Cálculo 1: resoluções da lista, volume 2

LISTA DE EXERCÍCIOS DA P1, CÁLCULO DIFERENCIAL 1

Caderno de resoluções · Volume 2

Trigonometria, exponencial e logaritmo

Problemas 14 a 25, resolvidos passo a passo

Guia da P1 · Autor: Ulysses Cesar · Curso de Engenharia Civil

O QUE ESTE VOLUME COBRE

Problemas 14 a 25: os valores de seno, cosseno e tangente por quadrante; as funções trigonométricas inversas; as cinco identidades que o professor manda demonstrar; e toda a parte de exponencial e logaritmo.

São exatamente os assuntos dos Módulos 3, 4 e 5 do seu Guia da P1, e o Problema 16(a) desta lista é, literalmente, o item (e) do Problema 5 da prova.

COMO LER OS SÍMBOLOS DESTE MÓDULO

Nenhum símbolo aqui é decoração: cada um substitui uma frase inteira. Se travar na leitura de uma equação, volte a esta tabela.

Símbolo · Lê-se · O que é

e · e (número de Euler) · número fixo ≈ 2,718. É a base do logaritmo natural (ln). Não é uma variável: vale sempre a mesma coisa, como o π.

π · pi · número fixo ≈ 3,1416. Razão entre a circunferência e o diâmetro.

∞ · infinito · não é número: indica que o intervalo não tem fim daquele lado.

ℝ · erre, conjunto dos reais · todos os números da reta: inteiros, frações e irracionais.

θ · teta · letra grega. Nomeia um ângulo, quase sempre o ângulo entre dois vetores.

√ · raiz quadrada · pergunta qual número, multiplicado por ele mesmo, dá o que está sob o traço.

· · vezes · multiplicação. Usa-se o ponto para não confundir com a letra x.

× · vezes · multiplicação.

÷ · dividido por · divisão.

± · mais ou menos · as duas contas valem: uma com +, outra com −.

≤ · menor ou igual a · inclui o próprio valor.

≥ · maior ou igual a · inclui o próprio valor.

≠ · diferente de · não é igual.

≈ · aproximadamente igual a · valor arredondado, não exato.

⟹ · implica · se o lado esquerdo vale, então o direito também vale.

⟺ · se e somente se · os dois lados valem juntos: um garante o outro, nos dois sentidos.

| · módulo, ou norma, escreve-se |v| · |v| é o comprimento do vetor v; |x| é a distância de x até zero. Nunca é negativo.

∈ · pertence a · o elemento está dentro do conjunto.

∪ · união · junta tudo o que está em qualquer um dos dois conjuntos.

∎ · fim da demonstração · marca o ponto em que a prova terminou.

ln · logaritmo natural · logaritmo de base e (≈ 2,718). ln(x) pergunta: e elevado a quanto dá x?

log · logaritmo · quando a base não vem escrita, é base 10. log(x) pergunta: 10 elevado a quanto dá x?

sen · seno · num triângulo retângulo, cateto oposto dividido pela hipotenusa.

cos · cosseno · cateto adjacente dividido pela hipotenusa.

tg · tangente · seno dividido por cosseno.

cotg · cotangente · o inverso da tangente.

sec · secante · o inverso do cosseno.

cossec · cossecante · o inverso do seno.

arcsen · arco-seno · a pergunta invertida: qual ângulo tem este seno? A resposta é um ÂNGULO.

arccos · arco-cosseno · qual ângulo tem este cosseno?

arctg · arco-tangente · qual ângulo tem esta tangente?

² (expoente 2) · ao quadrado · o número multiplicado por ele mesmo. x² é x·x.

³ (expoente 3) · ao cubo · o número multiplicado por ele mesmo três vezes.

PROBLEMA 14, ACHAR OS OUTROS DOIS VALORES TRIGONOMÉTRICOS

O MÉTODO, EM TRÊS PASSOS

1. Descubra o quadrante a partir do intervalo dado. É ele que decide os sinais.

2. Use a identidade fundamental sen²x + cos²x = 1 para achar o que falta, ou sec²x = 1 + tg²x quando o dado for a tangente.

