Cálculo 1: cartão de bolso

CARTÃO DE BOLSO

Cálculo Diferencial 1 · P1

Tudo em duas páginas

Para a véspera e para o corredor, nada aqui é novo, tudo já está nos módulos

Autor: Ulysses Cesar · Engenharia Civil

COMO LER OS SÍMBOLOS DESTE MÓDULO

Nenhum símbolo aqui é decoração: cada um substitui uma frase inteira. Se travar na leitura de uma equação, volte a esta tabela.

Símbolo · Lê-se · O que é

e · e (número de Euler) · número fixo ≈ 2,718. É a base do logaritmo natural (ln). Não é uma variável: vale sempre a mesma coisa, como o π.

π · pi · número fixo ≈ 3,1416. Razão entre a circunferência e o diâmetro.

∞ · infinito · não é número: indica que o intervalo não tem fim daquele lado.

ℝ · erre, conjunto dos reais · todos os números da reta: inteiros, frações e irracionais.

θ · teta · letra grega. Nomeia um ângulo, quase sempre o ângulo entre dois vetores.

√ · raiz quadrada · pergunta qual número, multiplicado por ele mesmo, dá o que está sob o traço.

· · vezes · multiplicação. Usa-se o ponto para não confundir com a letra x.

× · vezes · multiplicação.

± · mais ou menos · as duas contas valem: uma com +, outra com −.

≤ · menor ou igual a · inclui o próprio valor.

≥ · maior ou igual a · inclui o próprio valor.

≠ · diferente de · não é igual.

⟺ · se e somente se · os dois lados valem juntos: um garante o outro, nos dois sentidos.

| · módulo, ou norma, escreve-se |v| · |v| é o comprimento do vetor v; |x| é a distância de x até zero. Nunca é negativo.

∈ · pertence a · o elemento está dentro do conjunto.

ln · logaritmo natural · logaritmo de base e (≈ 2,718). ln(x) pergunta: e elevado a quanto dá x?

log · logaritmo · quando a base não vem escrita, é base 10. log(x) pergunta: 10 elevado a quanto dá x?

sen · seno · num triângulo retângulo, cateto oposto dividido pela hipotenusa.

cos · cosseno · cateto adjacente dividido pela hipotenusa.

tg · tangente · seno dividido por cosseno.

cotg · cotangente · o inverso da tangente.

sec · secante · o inverso do cosseno.

cossec · cossecante · o inverso do seno.

arcsen · arco-seno · a pergunta invertida: qual ângulo tem este seno? A resposta é um ÂNGULO.

arccos · arco-cosseno · qual ângulo tem este cosseno?

arctg · arco-tangente · qual ângulo tem esta tangente?

² (expoente 2) · ao quadrado · o número multiplicado por ele mesmo. x² é x·x.

AS TRÊS PROIBIÇÕES QUE DEFINEM TODO DOMÍNIO

Proibição · Condição a impor

denominador · ≠ 0

raiz de índice par · radicando ≥ 0 (e > 0 se estiver no denominador)

logaritmo · argumento > 0 · base > 0 e ≠ 1

Havendo mais de uma, o domínio é a interseção delas. Raiz de índice ímpar não restringe nada.

INEQUAÇÕES: OS TRÊS PRINCÍPIOS

O QUE NUNCA SE FAZ E O QUE SEMPRE SE FAZ

1. Nunca multiplique cruzado quando houver incógnita no denominador, o sinal dele é desconhecido, e multiplicar por negativo inverte a desigualdade. Passe tudo para um lado e reduza a um único quociente.

2. Fatore e monte o quadro de sinais, faixa por faixa, multiplicando os sinais coluna a coluna.

3. Raiz do denominador nunca entra na resposta, nem com ≤ ou ≥, ali a expressão não existe. Raiz do numerador entra quando a desigualdade for ≤ ou ≥.

E o caso especial: fator ao quadrado não muda o sinal, só gera ponto isolado onde zera.

