDA TUDO

(−4)² = 16, porque o parêntese manda elevar o −4 inteiro.

−4² = −16, porque sem parêntese o expoente pega só o 4, e o menos fica de fora.

São contas diferentes. Na dúvida, ponha o parêntese.

C.2 As cinco regras

Regra · Fórmula · Exemplo

mesma base, multiplicando · aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ · 2³ · 2² = 2⁵ = 32

mesma base, dividindo · aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ · 2⁵ / 2² = 2³ = 8

potência de potência · (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ · (2³)² = 2⁶ = 64

produto elevado · (a·b)ⁿ = aⁿ · bⁿ · (2·3)² = 2²·3² = 36

quociente elevado · (a/b)ⁿ = aⁿ / bⁿ · (2/3)² = 4/9

A armadilha: não existe regra para soma elevada. (a + b)² não é a² + b². Teste: (2+3)² = 25, mas 2² + 3² = 13. O desenvolvimento correto está na Parte E.

C.3 Expoente zero e expoente negativo

Da regra da divisão, com m = n:

a^m/a^m = a^(m-m)= a^0

Mas qualquer número dividido por ele mesmo dá 1. Logo:

a^0 = 1(para qualquer a ≠ 0)

E, continuando a descer o expoente:

a^(-n)= 1/a^n 2^(-3)= 1/8

Expoente negativo não significa resultado negativo. Significa "vai para o denominador".

C.4 A raiz como pergunta invertida

√25 pergunta: que número, multiplicado por ele mesmo, dá 25? A resposta é 5.

Por convenção, √ de número positivo é sempre o resultado positivo. Quando as duas soluções interessam, escreve-se explicitamente ±√25 = ±5.

E vale a ponte que resolve muita conta:

√a = a^(1/2)

ou seja, raiz é potência de expoente fracionário, e por isso todas as cinco regras da seção C.2 valem para raízes também.

Os quadrados que vale ter de cor

n · 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 · 11 · 12 · 13 · 14 · 15

n² · 1 · 4 · 9 · 16 · 25 · 36 · 49 · 64 · 81 · 100 · 121 · 144 · 169 · 196 · 225

Saber que 169 = 13² e 144 = 12² economiza minutos na prova, são exatamente os números da questão 2.

C.5 O que se pode e o que não se pode fazer com raiz

Vale · Não vale

√(a·b) = √a · √b · √(a + b) ≠ √a + √b

√(a/b) = √a / √b ·

√a · √a = a ·

A armadilha da soma, com números: √(9 + 16) = √25 = 5. Mas √9 + √16 = 3 + 4 = 7. Diferente.

Guarde a frase: a raiz não se distribui pela soma. Ela vai te salvar todas as vezes que você calcular a norma de um vetor.

Simplificar radical

Procure um quadrado perfeito dentro da raiz e tire-o para fora:

√48 = √(16 · 3)= √16 · √3 = 4√3

√50 = √(25 · 2)= 5√2 √72 = √(36 · 2)= 6√2

Racionalizar

Não se deixa raiz no denominador. Multiplique em cima e embaixo pelo mesmo radical:

1/√2 =(1/√2)·(√2/√2)= √2/2

PARTE D: A ORDEM DAS OPERAÇÕES

Quando há várias operações na mesma expressão, existe uma ordem obrigatória:

1. Parênteses, dos mais internos para os mais externos.

2. Potências e raízes.

3. Multiplicações e divisões, da esquerda para a direita.

4. Somas e subtrações, da esquerda para a direita.

Exemplo, passo a passo

2 + 3 ·(5 − 1)^2 ÷ 8

1. Parêntese: 5 − 1 = 4 → 2 + 3 · 4² ÷ 8

2. Potência: 4² = 16 → 2 + 3 · 16 ÷ 8

3. Multiplicação e divisão, da esquerda para a direita: 3 · 16 = 48; 48 ÷ 8 = 6 → 2 + 6

4. Soma: 8

O ERRO MAIS COMUM

Somar antes de multiplicar. Em 2 + 3 · 4, o resultado é 14 (multiplica primeiro), e não 20.