3. Ponha o sinal do quadrante. A conta dá o valor absoluto; o quadrante dá o sinal.

Quadrante · Intervalo · sen · cos · tg

1º · [0, π/2] · + · + · +

2º · [π/2, π] · + · − · −

3º · [π, 3π/2] · − · − · +

4º · [−π/2, 0] ou [3π/2, 2π] · − · + · −

(a) sen x = 3/5, x ∈ [π/2, π]

Quadrante: 2º, cosseno e tangente negativos.

cos^2x = 1 − 9/25 = 16/25 ⟹ |cos x| = 4/5 ⟹ cos x = −4/5

tg x = sen x/cos x =(3/5)/(−4/5)= −3/4

(b) cos x = 1/3, x ∈ [−π/2, 0]

Quadrante: 4º, seno e tangente negativos.

sen^2x = 1 − 1/9 = 8/9 ⟹ |sen x| = 2√2/3 ⟹ sen x = −2√2/3

tg x =(−2√2/3)/(1/3)= −2√2

(c) sen x = −1/2, x ∈ [π, 3π/2]

Quadrante: 3º, cosseno negativo, tangente positiva.

cos^2x = 1 − 1/4 = 3/4 ⟹ cos x = −√3/2

tg x =(−1/2)/(−√3/2)= 1/√3 = √3/3

(d) tg x = 2, x ∈ [0, π]

Quadrante: a tangente é positiva, e no intervalo [0, π] isso só ocorre no 1º, logo tudo positivo.

Use a identidade da secante:

sec^2x = 1 + tg^2x = 1 + 4 = 5 ⟹ sec x = √5 ⟹ cos x = 1/√5 = √5/5

sen x = tg x · cos x = 2 ·(√5/5)= 2√5/5

(e) tg x = 2, x ∈ [π, 3π/2]

Mesma tangente, 3º quadrante: seno e cosseno ambos negativos.

cos x = −√5/5 sen x = −2√5/5

O PAR (D) E (E) EXISTE PARA ENSINAR UMA COISA

A tangente não determina sozinha o ponto: tg x = 2 acontece uma vez no 1º quadrante e outra no 3º, com seno e cosseno de sinais opostos.

É por isso que todo item deste problema informa o intervalo. O intervalo é metade do enunciado.

(f) tg x = 1/2, x ∈ [−π, −π/2]

Quadrante: o intervalo [−π, −π/2] é o 3º (equivale a [π, 3π/2]), seno e cosseno negativos.

sec^2x = 1 + 1/4 = 5/4 ⟹ |cos x| = 2/√5 ⟹ cos x = −2√5/5

sen x = tg x · cos x =(1/2)(−2√5/5)= −√5/5

(g) cos x = −5/13, x ∈ [π/2, π]

Quadrante: 2º, seno positivo, tangente negativa.

sen^2x = 1 − 25/169 = 144/169 ⟹ sen x = 12/13

tg x =(12/13)/(−5/13)= −12/5

Repare no terno pitagórico (5, 12, 13), o mesmo que aparece na prova de Geometria.

PROBLEMA 15, VALORES EXATOS DAS FUNÇÕES INVERSAS

O QUE UMA FUNÇÃO INVERSA DEVOLVE

arcsen y é o ângulo cujo seno é y, e não um seno. A resposta de todo item aqui é um ângulo.

Cada inversa tem uma faixa de saída fixa, escolhida para que a função seja injetora:

Função · Domínio · Imagem (a faixa da resposta)

arcsen · [−1, 1] · [−π/2, π/2]

arccos · [−1, 1] · [0, π]

arctg · ℝ · (−π/2, π/2)

arcsec, arccossec · |x| ≥ 1 · conforme a convenção do livro

arccotg · ℝ · (0, π)

Item · Expressão · Raciocínio · Resposta

(a) · arccos(−1) · qual ângulo em [0,π] tem cosseno −1? · π

(b) · arcsen(0,5) · sen = 1/2 em [−π/2, π/2] · π/6

(c) · arctg √3 · tg = √3 · π/3

(d) · arctg(−1) · tg = −1, e a saída é negativa · −π/4

(e) · arccossec √2 · cossec = √2 ⟺ sen = 1/√2 · π/4

(f) · arcsen(1) · sen = 1 · π/2

(g) · arcsen(−√2) · −√2 ≈ −1,41 está fora de [−1,1] · não existe

(h) · arccotg √3 · cotg = √3 ⟺ tg = 1/√3 · π/6

(i) · arcsec 2 · sec = 2 ⟺ cos = 1/2 · π/3

(j) · arccos(√3/2) · cos = √3/2 em [0,π] · π/6

(k) · arcsen(sen(5π/4)) · ver abaixo · −π/4

O ITEM (G) É UMA ARMADILHA DE DOMÍNIO

Não existe ângulo cujo seno seja −√2, porque o seno nunca sai de [−1, 1]. A resposta não é um número: é "não está definido".

