Cálculo 1, módulo 2: funções racionais, composição e domínio

GUIA DA P1: CÁLCULO 1

Módulo 2

Funções racionais, composição e domínio

O problema mais difícil da prova, destrinchado do zero, com treino em seis graus

Guia da P1 · Autor: Ulysses Cesar

Curso de Engenharia Civil

POR QUE ESTE É O PROBLEMA MAIS DIFÍCIL DOS CINCO

Ele empilha cinco assuntos diferentes numa questão só: álgebra de frações, fatoração, composição de funções, domínio e inequação com denominador.

E tem uma armadilha conceitual no meio, um número que some quando você simplifica a fração, mas que continua fora do domínio. O item (d) existe só para verificar se você percebeu isso.

A boa notícia: a máquina de resolver é a mesma do Módulo 1, quadro de sinais na reta. O que muda é uma regra nova para o denominador, e ela é curta.

COMO ESTE MÓDULO ESTÁ ORGANIZADO

PARTE A: a teoria destrinchada, em 14 seções, sem pressupor nada.

PARTE B: os sete itens do Problema 2, resolvidos um a um.

PARTE C: o roteiro dos doze minutos no quadro.

PARTE D: treino em SEIS GRAUS, do mecânico ao nível de prova. Cada grau só usa o que o anterior já treinou. Faça na ordem: se um grau estiver difícil, o problema está no grau anterior, não neste.

Sumário

PARTE A: A teoria, destrinchada

A.1 O que é uma função

A.2 Domínio, contradomínio e imagem

A.3 O domínio natural: as duas proibições

A.4 Fatorar um trinômio do 2º grau

A.5 Diferença de quadrados e produtos notáveis

A.6 Função racional

A.7 Somar frações algébricas: o quociente único

A.8 Simplificar frações, e a armadilha do domínio

A.9 Composição de funções

A.10 O domínio de uma composta: as duas condições

A.11 O sinal de um quociente

A.12 Por que NÃO se multiplica pelo denominador

A.13 O quadro de sinais com pontos excluídos

A.14 A raiz quadrada: quando existe, quando é zero

PARTE B: O Problema 2, resolvido item por item

B.0 O enunciado e o mapa da questão

B.a Escrever f(x) + 1 como quociente único [0,5]

B.b Determinar a composta (g ∘ f)(x) [1,5]

B.c Raízes do denominador e o domínio [1,5]

B.d Resolver (g ∘ f)(x) = 0 [1,5]

B.e A condição para g ∘ f estar bem definida [1,0]

B.f Estudo de sinais do numerador e do denominador [2,0]

B.g A solução e o domínio da composta [2,0]

PARTE C: O roteiro dos doze minutos

C.1 O que dizer, em ordem

C.2 As frases que valem ponto

C.3 Erros que custam ponto

PARTE D: Treino em seis graus

Grau 1, Mecânica algébrica

Grau 2, Domínio direto: só olhar o denominador

Grau 3, Inequação racional básica

Grau 4, Inequação que precisa ser arrumada primeiro

Grau 5, Domínio que exige resolver uma inequação

Grau 6, Composição e nível de prova

Gabarito comentado dos seis graus

PARTE A: A teoria, destrinchada

A.1 O que é uma função

Uma função é uma regra que associa a cada elemento de um conjunto exatamente um elemento de outro conjunto. É por isso que o estudo do cálculo começa por conjuntos: função é uma relação entre dois conjuntos.

A palavra importante é EXATAMENTE UM. A regra pode mandar dois valores de entrada para a mesma saída, isso é permitido. O que não pode é um mesmo valor de entrada produzir duas saídas diferentes.

f(x) = 2x + 3 lê-se: "f de x igual a dois x mais três"

Nessa notação, f é o nome da função, x é a entrada e f(x) é a saída correspondente. Calcular f(5) é simplesmente trocar todo x por 5: f(5) = 2·5 + 3 = 13.

SUBSTITUIR É SEMPRE TROCAR O SÍMBOLO INTEIRO

Se f(x) = x² − 1, então f(x + 2) = (x + 2)² − 1. O parêntese não é decoração: o que entra no lugar de x é o bloco todo.

Esse detalhe é o que faz a composição de funções funcionar (seção A.9). Quem erra composição normalmente está errando aqui, e não lá.

A.2 Domínio, contradomínio e imagem

Nome · Notação · O que é

Domínio · D(f) · o conjunto de todas as entradas permitidas

Contradomínio ·, · o conjunto onde as saídas vivem (em Cálculo 1, quase sempre ℝ)

Imagem · Im(f) · o conjunto das saídas que realmente ocorrem

Na P1, quem aparece o tempo todo é o domínio. Dos cinco problemas da prova, quatro pedem um domínio em algum item. A imagem só aparece no Problema 5.

A.3 O domínio natural: as duas proibições

Quando a prova dá só a fórmula, sem dizer o domínio, entende-se o domínio natural: todos os reais para os quais a conta faz sentido. E, em Cálculo 1, só existem duas operações proibidas.

Proibição · O que ela gera · Como se escreve a condição

Dividir por zero · denominador ≠ 0 · iguale o denominador a zero e EXCLUA essas raízes

Raiz de índice par de número negativo · radicando ≥ 0 · escreva "radicando ≥ 0" e RESOLVA a inequação

Mais tarde no semestre aparecerá uma terceira: o logaritmo exige logaritmando positivo. Ela é o assunto do Módulo 3.

A DIFERENÇA PRÁTICA ENTRE AS DUAS

A proibição do denominador gera uma EQUAÇÃO: você resolve, acha pontos, e tira esses pontos da reta. O resultado é sempre "a reta menos alguns furos".

A proibição da raiz gera uma INEQUAÇÃO: você resolve, acha intervalos, e fica só com eles. O resultado é sempre "alguns pedaços da reta".

Quando as duas aparecem juntas, e é o caso do Problema 2, você resolve a inequação e depois ainda tira os furos. As duas condições valem ao mesmo tempo: é interseção.

Exemplos, do mais simples ao que já é nível de prova:

Função · Condição · Domínio

f(x) = 1/x · x ≠ 0 · ℝ − {0}

f(x) = 1/(x − 4) · x − 4 ≠ 0 · ℝ − {4}

f(x) = √x · x ≥ 0 · [0, +∞)

f(x) = √(x − 4) · x − 4 ≥ 0 · [4, +∞)

f(x) = 1 / √(x − 4) · x − 4 > 0 (não pode ser zero: está embaixo) · (4, +∞)

f(x) = √(x² − 9) · x² − 9 ≥ 0 (inequação do 2º grau) · (−∞, −3] ∪ [3, +∞)

O CASO DA RAIZ NO DENOMINADOR

Quando a raiz está embaixo, as duas proibições se somam: o radicando precisa ser ≥ 0 pela raiz, e ≠ 0 pelo denominador. Resultado: radicando > 0, estritamente.