Na prova isso aparece em toda norma: |(4, 3, 0)| = √(4² + 3² + 0²). Primeiro os quadrados, depois a soma, e só então a raiz. Nunca somar 4 + 3 antes.

PARTE E: TRABALHAR COM LETRAS

E.1 Por que letras

A letra é um número cujo valor ainda não se conhece, ou que pode variar. Ela permite escrever uma regra uma vez só, valendo para todos os casos: em vez de dizer "a área do retângulo de lados 3 e 4 é 12; a de lados 5 e 2 é 10; …", escreve-se A = b · h.

E.2 Termos semelhantes

Só se somam termos que têm exatamente a mesma parte literal:

3x + 5x = 8x 3x + 5y não simplifica 3x^2 + 5x não simplifica

É a mesma lógica de somar objetos: 3 maçãs + 5 maçãs = 8 maçãs, mas 3 maçãs + 5 laranjas continuam sendo 3 maçãs e 5 laranjas.

E.3 A distributiva

Multiplicar um número por uma soma é multiplicar por cada parcela:

a(b + c)= ab + ac 3(x + 4)= 3x + 12

E, com dois parênteses, cada termo do primeiro multiplica cada termo do segundo:

(x + 2)(x + 3)= x·x + x·3 + 2·x + 2·3 = x^2 + 5x + 6

E.4 Resolver uma equação: a balança

Uma equação é uma balança em equilíbrio. O que você fizer de um lado, tem de fazer do outro, e o equilíbrio se mantém.

Exemplo: 3x + 5 = 20

1. Tire 5 dos dois lados: 3x = 15

2. Divida os dois lados por 3: x = 5

Confira sempre substituindo: 3·5 + 5 = 20 (confere), leva cinco segundos e pega quase todo erro.

E.5 Isolar uma variável numa fórmula

É a mesma balança, com letras no lugar de números. Da fórmula da área do triângulo, isolar a altura:

A =(b · h)/2

1. Multiplique os dois lados por 2: 2A = b·h

2. Divida os dois lados por b: h = 2A/b

Essa é exatamente a conta do item (h) da questão 3 da prova.

E.6 Os três produtos notáveis

São casos de distributiva tão frequentes que vale reconhecer de imediato:

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

(a − b)^2 = a^2 − 2ab + b^2

(a + b)(a − b)= a^2 − b^2

O termo do meio é o que se esquece. (a + b)² não é a² + b², falta o 2ab.

O PRIMEIRO PRODUTO NOTÁVEL É O ITEM MAIS DIFÍCIL DA PROVA

No item (i) da questão 4, você precisa abrir |u + v + w|². É o mesmo produto notável, com três parcelas em vez de duas:

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc

Três quadrados e três termos cruzados, cada um multiplicado por 2. Se você souber esta linha, aquele item sai em quatro passos.

PARTE F: EQUAÇÃO DO 2º GRAU

F.1 Reconhecer

É toda equação que pode ser escrita como

ax^2 + bx + c = 0, com a ≠ 0

Antes de resolver, arrume nessa forma: passe tudo para um lado, deixando zero do outro, e identifique a, b e c com seus sinais.

Em 2m² + 18m + 40 = 0, temos a = 2, b = 18, c = 40.

F.2 Bhaskara

Δ = b^2 − 4ac

x =(−b ± √Δ)/(2a)

O símbolo ± significa que há duas contas: uma com +√Δ e outra com −√Δ.

Exemplo, passo a passo: m² + 9m + 20 = 0

Este é o exercício 7 da Lista de Exercícios.

1. Identifique: a = 1, b = 9, c = 20.

2. Discriminante: Δ = 9² − 4·1·20 = 81 − 80 = 1

3. Raiz do discriminante: √1 = 1

4. As duas soluções: m = (−9 + 1)/2 = −4 e m = (−9 − 1)/2 = −5

F.3 O que o discriminante informa

Se Δ… · então… · o gráfico…

Δ > 0 · há duas raízes reais diferentes · corta o eixo x em dois pontos

Δ = 0 · há uma raiz real (dupla) · toca o eixo x num ponto só

Δ < 0 · não há raiz real · não corta o eixo x

O último caso é útil: se Δ < 0 e o a é positivo, a expressão é sempre positiva. É assim que se resolve, em duas linhas, a inequação x² + 1 > 3x − x² − 3 da lista de Cálculo.