Se o professor cobrar isso na prova, ele quer ver você verificar o domínio antes de calcular.

O ITEM (K) É A OUTRA ARMADILHA

Parece que arcsen(sen θ) = θ sempre. Não é. Só vale quando θ já está em [−π/2, π/2], que é a imagem do arcsen.

Aqui θ = 5π/4 (3º quadrante) está fora dessa faixa. Então:

1. Calcule primeiro o seno: sen(5π/4) = −√2/2.

2. Pergunte: qual ângulo de [−π/2, π/2] tem seno −√2/2? É −π/4.

Resposta: −π/4, e não 5π/4.

PROBLEMA 16, DEMONSTRAR IDENTIDADES COM INVERSAS

A TÉCNICA ÚNICA DESTE PROBLEMA

Todas as cinco saem do mesmo truque: dê um nome ao ângulo.

Chame θ = arcsen(x). Então, por definição, sen θ = x, e θ está em [−π/2, π/2].

A partir daí é trigonometria comum, e o intervalo de θ é o que decide o sinal da raiz.

(a) cos(arcsen x) = √(1 − x²)

Seja θ = arcsen x. Então sen θ = x, com θ ∈ [−π/2, π/2].

Pela identidade fundamental:

cos^2θ = 1 − sen^2θ = 1 − x^2 ⟹ cos θ = ± √(1 − x^2)

Como θ ∈ [−π/2, π/2], o 1º e o 4º quadrantes, o cosseno é não negativo. Descarta-se o sinal negativo:

cos(arcsen x)= √(1 − x^2) ∎ fim da demonstração

ESTA É A IDENTIDADE DO ITEM (E) DO PROBLEMA 5 DA SUA PROVA

Palavra por palavra. E o item (f) da prova pergunta justamente por que não vale a versão com sinal negativo, a resposta é a linha acima: o cosseno não é negativo em [−π/2, π/2].

Treine esta demonstração até sair em três linhas.

(b) sec(arctg x) = √(1 + x²)

Seja θ = arctg x, com θ ∈ (−π/2, π/2). Da identidade sec²θ = 1 + tg²θ:

sec^2θ = 1 + x^2 ⟹ sec θ = ± √(1 + x^2)

Em (−π/2, π/2) o cosseno é positivo, logo a secante também. Fica o sinal positivo. ∎

(c) cos(2 arcsen x) = 1 − 2x²

Seja θ = arcsen x, logo sen θ = x. Use a fórmula do arco duplo na forma que só envolve seno:

cos 2θ = 1 − 2sen^2θ = 1 − 2x^2 ∎ fim da demonstração

Aqui nem foi preciso discutir sinal, a fórmula do arco duplo já entrega o resultado.

(d) tg(arcsen x) = x/√(1 − x^2), para −1 < x < 1

Seja θ = arcsen x, com sen θ = x. Pela definição de tangente e pelo item (a):

tg θ = sen θ/cos θ = x/√(1 − x^2) ∎ fim da demonstração

A restrição −1 < x < 1 (com desigualdade estrita) existe para que o denominador não se anule.

(e) sen(arccotg x) = 1/√(1 + x^2)

Seja θ = arccotg x, com θ ∈ (0, π), logo cotg θ = x. Da identidade cossec²θ = 1 + cotg²θ:

cossec^2θ = 1 + x^2 ⟹ 1/sen^2θ = 1 + x^2 ⟹ sen^2θ = 1/(1 + x^2)

Como θ ∈ (0, π), o seno é positivo, e fica só a raiz positiva:

sen θ = 1/√(1 + x^2) ∎ fim da demonstração

PROBLEMA 17, ASSOCIAR FUNÇÃO E GRÁFICO

Associe cada função ao seu gráfico. Tente não usar calculadora gráfica.

Método. Não plote nada. Classifique por três traços visuais, nesta ordem:

1. Passa pela origem? Exponencial não passa (vale 1 em x = 0); as outras três passam.

2. É reta ou é curva?

3. Perto da origem é achatada ou íngreme? x³ é achatada perto de 0 e explode longe; ∛x é o contrário, íngreme perto de 0 e quase horizontal longe. São inversas uma da outra.