É a diferença entre [4, +∞) e (4, +∞) nas duas linhas do meio da tabela. Vale ponto.

A.4 Fatorar um trinômio do 2º grau

Fatorar é reescrever a soma como produto. É a operação mais usada deste módulo, porque só se estuda o sinal de um produto, nunca de uma soma.

a x² + b x + c = a ( x − r₁ ) ( x − r₂ )

Existem três caminhos, e vale conhecer os três porque cada um é mais rápido num caso.

Caminho 1, pelas raízes (sempre funciona)

Calcule Δ, ache r₁ e r₂ pela fórmula, e escreva o produto. Nunca falha, mas é o mais lento.

Caminho 2, soma e produto (o mais rápido, quando as raízes são inteiras)

Para um trinômio com a = 1, procure dois números que SOMEM −b e MULTIPLIQUEM c. São as raízes.

Trinômio · Procuro dois números que… · Achei · Fatoração

x² + 2x − 15 · somem −2 e multipliquem −15 · −5 e 3 · (x + 5)(x − 3)

x² − 6x + 5 · somem 6 e multipliquem 5 · 1 e 5 · (x − 1)(x − 5)

x² − x − 2 · somem 1 e multipliquem −2 · 2 e −1 · (x − 2)(x + 1)

x² − 6x + 8 · somem 6 e multipliquem 8 · 2 e 4 · (x − 2)(x − 4)

O truque prático: comece pelo produto, que costuma ter poucas possibilidades. Para produto −15, os pares são (1, −15), (−1, 15), (3, −5) e (−3, 5). Só um deles soma −2: o par (3, −5). Logo as raízes são 3 e −5, e a fatoração é (x − 3)(x + 5).

Caminho 3, quando a ≠ 1

Ponha o a em evidência primeiro e trabalhe com o que sobrou:

2x² + 6x − 8 = 2 ( x² + 3x − 4 ) = 2 ( x + 4 ) ( x − 1 )

NÃO PERCA O COEFICIENTE LÍDER

Erro clássico: escrever 2x² + 6x − 8 = (x + 4)(x − 1). Está errado, falta o 2.

Confira sempre multiplicando o primeiro termo de cada parêntese: tem que dar de volta o termo em x². Aqui, 2 · x · x = 2x² (confere).

A.5 Diferença de quadrados e produtos notáveis

Três identidades que aparecem o tempo todo e economizam a fórmula inteira:

a² − b² = ( a − b )( a + b )( a + b )² = a² + 2ab + b²( a − b )² = a² − 2ab + b²

A primeira é a mais útil deste módulo. Reconheça o padrão "quadrado menos quadrado":

Expressão · Quem é a · Quem é b · Fatorada

x² − 9 · x · 3 · (x − 3)(x + 3)

x² − 4 · x · 2 · (x − 2)(x + 2)

x² − 1 · x · 1 · (x − 1)(x + 1)

x² − 16 · x · 4 · (x − 4)(x + 4)

x² − 8 · x · 2√2 · (x − 2√2)(x + 2√2)

E QUANTO A x² + 9 ?

Não fatora nos reais. Soma de quadrados não tem fatoração real, e faz sentido: x² + 9 = 0 daria x² = −9, que não tem solução real. Δ = 0 − 36 = −36 < 0.

Consequência prática, e ela é excelente: um fator como x² + 9, x² + 1 ou x² + 3 NUNCA troca de sinal. Ele é sempre positivo, e pode ser simplesmente ignorado no estudo de sinais. Aparece na Lista, Problema 4(d) e 4(m).

A.6 Função racional

Função racional é o quociente de dois polinômios, o análogo, entre funções, do que a fração é entre números.

f(x) = P(x) / Q(x), com Q(x) não identicamente nulo

O domínio natural sai direto da primeira proibição: todos os reais, exceto as raízes do denominador. Achar o domínio de uma função racional é, portanto, resolver a equação Q(x) = 0 e excluir as soluções.

Exemplo, que é o denominador da prova:

f(x) = (6 − 2x)/(x^2 + 2x − 15)

Fatorando o denominador por soma e produto: dois números que somam −2 e multiplicam −15 são −5 e 3. Logo x² + 2x − 15 = (x + 5)(x − 3), que zera em x = −5 e x = 3. Portanto D(f) = ℝ − {−5, 3}.

A.7 Somar frações algébricas: o quociente único

Somar frações com letras é igual a somar frações com números: precisa de denominador comum. O caso que a prova pede é o mais simples, somar uma fração com um número inteiro.

O truque: todo inteiro é uma fração de denominador 1, e para dar-lhe o denominador que você quer, multiplique em cima e embaixo.

A/B + 1 = A/B + B/B = (A + B)/B

Expressão · Passo intermediário · Quociente único

1 + 1/x · x/x + 1/x · (x + 1)/x

3 + 2/(x − 1) · [3(x − 1) + 2] / (x − 1) · (3x − 1)/(x − 1)

1/x − 1/(x + 1) · [(x + 1) − x] / [x(x + 1)] · 1/(x^2 + x)

(2x − 1)/(x − 3) − 7 · [(2x − 1) − 7(x − 3)] / (x − 3) · (−5x + 20)/(x − 3)

O SINAL DE MENOS DISTRIBUI EM TUDO

Na terceira e na quarta linha aparece uma subtração. O sinal de menos multiplica o numerador INTEIRO, e não só o primeiro termo.

− 7(x − 3) = −7x + 21, e não −7x − 21. Trocar isso é o erro mais frequente do Grau 4.

Hábito que resolve: sempre escreva o numerador que vai ser subtraído dentro de parênteses, e só então distribua.

A.8 Simplificar frações, e a armadilha do domínio

Fatorados numerador e denominador, fatores iguais se cancelam. Mas há uma sutileza que a prova cobra expressamente, e é a coisa mais importante deste módulo.