INTERVALOS

Notação · Lê-se · Extremo

[a, b] · a ≤ x ≤ b · fechado, inclui

(a, b) · a < x < b · aberto, exclui

[a, +∞) · x ≥ a · infinito nunca leva colchete

LOGARITMO

Propriedade · Fórmula

produto · ln(a·b) = ln a + ln b

quociente · ln(a/b) = ln a − ln b

potência · ln(aⁿ) = n · ln a

mudança de base · log de a na base b = ln a / ln b

definição · log de a na base b = x ⟺ bˣ = a

Para tirar x de um expoente, aplique ln nos dois lados. Para tirar x de dentro de um logaritmo, aplique a exponencial nos dois lados. E sempre confira se a solução está no domínio.

PARIDADE

O TESTE E A REGRA DE PRODUTO

f(−x) = f(x) → par (espelho no eixo y) · f(−x) = −f(x) → ímpar (giro de 180° na origem)

O domínio precisa ser simétrico, senão não é nem par nem ímpar.

Atalho para polinômio: só expoentes pares → par; só ímpares → ímpar; misturado → nenhum.

Regra de produto: par×par = par · ímpar×ímpar = par · par×ímpar = ímpar.

E antes de testar, simplifique: |eˣ| = eˣ, eln|x|+1 = e·|x|.

TRIGONOMETRIA: SINAIS POR QUADRANTE

Quadrante · Intervalo · sen · cos · tg

1º · [0, π/2] · + · + · +

2º · [π/2, π] · + · − · −

3º · [π, 3π/2] · − · − · +

4º · [−π/2, 0] · − · + · −

O intervalo é metade do enunciado: tg x = 2 acontece no 1º e no 3º quadrantes, com sinais opostos.

θ · 0 · π/6 (30°) · π/4 (45°) · π/3 (60°) · π/2 (90°) · π (180°)

sen · 0 · 1/2 · √2/2 · √3/2 · 1 · 0

cos · 1 · √3/2 · √2/2 · 1/2 · 0 · −1

Identidades: sen²x + cos²x = 1 · sec²x = 1 + tg²x · cossec²x = 1 + cotg²x

FUNÇÕES INVERSAS: A FAIXA DA RESPOSTA

Função · Domínio · Imagem

arcsen · [−1, 1] · [−π/2, π/2]

arccos · [−1, 1] · [0, π]

arctg · ℝ · (−π/2, π/2)

arccotg · ℝ · (0, π)

AS DUAS ARMADILHAS

Domínio: arcsen(−√2) não existe, o seno nunca sai de [−1, 1]. Verifique o domínio antes de calcular.

arcsen(sen θ) ≠ θ quando θ está fora de [−π/2, π/2]. Calcule o seno primeiro, depois pergunte qual ângulo daquela faixa tem esse seno. Ex.: arcsen(sen 5π/4) = −π/4, e não 5π/4.

A TÉCNICA QUE RESOLVE AS CINCO IDENTIDADES

DÊ UM NOME AO ÂNGULO

Chame θ = arcsen x. Então, por definição, sen θ = x, e θ ∈ [−π/2, π/2].

Daí é trigonometria comum, e o intervalo de θ é o que decide o sinal da raiz.

Para cos(arcsen x): cos²θ = 1 − x², e como θ ∈ [−π/2, π/2] o cosseno é não negativo, logo cos(arcsen x) = +√(1 − x²).

Essa última linha é a resposta do item (f) do Problema 5 da prova.

OS ERROS QUE CUSTAM PONTO

Erro · Onde acontece

multiplicar cruzado com incógnita no denominador · Problema 2, item (f)

esquecer o ponto isolado do fator ao quadrado · Lista, problema 4(f)

incluir a raiz do denominador na resposta · Problemas 2 e 3

esquecer de conferir a solução no domínio · Problema 3, itens (e) e (f)

aplicar arcsen(sen θ) = θ fora da faixa · Problema 5

dar ±√(1−x²) sem justificar o sinal · Problema 5, itens (e) e (f)

(a + b)² = a² + b² · em toda parte

esquecer que o domínio precisa ser simétrico · Problema 4

AS CINCO QUESTÕES, EM UMA LINHA CADA

Questão · Do que se trata · O que decide

1 · conjuntos, discriminante, sinais, intervalos, De Morgan · quadro de sinais bem feito

2 · função racional, composta, domínio · a inequação-quociente do item (f)

3 · logaritmo, condições de existência, mudança de base · as duas condições: base e argumento

4 · exponencial, simetria, gráficos · provar a simetria no item (f)

5 · trigonometria, inversas, identidades · a técnica "dê um nome ao ângulo"