Curva no gráfico · Como se reconhece · Função

f (curva à esquerda, sempre positiva, cresce da esquerda para a direita) · não corta o eixo x; tem assíntota horizontal y = 0 à esquerda · (b) y = 3ˣ

G (reta) · única reta da figura · (a) y = 3x

F (curva ímpar, achatada perto da origem, sobe muito depois) · cúbica clássica · (c) x³

g (curva ímpar, íngreme na origem, quase horizontal longe) · é a inversa da cúbica, refletida na reta y = x · (d) ∛x

O ARGUMENTO QUE DECIDE ENTRE X³ E ∛X

Compare em x = 8. A cúbica dá 8³ = 512, dispara. A raiz cúbica dá ∛8 = 2, quase não sai do lugar.

Agora compare em x = 1/8. A cúbica dá 1/512 ≈ 0, colada no eixo. A raiz cúbica dá 1/2, já subiu bastante.

Perto da origem elas trocam de papel. É essa troca que se vê no desenho, e é a única coisa que você precisa saber para separar as duas.

PROBLEMA 18, MOSTRAR QUE G É PAR

g(x) = eˣ/(e²ˣ + 1).

Demonstração. O domínio é ℝ (o denominador nunca se anula, pois e²ˣ > 0), que é simétrico. Calcule g(−x):

g(−x)= e^(-x)/(e^(-2x)+ 1)

Multiplique numerador e denominador por e²ˣ, a manipulação que resolve todos os problemas deste tipo:

g(−x)= [ e^(-x)· e^(2x)]/[(e^(-2x)+ 1)· e^(2x)] = e^x/(1 + e^(2x))= g(x) ∎ fim da demonstração

Logo g é par.

PROBLEMA 19, MOSTRAR QUE H É ÍMPAR

h(x) = (1 − e1/x) / (1 + e1/x).

Demonstração. O domínio é ℝ − {0}, simétrico. Calcule h(−x), lembrando que 1/(−x) = −1/x:

h(−x)=(1 − e^(−1/x))/(1 + e^(−1/x))

Multiplique numerador e denominador por e1/x:

h(−x)=(e^(1/x)− 1)/(e^(1/x)+ 1)

Agora ponha −1 em evidência no numerador:

h(−x)= −(1 − e^(1/x))/(1 + e^(1/x))= − h(x) ∎ fim da demonstração

Logo h é ímpar.

O TRUQUE COMUM AOS PROBLEMAS 18 E 19

Sempre que aparecer e−alguma coisa numa fração, multiplique em cima e embaixo pela exponencial positiva correspondente. Os expoentes negativos somem e a expressão vira comparável com a original.

É o único movimento dos dois problemas.

PROBLEMA 20, ACHAR C E A DE UMA EXPONENCIAL

Usando os gráficos, determine f e g sabendo que são da forma C·aˣ.

O MÉTODO DOS DOIS PONTOS

Com dois pontos do gráfico você monta duas equações. Divida uma pela outra: o C se cancela e sobra só o a.

A função f, que passa por (1, 6) e (3, 24)

C·a^1 = 6 e C·a^3 = 24

Dividindo a segunda pela primeira:

a^3/a = 24/6 ⟹ a^2 = 4 ⟹ a = 2

(Descarta-se a = −2, porque a base de uma exponencial tem de ser positiva.)

Voltando à primeira: C·2 = 6 ⟹ C = 3.

Resposta: f(x) = 3·2ˣ.

A função g, que passa por (−1, 3) e (1, 4/3)

C·a^(−1)= 3 e C·a^1 = 4/3

Dividindo a segunda pela primeira:

a^2 =(4/3)/3 = 4/9 ⟹ a = 2/3

Voltando à segunda: C·(2/3) = 4/3 ⟹ C = 2.

Resposta: g(x) = 2·(2/3)ˣ.

Confira em x = −1: 2·(2/3)−1 = 2·(3/2) = 3 (confere)

E repare: como 0 < 2/3 < 1, g é decrescente, coerente com o gráfico.

PROBLEMA 21, DECOMPOR LOGARITMOS

AS TRÊS PROPRIEDADES, E NADA MAIS

ln(a·b) = ln a + ln b

ln(a/b) = ln a − ln b

ln(aⁿ) = n · ln a

O trabalho é sempre o mesmo: transforme o número numa fração ou potência de 2, 3, 5 e 7, e depois aplique as três regras.