Veja o caso que aparece no Problema 2:

(x^2 − 9)/(x^2 + 2x − 15) = [ ( x − 3 )( x + 3 ) ] / [ ( x + 5 )( x − 3 ) ] = (x + 3)/(x + 5)

SIMPLIFICAR NÃO DEVOLVE O DOMÍNIO

A expressão da esquerda NÃO está definida em x = 3: o denominador original zera lá.

A expressão da direita, (x + 3)/(x + 5), está perfeitamente definida em x = 3, dá 6/8 = 3/4.

Ou seja: as duas expressões NÃO são a mesma função. Elas coincidem em todo ponto, exceto em x = 3, onde a primeira não existe e a segunda existe.

A regra: o domínio se lê na expressão ORIGINAL, antes de qualquer simplificação. Cancelar um fator não ressuscita o ponto que ele proibia.

Escreva sempre a restrição junto: (x^2 − 9)/(x^2 + 2x − 15) = (x + 3)/(x + 5), para x ≠ 3.

É EXATAMENTE ISSO QUE OS ITENS (c) E (d) TESTAM

O item (c) pergunta se as raízes do denominador pertencem ao domínio da composta. Resposta: não, e uma delas, o 3, é justamente a que some na simplificação.

O item (d) pede para explicar por que a equação, "apesar de parecer ter duas soluções reais, tem na verdade apenas uma". A solução que se perde é o x = 3, pelo mesmo motivo.

Se você entender esta seção, dois itens da prova (3,0 pontos) ficam resolvidos.

A.9 Composição de funções

Compor é encaixar uma função dentro da outra: aplica-se a primeira e o resultado entra como entrada da segunda.

Figura 1: a composta g ∘ f. Repare na ordem: quem age primeiro é a função escrita à direita.

( g ∘ f )( x ) = g ( f ( x ) )

A ORDEM IMPORTA, E É CONTRAINTUITIVA

Em g ∘ f, quem age PRIMEIRO é o f, que está à direita. Lê-se "g bola f", mas executa-se de dentro para fora.

Um exemplo curto mostra que trocar a ordem muda tudo. Com f(x) = x + 1 e g(x) = x²:

(g ∘ f)(x) = g(x + 1) = (x + 1)² = x² + 2x + 1

(f ∘ g)(x) = f(x²) = x² + 1

São funções completamente diferentes. Na prova, sempre confira qual está na parte de fora antes de calcular.

O método, em duas linhas:

1. Escreva a função de fora, g, com uma caixinha no lugar de x: g( □ ) = √( □ + 1 ).

2. Ponha f(x) inteiro dentro da caixinha, e simplifique.

Aplicando ao caso da prova, com g(x) = √(x + 1):

( g ∘ f )( x ) = g ( f(x) ) = √ ( f(x) + 1 )

E é por isso que o item (a) pediu antes para escrever f(x) + 1 como um quociente único: aquele item não é um exercício solto, é a preparação para este.

A.10 O domínio de uma composta: as duas condições

Para que g(f(x)) faça sentido, duas coisas precisam acontecer, e as duas ao mesmo tempo:

1) x tem que estar no domínio de f (senão f(x) não existe)2) f(x) tem que estar no domínio de g (senão g não aceita essa entrada)

A segunda é a que costuma dar trabalho, porque vira uma inequação. A primeira é fácil de esquecer, porque some quando você simplifica a expressão, e é exatamente aí que a prova pega.

NO PROBLEMA 2, AS DUAS CONDIÇÕES SÃO

(1) x ≠ −5 e x ≠ 3, para que f(x) exista;

(2) f(x) + 1 ≥ 0, para que a raiz quadrada exista.

A condição (2), escrita com o quociente único do item (a), é a inequação racional (x^2 − 9)/(x^2 + 2x − 15) ≥ 0. E a condição (1) já está automaticamente embutida nela, porque nos pontos −5 e 3 o quociente não existe, logo eles não podem satisfazer desigualdade nenhuma.

A.11 O sinal de um quociente

Boa notícia: a regra de sinais do quociente é idêntica à do produto.

Numerador · Denominador · Quociente

+ · + · +

+ · − · −

− · + · −

− · − · +

Em uma frase: sinais iguais dão positivo, sinais diferentes dão negativo. A única diferença em relação ao produto está no que acontece quando algo zera:

Situação · No produto · No quociente

numerador zera · resultado é 0 · resultado é 0

denominador zera · (não se aplica) · NÃO EXISTE, ponto excluído

os dois zeram · (não se aplica) · NÃO EXISTE, o denominador manda

A.12 Por que NÃO se multiplica pelo denominador

A tentação é grande: para resolver (x − 1)/(x − 2) > 0, por que não multiplicar os dois lados por (x − 2) e ficar com x − 1 > 0?

Porque multiplicar uma desigualdade por um número negativo INVERTE o sinal da desigualdade. E você não sabe o sinal de (x − 2), ele depende justamente do x que você está procurando. Multiplicar seria supor a resposta.

UM EXEMPLO QUE MOSTRA O ESTRAGO

Resolva 1/x > 0.

Multiplicando os dois lados por x, você obteria 1 > 0, que é sempre verdade, e concluiria S = ℝ. Está errado: em x = −1, 1/x = −1, que não é maior que zero.

A resposta correta é S = (0, +∞), e ela sai do estudo de sinais: o numerador é sempre positivo, então o quociente tem o sinal do denominador, que é positivo só para x > 0.

Regra sem exceção: inequação com denominador NÃO se resolve multiplicando. Resolve-se passando tudo para um lado, transformando em UM quociente único, e estudando o sinal.

O QUE SE FAZ, ENTÃO

1) Passe tudo para um lado, deixando ZERO do outro.

2) Junte num quociente único (seção A.7).

3) Fatore numerador e denominador.

4) Monte o quadro de sinais com TODOS os pontos-chave dos dois.

5) Leia a resposta, cuidando das bolinhas pela regra da seção A.13.

A.13 O quadro de sinais com pontos excluídos

O quadro é o mesmo do Módulo 1, com uma linha a mais e uma regra a mais. As linhas são: numerador, denominador e quociente. Os pontos-chave são as raízes dos dois juntas, em ordem crescente.

E a regra nova, que é curta e não tem exceção:

O ponto zera… · Entra na solução? · Bolinha

só o NUMERADOR · depende: entra se a desigualdade tiver "igual" (≤, ≥); sai se for estrita (<, >) · cheia ou vazia

o DENOMINADOR · NUNCA. Sem exceção, mesmo com "igual" na desigualdade · sempre vazia

os DOIS ao mesmo tempo · NUNCA. O denominador tem prioridade · sempre vazia

A FRASE PARA GUARDAR

O "igual" da desigualdade dá permissão ao numerador, nunca ao denominador.