F.4 Quando dá para fatorar direto

Nem sempre é preciso Bhaskara. Se você achar dois números que somados dão b e multiplicados dão c (com a = 1), a fatoração é imediata:

x^2 + 5x + 6 =(x + 2)(x + 3)porque 2 + 3 = 5 e 2 · 3 = 6

E aí as raízes são os valores que zeram cada parêntese: x = −2 e x = −3.

PARTE G: TREINO

Faça no papel, sem calculadora. As respostas estão logo abaixo de cada bloco.

G.1 Sinais

(a) −7 + 3 (b) −7 − 3 (c) (−4)·(−6) (d) −20 ÷ 4 (e) 10 − (2 + 5) (f) −(3 − 8)

Respostas: (a) −4 (b) −10 (c) 24 (d) −5 (e) 3 (f) 5

G.2 Frações

(a) 1/2 + 1/3 (b) 1 − 9/25 (c) (2/3)·(3/4) (d) (1/2)÷(1/4) (e) simplifique 18/24

Respostas: (a) 5/6 (b) 16/25 (c) 1/2 (d) 2 (e) 3/4

G.3 Potências e raízes

(a) (−3)² (b) −3² (c) 2⁻² (d) 5⁰ (e) √144 (f) √48 (g) √(9+16) (h) 1/√3

Respostas: (a) 9 (b) −9 (c) 1/4 (d) 1 (e) 12 (f) 4√3 (g) 5 (h) √3/3

G.4 Ordem das operações

(a) 2 + 3·4 (b) (2+3)·4 (c) √(3² + 4²) (d) 2 + 3·(5−1)² ÷ 8

Respostas: (a) 14 (b) 20 (c) 5 (d) 8

G.5 Letras

(a) 3x + 5x (b) 3(x + 4) (c) (x+2)(x+3) (d) (a+b)² (e) resolva 3x + 5 = 20 (f) isole h em A = bh/2

Respostas: (a) 8x (b) 3x + 12 (c) x² + 5x + 6 (d) a² + 2ab + b² (e) x = 5 (f) h = 2A/b

G.6 Segundo grau

(a) m² + 9m + 20 = 0 (b) 2m² + 8m + 6 = 0 (c) x² − 5x + 6 = 0 (tente fatorar)

Respostas: (a) −4 e −5 (b) −1 e −3 (c) 2 e 3

O CRITÉRIO PARA SEGUIR EM FRENTE

Se os seis blocos saíram sem consulta, a base está no lugar e você pode abrir o Módulo 0.

Se algum bloco travou, volte à parte correspondente antes de seguir. Cada uma dessas seis coisas reaparece em todas as quatro questões da prova, não há como contornar depois.

PARTE H: ONDE LER MAIS

Todos estes já estão na sua pasta `Engenharia Civil / CÁLCULO 1`. As páginas são as do PDF.

Assunto · Onde

Números inteiros, sinais e operações · FME 1, Conjuntos e Funções, primeiras dezenas de páginas

Potências e raízes, propriedades · FME 1, capítulo de potenciação e radiciação

Produtos notáveis e fatoração · Polinômios, Conceitos Básicos e Fatoração, o PDF do próprio professor

Equação do 2º grau · FME 6, Complexos, polinômios e equações

Revisão geral de pré-cálculo, em português e devagar · Pré-Cálculo, Valéria Medeiros

Idem, mais conversado · Pré-Cálculo, Sheldon Axler

Determinantes (só depois do Módulo 0) · FME 4, páginas 92 a 104

UMA OBSERVAÇÃO SOBRE MÉTODO

Nada nesta parte se aprende lendo. Cada uma dessas regras só entra depois de você ter feito a conta errado, conferido, e feito de novo.

Por isso o treino da Parte G não é opcional, e por isso ele traz as respostas logo abaixo: para você conferir na hora, e não acumular um erro repetido por dez exercícios.