Item · O número · Fatorado · Resposta

(a) · ln 0,75 · ln(3/4) · ln 3 − 2 ln 2

(b) · ln 9,8 · ln(49/5) · 2 ln 7 − ln 5

(c) · ln 1225 · ln(35²) = ln((5·7)²) · 2 ln 5 + 2 ln 7

(d) · ln ∛2 · ln(21/3) · (1/3) ln 2

(e) · ln 0,056 · ln(56/1000) = ln(7/125) · ln 7 − 3 ln 5

(f) · ln(4/9) · ln(2²/3²) · 2 ln 2 − 2 ln 3

(g) · ln(1/2) · ln(2⁻¹) · − ln 2

(h) · ln(1/125) · ln(5⁻³) · − 3 ln 5

(i) · ln √9 · ln 3 · ln 3

(j) · ln ⁷√7 · ln(71/7) · (1/7) ln 7

(k) · ln √13,5 · ln((27/2)1/2) · (3 ln 3 − ln 2)/2

Detalhe do item (e): 0,056 = 56/1000. Simplificando por 8: 7/125. E 125 = 5³.

Detalhe do item (k): 13,5 = 27/2, e 27 = 3³. Logo ln√13,5 = ½·ln(27/2) = ½(3 ln 3 − ln 2).

PROBLEMA 22, EQUAÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS

AS DUAS CHAVES

Para tirar x de um expoente, aplique ln nos dois lados: ln(aˣ) = x·ln a.

Para tirar x de dentro de um logaritmo, aplique a exponencial nos dois lados: eln u = u.

E, sempre, confira se a solução está no domínio, o argumento do logaritmo tem de ser positivo.

(a) e7−4x = 6

Aplicando ln nos dois lados:

7 − 4x = ln 6 ⟹ x =(7 − ln 6)/4 ≈ 1,30

(b) ln(x² − 1) = 3

Exponenciando:

x^2 − 1 = e^3 ⟹ x^2 = 1 + e^3 ⟹ x = ± √(1 + e^3)≈ ± 4,59

A conta do valor aproximado: e ≈ 2,718, e e³ ≈ 20,09. Somando 1, dá 21,09. E √21,09 ≈ 4,59, porque 4,6² = 21,16, um pouco acima.

Domínio: precisa de x² − 1 > 0, isto é |x| > 1. As duas raízes valem ≈ 4,59 em módulo, então ambas servem.

(c) 2x−5 = 3

(x − 5)ln 2 = ln 3 ⟹ x = 5 + ln 3/ln 2 = 5 + log_23 ≈ 6,58

(d) ln(ln x) = 1

Exponencie uma vez:

ln x = e

Exponencie de novo:

x = e^e ≈ 15,15

(e) ln(3x − 10) = 2

3x − 10 = e^2 ⟹ x =(e^2 + 10)/3 ≈ 5,80

Domínio: 3x − 10 > 0 ⟹ x > 10/3 ≈ 3,33. A solução satisfaz. (confere)

(f) e²ˣ − 3eˣ + 2 = 0

Método. É uma equação do 2º grau disfarçada. Substitua t = eˣ, notando que e²ˣ = (eˣ)² = t²:

t^2 − 3t + 2 = 0 ⟹ t = 1 ou t = 2

Voltando à variável original:

e^x = 1 ⟹ x = 0 e^x = 2 ⟹ x = ln 2 ≈ 0,69

As duas servem, a substituição só descartaria uma raiz se ela fosse t ≤ 0, o que não ocorre.

(g) ln x − ln(x − 1) = 1

Junte os logaritmos pela propriedade do quociente:

ln [ x/(x−1)] = 1 ⟹ x/(x−1)= e

x = e(x − 1)= ex − e ⟹ x − ex = −e ⟹ x(1 − e)= −e

x = e/(e − 1)≈ 1,58

Domínio: precisa de x > 0 e x − 1 > 0, ou seja x > 1. A solução ≈ 1,58 satisfaz. (confere)

(h) 3ˣ − 0,5 = 0

3^x = 1/2 ⟹ x ln 3 = −ln 2 ⟹ x = − ln 2/ln 3 ≈ −0,63

(i) 3 − 2⁻ˣ = 0

2^(-x)= 3 ⟹ −x ln 2 = ln 3 ⟹ x = − ln 3/ln 2 ≈ −1,58

PROBLEMA 23, DOMÍNIOS COM EXPONENCIAL, LOGARITMO E TRIGONOMETRIA

Item · Função · Condição · Domínio

(a) · ln(x − 3) + 1 · argumento do log > 0 · (3, +∞)