Motivo: 0/5 = 0, que satisfaz "≥ 0". Mas 5/0 não é zero nem é nada, simplesmente não existe. E o que não existe não pode satisfazer desigualdade nenhuma.

A.14 A raiz quadrada: quando existe, quando é zero

Três fatos sobre √u que a prova usa nos itens (d) e (e):

√u EXISTE (nos reais) se e somente se u ≥ 0.

√u = 0 se e somente se u = 0. Uma raiz só zera quando o que está dentro zera.

√u ≥ 0 sempre. A raiz quadrada nunca devolve número negativo.

O segundo fato é o que resolve o item (d): resolver √(alguma coisa) = 0 é o mesmo que resolver "alguma coisa" = 0, desde que o resultado esteja no domínio.

O terceiro fato voltará no Módulo 5, no item (f) do Problema 5, quando a prova perguntar por que não vale cos(arcsen x) = −√(1 − x²).

PARTE B: O Problema 2, resolvido item por item

B.0 O enunciado e o mapa da questão

f(x) = (6 − 2x)/(x^2 + 2x − 15) g(x) = √( x + 1 )

Os sete itens somam 10,0 pontos. A arquitetura da questão é uma escada: o item (a) prepara o (b), que prepara o (d); o (c) prepara o (d) e o (g); o (e) prepara o (f), que prepara o (g). Nada é independente.

Item · O que pede · Pontos · Usa

a · escrever f(x) + 1 como um quociente único · 0,5 ·

b · a composta (g ∘ f)(x) · 1,5 · a

c · raízes do denominador; pertencem ao domínio? · 1,5 ·

d · resolver (g ∘ f)(x) = 0 e explicar a raiz perdida · 1,5 · b, c

e · a condição de boa definição e qual inequação resolve · 1,0 · b

f · estudo de sinais do numerador e do denominador · 2,0 · e

g · a solução da inequação e o domínio da composta · 2,0 · c, f

B.a Escreva f(x) + 1 na forma de um único quociente [0,5]

Some a fração com o 1, dando ao 1 o mesmo denominador:

f(x) + 1 = (6 − 2x)/(x^2 + 2x − 15) + (x^2 + 2x − 15)/(x^2 + 2x − 15)

Somando os numeradores:

( 6 − 2x ) + ( x² + 2x − 15 ) = x² + ( −2x + 2x ) + ( 6 − 15 ) = x² − 9

Os termos em x se cancelam, e sobra uma diferença de quadrados. Portanto:

f(x) + 1 = (x^2 − 9)/(x^2 + 2x − 15)

O CANCELAMENTO NÃO É COINCIDÊNCIA

O enunciado foi construído para que o −2x da fração cancelasse o +2x do denominador. É um sinal de que você está no caminho certo: se o numerador não simplificar, revise a conta.

E o resultado, x² − 9, é justamente a expressão mais fácil de fatorar que existe, diferença de quadrados, (x − 3)(x + 3). Também não é acaso: o 3 vai reaparecer nos itens (c) e (d).

B.b Usando o item anterior, determine a composta (g ∘ f)(x) [1,5]

A função de fora é g(x) = √(x + 1). Escrevendo com caixinha: g( □ ) = √( □ + 1 ). Agora ponha f(x) dentro:

( g ∘ f )( x ) = g ( f(x) ) = √ ( f(x) + 1 )

E f(x) + 1 já foi calculado no item (a). Substituindo:

( g ∘ f )( x ) = √ [ (x^2 − 9)/(x^2 + 2x − 15) ]

Repare por que o item (a) existia: sem ele, você teria de somar a fração com o 1 dentro da raiz, no meio da conta. O enunciado quebrou o trabalho em dois para facilitar, e para garantir que você chegue à forma fatorável.

B.c Raízes de x² + 2x − 15 e sua relação com o domínio [1,5]

Pela fórmula, com a = 1, b = 2, c = −15:

Δ = b² − 4ac = 2² − 4 · 1 · ( −15 ) = 4 + 60 = 64 √64 = 8

r₁ = (−2 − 8)/2 = −10/2 = −5 r₂ = (−2 + 8)/2 = 6/2 = 3

Ou, mais rápido, por soma e produto: dois números que somam −2 e multiplicam −15 são −5 e 3. Conferindo pelas Relações de Girard: −5 + 3 = −2 = −b/a (confere) e (−5)·3 = −15 = c/a (confere).

Agora a segunda parte, que vale mais que a conta: eles pertencem ao domínio da composta?

NÃO, nem x = −5 nem x = 3 pertencem a D( g ∘ f ).

A justificativa tem que ser dita por inteiro:

Ambos zeram o denominador de f. Logo f(−5) e f(3) não existem.

Se f(x) não existe, não há o que entregar para g. A primeira das duas condições de domínio de uma composta (seção A.10) falha.

Portanto os dois estão fora do domínio da composta, e continuarão fora qualquer que seja o resultado da inequação dos itens seguintes.

O 3 É O PONTO CRÍTICO DA QUESTÃO INTEIRA

Ao simplificar (x^2 − 9)/(x^2 + 2x − 15), o fator (x − 3) cancela em cima e embaixo, e a expressão vira (x + 3)/(x + 5), que está perfeitamente definida em x = 3, valendo 3/4.

Isso NÃO devolve o 3 ao domínio. A função original não existe lá, e o domínio se lê na expressão original.

É este ponto que o item (d) vai cobrar de novo, agora disfarçado de equação. Se você explicar isso bem aqui, o item (d) sai sozinho.

B.d Resolva (g ∘ f)(x) = 0 e explique por que há apenas uma solução [1,5]

A equação é:

√ [ (x^2 − 9)/(x^2 + 2x − 15) ] = 0

Uma raiz quadrada só é zero quando o que está dentro dela é zero (seção A.14). E um quociente só é zero quando o numerador é zero, com o denominador vivo. Então:

x² − 9 = 0 ⇒ x² = 9 ⇒ x = 3 ou x = −3

Aparentemente, duas soluções. Agora o teste do domínio, um de cada vez:

Candidato · Numerador x² − 9 · Denominador x² + 2x − 15 · Veredito

x = 3 · 9 − 9 = 0 · 9 + 6 − 15 = 0 · DESCARTADO, zera também o denominador

x = −3 · 9 − 9 = 0 · 9 − 6 − 15 = −12 ≠ 0 · ACEITO, o quociente vale 0/(−12) = 0

Única solução: x = − 3

Conferindo por substituição direta, que é o que fecha o item:

f(−3) = (6 + 6)/(9 − 6 − 15) = 12/(−12) = −1

(g ∘ f)(−3) = g(−1) = √( −1 + 1 ) = √0 = 0 (confere)

A EXPLICAÇÃO QUE O ITEM PEDE, EM UMA FRASE

"A equação parece ter duas soluções porque o numerador x² − 9 tem duas raízes, 3 e −3. Mas o x = 3 zera também o denominador, ele não é solução da equação, porque a função nem sequer está definida ali. Sobra uma só: x = −3."

É o mesmo fenômeno do item (c), agora do outro lado. Ali você mostrou que o 3 não está no domínio; aqui você usa esse fato para descartá-lo.

B.e Qual é a condição para g ∘ f estar bem definida [1,0]

Duas condições, pela seção A.10:

1. f(x) precisa existir, o que exige x² + 2x − 15 ≠ 0, isto é, x ≠ −5 e x ≠ 3.

2. f(x) precisa estar no domínio de g. Como g(u) = √(u + 1), isso exige u + 1 ≥ 0, ou seja, f(x) + 1 ≥ 0.

Escrevendo a segunda condição com o quociente único do item (a), obtém-se a inequação pedida:

(x^2 − 9)/(x^2 + 2x − 15) ≥ 0

E a justificativa, que é o que vale ponto aqui: a raiz quadrada de um número real só existe quando o radicando é maior ou igual a zero. Como o radicando da composta é exatamente esse quociente, o domínio da composta é o conjunto solução dessa inequação, já descontados, automaticamente, os pontos onde o quociente não existe.

B.f Estude os sinais do numerador, do denominador, e compare na reta [2,0]

Fatorando os dois, o que já foi feito nos itens anteriores:

x² − 9 = ( x − 3 )( x + 3 ) raízes: −3 e 3x² + 2x − 15 = ( x + 5 )( x − 3 ) raízes: −5 e 3

Os dois têm coeficiente líder a = 1, positivo. Pelo Princípio III (Módulo 1): positivo fora das raízes, negativo entre elas.

Figura 2: os dois estudos de sinal, separados. Repare que o 3 é raiz dos DOIS.

Os pontos-chave, reunidos e em ordem crescente, são −5, −3 e 3. Isso divide a reta em quatro trechos. Agora as duas linhas vão para o mesmo quadro, e a terceira linha é o quociente, obtido pela regra de sinais:

Trecho · x² − 9 · x² + 2x − 15 · Quociente · Confere com x =

x < −5 · + · + · + · x = −6: 27/9 = 3 > 0

−5 < x < −3 · + · − · − · x = −4: 7/(−7) = −1 < 0

−3 < x < 3 · − · − · + · x = 0: (−9)/(−15) = 0,6 > 0

x > 3 · + · + · + · x = 4: 7/9 > 0

E o que acontece exatamente nos três pontos-chave:

Ponto · O que zera lá · O quociente · Consequência

x = −5 · só o denominador · não existe · EXCLUÍDO do domínio, sem exceção

x = −3 · só o numerador · vale 0 · ENTRA, porque a inequação admite o igual

x = 3 · os dois · não existe · EXCLUÍDO, o denominador tem prioridade

Figura 3: o quadro completo. As duas primeiras linhas são os fatores; a terceira é o quociente; a quarta é a resposta. O × marca ponto onde a expressão não existe.

B.g A solução da inequação e o domínio da composta [2,0]

Lendo a linha do quociente e recolhendo os trechos marcados com + , mais o ponto onde ele vale zero:

D( g ∘ f ) = ( −∞ , −5 ) ∪ [ −3 , 3 ) ∪ ( 3 , +∞ )

Figura 4: o domínio final, com o motivo de cada bolinha.

Justificando bolinha por bolinha, que é o que o item espera:

Extremo · Bolinha · Por quê

−5 · vazia · zera o denominador: a função não existe ali

−3 · CHEIA · zera só o numerador; o quociente vale 0, e 0 ≥ 0 é verdadeiro

3 · vazia · zera numerador e denominador; o denominador manda, e a função não existe

A mesma resposta admite uma escrita alternativa, mais compacta, que também vale:

D( g ∘ f ) = ( −∞ , −5 ) ∪ [ −3 , +∞ ) − { 3 }

DUAS CONFERÊNCIAS ANTES DE ENCERRAR

1) O x = −3, achado no item (d) como única solução da equação, tem que estar no domínio, e está: é justamente a bolinha cheia. Se não estivesse, haveria erro em algum lugar.

2) Os dois pontos do item (c), −5 e 3, têm que estar de fora, e estão. Os itens conversam entre si, e essa conversa é a melhor verificação disponível na hora da prova.

PARTE C: O roteiro dos doze minutos

C.1 O que dizer, em ordem

Tempo · Itens · O que fazer no quadro

0, 1 min · abertura · Escreva f e g. Diga o plano: "vou preparar a soma no (a), montar a composta no (b), localizar os pontos proibidos no (c), usar isso no (d), e então resolver a inequação que dá o domínio, nos itens (e) a (g)."

1, 3 min · a, b · Somar a fração com 1, mostrar o cancelamento do 2x, chegar em (x^2 − 9)/(x^2 + 2x − 15) e encaixar na raiz.

3, 6 min · c, d · Δ = 64, raízes −5 e 3. Dizer que NÃO pertencem ao domínio e por quê. Depois resolver a equação, achar ±3 e descartar o 3. Conferir por substituição que (g∘f)(−3) = 0.

6, 7,5 min · e · Enunciar as duas condições e escrever a inequação racional.

7,5, 10,5 min · f · Fatorar os dois, montar o quadro de três linhas, marcar os três pontos-chave e testar um valor em cada trecho em voz alta.

10,5, 12 min · g · Ler a resposta do quadro, justificar cada bolinha e fazer as duas conferências cruzadas com os itens (c) e (d).

C.2 As frases que valem ponto

No item · Diga algo como

(a) · "Dou ao 1 o mesmo denominador da fração. Repare que o −2x do numerador cancela com o +2x do denominador, e sobra uma diferença de quadrados."

(b) · "Em g ∘ f quem age primeiro é o f. Escrevo g com uma caixinha no lugar do x e ponho f(x) inteiro dentro dela."

(c) · "Esses dois valores zeram o denominador de f. Onde f não existe, não há o que entregar para o g, então eles estão fora do domínio da composta, e vão continuar fora independentemente do resultado da inequação."

(c) · "E atenção ao 3: se eu simplificar a fração, o fator (x − 3) some e a expressão passa a existir em 3. Isso não devolve o ponto ao domínio, o domínio se lê na expressão original."

(d) · "A raiz só é zero quando o radicando é zero, e o quociente só é zero quando o numerador zera com o denominador vivo. Por isso o 3 cai fora: lá o denominador também zera."

(e) · "A raiz quadrada exige radicando maior ou igual a zero. Como o radicando é esse quociente, o domínio da composta é exatamente o conjunto solução da inequação."

(f) · "O ponto 3 é raiz dos dois polinômios ao mesmo tempo, é o único ponto do quadro em que as duas linhas zeram juntas."

(g) · "O igual da desigualdade dá permissão ao numerador, nunca ao denominador. Por isso o −3 entra com colchete e o −5 e o 3 saem com parêntese."

C.3 Erros que custam ponto

Erro · Onde aparece · Como evitar

Multiplicar a inequação pelo denominador · itens f, g · Nunca. Não se sabe o sinal dele. Passe tudo para um lado e estude o sinal

Simplificar e achar que o 3 voltou · itens c, d, g · O domínio se lê na expressão original. Anote "x ≠ 3" ao lado da simplificação

Incluir o ponto que zera o denominador · item g · Bolinha do denominador é SEMPRE vazia, mesmo com ≥

Esquecer o parêntese na subtração · item a · −7(x − 3) = −7x + 21. Escreva o numerador subtraído entre parênteses antes de distribuir

Compor na ordem errada · item b · Em g ∘ f, o f age primeiro. Use a caixinha: g( □ ) e ponha f dentro

Errar o sinal de −4ac · item c · c = −15 é negativo: −4·1·(−15) = +60. Δ = 64, não −56

Dar só a resposta do (d), sem explicar · item d · O item pede expressamente a explicação. A conta sozinha vale pouco

Não conferir os itens entre si · todos · O −3 do item (d) tem que estar no domínio do (g); o −5 e o 3 do (c) têm que estar fora

PARTE D: Treino em seis graus

Faça na ordem. Cada grau só usa o que o anterior já treinou, e a dificuldade sobe um degrau de cada vez. Se um grau travar, o problema quase sempre está no grau anterior, volte, não insista. O gabarito comentado de todos vem no fim.

Os exercícios marcados com [L] são da Lista de Exercícios do professor (ListaP1___Cálculo1.pdf). Os demais foram montados para este guia, para cobrir o degrau que faltava.

Grau 1, Mecânica algébrica

Treina: fatorar, somar frações e simplificar. Sem nenhuma inequação ainda. Se este grau não estiver automático, todos os outros vão custar o dobro do tempo.

1.1 Fatore

(1) x² − 4

(2) x² − 9

(3) x² + 2x − 15

(4) x² − x − 2

(5) x² − 6x + 8

(6) x² − 6x + 5

(7) 2x² + 6x − 8

(8) x² − 2x − 1 (cuidado: as raízes não são inteiras)

1.2 Escreva como um único quociente

(1) 1 + 1/x

(2) 3 + 2/(x − 1)

(3) (6 − 2x)/(x^2 + 2x − 15) + 1

(4) 1/x − 1/(x + 1)

(5) (2x − 1)/(x − 3) − 7

(6) x/(2x − 3) − 3

1.3 Simplifique, indicando as restrições

(1) (x^2 − 4)/(x + 2)

(2) (x^2 − 9)/(x^2 + 2x − 15)

(3) (x^2 − x − 2)/(x − 2)

(4) (x^2 − 6x + 8)/(x^2 − 16)

(5) (2x^2 + 6x − 8)/(x − 1)

Grau 2, Domínio direto: só olhar o denominador

Treina: identificar a proibição e excluir pontos. Nenhuma inequação, basta resolver uma equação e furar a reta.

(1) [L 5a] f(x) = (x + 2)/(x^2 − 1)

(2) [L 5b] f(x) = (3x + 4)/(x^2 − x − 2)

(3) [L 5d] g(x) = |x² − 1| / ∛(x + 1) (a raiz cúbica aceita negativo)

(4) [L 5g] h(x) = 1/(x^2 − 2x − 1)

(5) f(x) = (x + 2)/(x − 4)

Grau 3, Inequação racional básica

Treina: o quadro de três linhas e a regra da bolinha do denominador. Todas já vêm com zero de um lado, não é preciso arrumar nada antes.

(1) [L 4h] (x − 1)/(x − 2) > 0

(2) [L 4i] (2 − 3x)/(x + 2) > 0

(3) [L 4j] (x^2 − 9)/(x + 1) ≥ 0

(4) (x^2 − 1)/(x^2 − 4) ≤ 0

(5) [L 4g] 3x(x + 4)² / (x − 2)² < 0 (atenção aos quadrados)

Grau 4, Inequação que precisa ser arrumada primeiro

Treina: passar tudo para um lado ANTES de estudar o sinal, sem multiplicar pelo denominador. É o degrau em que mais gente cai.

(1) [L 4k] (2x − 1)/(x − 3) > 7

(2) [L 4l] x/(2x − 3) ≤ 3

(3) [L 4n] (9x − 6)/(x + 2) > 6

(4) [L 4m] (x − 3)/(x^2 + 1) < 5 (repare no denominador antes de trabalhar)

Grau 5, Domínio que exige resolver uma inequação

Treina: juntar as duas proibições na mesma questão. É o nível dos itens (e), (f) e (g) da prova.

(1) [L 5c] f(x) = x / √(|x| − 1)

(2) [L 5e] g(x) = √(4 − x) + √(x² − 1) (duas condições, e a resposta é a interseção)

(3) [L 5h] g(x) = (x + 3) / (4 − √(x² − 9))

(4) [L 5i] h(x) = √[ (x − 1)/(x^2 − 6x + 8) ]

(5) [L 5f] h(x) = √( 1 − √(1 − x²) ) (raiz dentro de raiz)

(6) F(x) = √[ (x^2 − 4)/(x^2 − x − 2) ]

Grau 6, Composição e nível de prova

Treina: montar a composta e depois achar o domínio dela. É o Problema 2 inteiro, em versões menores.

(1) [L 11a] f(x) = x + 1, g(x) = 3x, h(x) = 4 − x. Encontre f ∘ g ∘ h.

(2) [L 11b] f(x) = 3x + 4, g(x) = 2x − 1, h(x) = x². Encontre f ∘ g ∘ h.

(3) [L 11c] f(x) = 3x − 2, g(x) = sen(x), h(x) = x². Encontre f ∘ g ∘ h.

(4) [L 10] f(x) = 2x + b e g(x) = x². Sabendo que (g ∘ f)(x) = 4x² − 12x + 9, determine b.

(5) f(x) = (x + 2)/(x − 4) e g(x) = √(x − 1). Determine (g ∘ f)(x) e o seu domínio.

(6) f(x) = (x − 1)/(x + 3) e g(x) = √(x + 1). Determine (g ∘ f)(x) e o seu domínio.

Gabarito comentado dos seis graus

Grau 1, Mecânica algébrica

1.1 Fatorações

# · Expressão · Fatorada · Como se acha

1 · x² − 4 · (x − 2)(x + 2) · diferença de quadrados, com b = 2

2 · x² − 9 · (x − 3)(x + 3) · diferença de quadrados, com b = 3

3 · x² + 2x − 15 · (x + 5)(x − 3) · somam −2 e multiplicam −15

4 · x² − x − 2 · (x − 2)(x + 1) · somam 1 e multiplicam −2

5 · x² − 6x + 8 · (x − 2)(x − 4) · somam 6 e multiplicam 8

6 · x² − 6x + 5 · (x − 1)(x − 5) · somam 6 e multiplicam 5

7 · 2x² + 6x − 8 · 2(x + 4)(x − 1) · ponha o 2 em evidência primeiro

8 · x² − 2x − 1 · (x − 1 + √2)(x − 1 − √2) · Δ = 8, raízes 1 ± √2. Nem todo trinômio tem raiz inteira

1.2 Quociente único

# · Expressão · Resultado · Comentário

1 · 1 + 1/x · (x + 1)/x ·

2 · 3 + 2/(x − 1) · (3x − 1)/(x − 1) · 3(x − 1) + 2 = 3x − 3 + 2

3 · (6 − 2x)/(x^2 + 2x − 15) + 1 · (x^2 − 9)/(x^2 + 2x − 15) · é o item (a) da prova

4 · 1/x − 1/(x + 1) · 1/(x^2 + x) · denominador comum x(x + 1); em cima sobra 1

5 · (2x − 1)/(x − 3) − 7 · (−5x + 20)/(x − 3) · 2x − 1 − 7x + 21. O menos distribui

6 · x/(2x − 3) − 3 · (−5x + 9)/(2x − 3) · x − 6x + 9

1.3 Simplificações

# · Expressão · Simplificada · Restrição, NÃO ESQUEÇA

1 · (x^2 − 4)/(x + 2) · x − 2 · x ≠ −2

2 · (x^2 − 9)/(x^2 + 2x − 15) · (x + 3)/(x + 5) · x ≠ 3 e x ≠ −5

3 · (x^2 − x − 2)/(x − 2) · x + 1 · x ≠ 2

4 · (x^2 − 6x + 8)/(x^2 − 16) · (x − 2)/(x + 4) · x ≠ 4 e x ≠ −4

5 · (2x^2 + 6x − 8)/(x − 1) · 2(x + 4) · x ≠ 1

A RESTRIÇÃO É PARTE DA RESPOSTA

Em todos os cinco, o fator cancelado deixa uma proibição para trás. No item 2, note que x ≠ −5 vem do fator que SOBROU no denominador, e x ≠ 3 vem do fator que FOI CANCELADO. Os dois valem.

Uma resposta sem a restrição está incompleta, e é exatamente o erro que o Problema 2 da prova foi desenhado para pegar.

Grau 2, Domínio direto

# · Função · Condição · Domínio

1 · (x + 2)/(x^2 − 1) · x² − 1 ≠ 0 · ℝ − {−1, 1}

2 · (3x + 4)/(x^2 − x − 2) · (x − 2)(x + 1) ≠ 0 · ℝ − {−1, 2}

3 · |x² − 1| / ∛(x + 1) · x + 1 ≠ 0, a raiz cúbica aceita negativo · ℝ − {−1}

4 · 1/(x^2 − 2x − 1) · Δ = 8, raízes 1 ± √2 · ℝ − {1 − √2, 1 + √2}

5 · (x + 2)/(x − 4) · x − 4 ≠ 0 · ℝ − {4}

O ITEM 3 É O QUE ENSINA ALGO

Raiz de índice ÍMPAR (cúbica, quinta…) aceita número negativo: ∛(−8) = −2. Só as de índice PAR exigem radicando ≥ 0.

Aqui, portanto, a única proibição é a do denominador, e não há inequação nenhuma a resolver, apesar do símbolo de raiz.

Grau 3, Inequação racional básica

# · Inequação · Pontos-chave · Solução

1 · (x − 1)/(x − 2) > 0 · 1 (num), 2 (den) · (−∞, 1) ∪ (2, +∞)

2 · (2 − 3x)/(x + 2) > 0 · 2/3 (num), −2 (den) · (−2, 2/3)

3 · (x^2 − 9)/(x + 1) ≥ 0 · −3 e 3 (num), −1 (den) · [−3, −1) ∪ [3, +∞)

4 · (x^2 − 1)/(x^2 − 4) ≤ 0 · −1 e 1 (num), −2 e 2 (den) · (−2, −1] ∪ [1, 2)

5 · 3x(x + 4)²/(x − 2)² < 0 · 0 e −4 (num), 2 (den) · (−∞, −4) ∪ (−4, 0)

OS DOIS QUE ENSINAM ALGO NOVO

(3), repare na assimetria das bolinhas: −3 e 3 zeram o NUMERADOR e entram (a inequação é ≥); mas o −1 zera o DENOMINADOR e sai, mesmo com o "igual" presente. É a regra da seção A.13 em ação.

(4), mesma coisa: −1 e 1 entram com colchete, −2 e 2 saem com parêntese.

(5), os fatores ao quadrado nunca trocam de sinal. (x + 4)² é ≥ 0 e (x − 2)² é > 0 fora do 2. Então o sinal é o de 3x, sozinho. Mas o −4 tem que sair da resposta: lá a expressão vale ZERO, e a pergunta era "< 0", estritamente. Daí o furo em (−∞, −4) ∪ (−4, 0).

Grau 4, Inequação que precisa ser arrumada

# · Original · Depois de arrumar · Solução

1 · (2x − 1)/(x − 3) > 7 · (−5x + 20)/(x − 3) > 0 · (3, 4)

2 · x/(2x − 3) ≤ 3 · (−5x + 9)/(2x − 3) ≤ 0 · (−∞, 3/2) ∪ [9/5, +∞)

3 · (9x − 6)/(x + 2) > 6 · (3x − 18)/(x + 2) > 0 · (−∞, −2) ∪ (6, +∞)

4 · (x − 3)/(x^2 + 1) < 5 · 5x² − x + 8 > 0 · ℝ

O ITEM 4 É O ÚNICO EM QUE SE PODE MULTIPLICAR

Porque x² + 1 é sempre positivo, Δ = −4 < 0 e a > 0. Multiplicar por algo que você SABE ser positivo é seguro: a desigualdade não inverte.

Feito isso: x − 3 < 5(x² + 1) ⇒ 0 < 5x² − x + 8. Esse trinômio tem Δ = 1 − 160 = −159 < 0 e a = 5 > 0, logo é positivo sempre. S = ℝ.

Guarde a regra completa: só se multiplica por denominador quando ele tem sinal constante e conhecido. Em todos os outros casos, passe para um lado e estude o sinal.

Grau 5, Domínio que exige inequação

# · Função · Condições · Domínio

1 · x / √(|x| − 1) · |x| − 1 > 0 (raiz no denominador: estrito) · (−∞, −1) ∪ (1, +∞)

2 · √(4 − x) + √(x² − 1) · 4 − x ≥ 0 E x² − 1 ≥ 0 · (−∞, −1] ∪ [1, 4]

3 · (x + 3)/(4 − √(x² − 9)) · x² − 9 ≥ 0 E 4 − √(x² − 9) ≠ 0 · ((−∞, −3] ∪ [3, +∞)) − {−5, 5}

4 · √[ (x − 1)/(x^2 − 6x + 8) ] · quociente ≥ 0; den. zera em 2 e 4 · [1, 2) ∪ (4, +∞)

5 · √( 1 − √(1 − x²) ) · 1 − x² ≥ 0 E 1 − √(1 − x²) ≥ 0 · [−1, 1]

6 · √[ (x^2 − 4)/(x^2 − x − 2) ] · quociente ≥ 0; den. zera em −1 e 2 · (−∞, −2] ∪ (−1, 2) ∪ (2, +∞)

Comentários dos que têm truque:

(2), as duas condições valem AO MESMO TEMPO, então a resposta é a interseção, e não a união. De x ≤ 4 com (x ≤ −1 ou x ≥ 1) sobra (−∞, −1] ∪ [1, 4]. Desenhe as duas retas alinhadas, como no Módulo 1.

(3), a segunda condição vira √(x² − 9) ≠ 4, ou seja, x² − 9 ≠ 16, isto é, x² ≠ 25, logo x ≠ ±5. Note que ±5 estavam dentro da região permitida pela primeira condição, por isso precisam ser furados explicitamente.

(4), fatorando, x² − 6x + 8 = (x − 2)(x − 4). Pontos-chave 1, 2 e 4. O 1 zera só o numerador e entra; o 2 e o 4 zeram o denominador e saem.

(5), a condição de fora, 1 − √(1 − x²) ≥ 0, equivale a √(1 − x²) ≤ 1, que equivale a 1 − x² ≤ 1, ou seja, −x² ≤ 0, verdade para todo x. Logo a condição de fora não restringe nada, e o domínio é o da condição de dentro: [−1, 1].

(6), mesmo formato do Problema 2 da prova: x² − 4 = (x−2)(x+2) e x² − x − 2 = (x−2)(x+1). O 2 é raiz dos DOIS e sai; o −2 zera só o numerador e entra; o −1 zera só o denominador e sai.

Grau 6, Composição e nível de prova

# · Enunciado · Resposta · Como se faz

1 · f∘g∘h com x+1, 3x, 4−x · 13 − 3x · de dentro para fora: h(x) = 4−x; g disso = 3(4−x) = 12−3x; f disso = 12−3x+1

2 · f∘g∘h com 3x+4, 2x−1, x² · 6x² + 1 · g(x²) = 2x²−1; f disso = 3(2x²−1)+4 = 6x²−3+4

3 · f∘g∘h com 3x−2, sen x, x² · 3·sen(x²) − 2 · g(x²) = sen(x²); f disso = 3·sen(x²) − 2

4 · (g∘f)(x) = 4x² − 12x + 9 · b = −3 · (2x+b)² = 4x² + 4bx + b². Compare: 4b = −12 ⇒ b = −3, e b² = 9 confere

Exercício 5: resolvido por inteiro

Com f(x) = (x + 2)/(x − 4) e g(x) = √(x − 1), a composta é:

(g∘f)(x) = √( f(x) − 1 ) = √[ (x + 2)/(x − 4) − 1 ] = √[ ((x + 2) − (x − 4))/(x − 4) ] = √[ 6/(x − 4) ]

Condições: x ≠ 4, para f existir; e 6/(x − 4) ≥ 0, para a raiz existir. Como o numerador 6 é sempre positivo, o quociente tem o sinal de (x − 4), e é positivo apenas para x > 4. O ponto x = 4 já estava proibido.

D( g ∘ f ) = ( 4 , +∞ )

Exercício 6: resolvido por inteiro

Com f(x) = (x − 1)/(x + 3) e g(x) = √(x + 1):

(g∘f)(x) = √( f(x) + 1 ) = √[ ((x − 1) + (x + 3))/(x + 3) ] = √[ (2x + 2)/(x + 3) ]

Pontos-chave: o numerador 2x + 2 zera em x = −1; o denominador zera em x = −3. Estudando o sinal do quociente: positivo para x < −3, negativo entre −3 e −1, positivo para x > −1. O −1 entra (zera só o numerador); o −3 sai (zera o denominador).

D( g ∘ f ) = ( −∞ , −3 ) ∪ [ −1 , +∞ )

ESTES DOIS SÃO O PROBLEMA 2 EM MINIATURA

Mesmo roteiro: somar com 1 dentro da raiz, chegar a um quociente único, estudar o sinal e ler o domínio cuidando das bolinhas.

A diferença para a prova é só o grau dos polinômios, lá são do 2º grau, aqui do 1º. Se estes dois saírem sem consulta, o Problema 2 está dominado.