(b) · (1 − ex²)/(1 − e1−x²) · denominador ≠ 0: 1 − x² ≠ 0 · ℝ − {−1, 1}

(c) · √(10ˣ − 100) · 10ˣ ≥ 100 = 10² ⟹ x ≥ 2 · [2, +∞)

(d) · √(|x|−1)/(e^x − 1) · |x| ≥ 1 e x ≠ 0 (já excluído) · (−∞,−1] ∪ [1,+∞)

(e) · (1 + x)/ecos x · ecos x nunca é zero · ℝ

(f) · cos x/(1 − sen x) · sen x ≠ 1 · ℝ − { π/2 + 2kπ }

(g) · 1/(1 − tg x) · tg definida e tg x ≠ 1 · ℝ − { π/2 + kπ } − { π/4 + kπ }

(h) · ln|4 − x²| · |4 − x²| > 0 ⟹ x ≠ ±2 · ℝ − {−2, 2}

(i) · eˣ + ln√x · √x > 0 ⟹ x > 0 · (0, +∞)

(j) · ln(arccos x) · arccos x > 0 e x ∈ [−1,1] · [−1, 1)

(k) · arccos(√x − 1) · x ≥ 0 e −1 ≤ √x − 1 ≤ 1 · [0, 4]

(l) · 1 + e−sen x · nenhuma restrição · ℝ

(m) · sen(eˣ − 1) · nenhuma restrição · ℝ

OS TRÊS ITENS QUE MERECEM CONTA ESCRITA

(b) O denominador zera quando e1−x² = 1, isto é quando o expoente é zero: 1 − x² = 0, logo x = ±1. Exponencial só vale 1 quando o expoente é 0, essa é a chave.

(j) Duas condições encaixadas. A de fora, arccos x > 0, exclui o único ponto em que o arco-cosseno se anula, que é x = 1. Junto com o domínio [−1,1] do próprio arccos, sobra [−1, 1).

(k) Também duas: a raiz exige x ≥ 0; e o arccos exige que √x − 1 esteja em [−1, 1], ou seja 0 ≤ √x ≤ 2, ou seja 0 ≤ x ≤ 4. Interseção: [0, 4].

PROBLEMA 24, PARIDADE COM EXPONENCIAL E TRIGONOMETRIA

Item · f(x) · f(−x) · Classificação

(a) · x2/5 · (−x)2/5 = x2/5 · par

(b) · e−x² · e−x² · par

(c) · eln|x| + 1 = e·|x| · e·|x| · par (domínio x ≠ 0)

(d) · |eˣ| = eˣ · e⁻ˣ ≠ ± eˣ · nem par nem ímpar

(e) · arcsen x (também escrita sen⁻¹x) · arcsen(−x) = −arcsen x = −f(x) · ímpar

(f) · x + cos x · −x + cos x · nem par nem ímpar

(g) · x·cos x · (−x)·cos x = −f(x) · ímpar

(h) · sec x · tg x · sec x · (−tg x) = −f(x) · ímpar

(i) · x − sen x · −x + sen x = −f(x) · ímpar

AS SIMPLIFICAÇÕES QUE FAZEM OS ITENS (C) E (D) SAÍREM SOZINHOS

(c) eln|x| + 1 = eln|x| · e¹ = |x| · e. Como |x| é par e e é constante, o produto é par.

(d) |eˣ| = eˣ, porque a exponencial já é sempre positiva, o módulo não faz nada. E eˣ não é par nem ímpar.

Antes de testar paridade, simplifique. Metade destes itens some.

A REGRA DE PARIDADE PARA PRODUTOS

par × par = par · ímpar × ímpar = par · par × ímpar = ímpar

É a mesma regra de sinais da multiplicação. Ela resolve os itens (g) e (h) na hora: em (g), x é ímpar e cos x é par → ímpar; em (h), sec x é par e tg x é ímpar → ímpar.

PROBLEMA 25, QUOCIENTES DE LOGARITMOS

A ÚNICA FERRAMENTA: MUDANÇA DE BASE

log de a na base b = ln a / ln b

Reescreva tudo em ln e simplifique. Em quase todos os itens o ln x se cancela, e o resultado não depende de x.

(a) log₂x / log₃x

=(ln x/ln 2)/(ln x/ln 3)=(ln x/ln 2)·(ln 3/ln x)= ln 3/ln 2

(b) log₂x / log₈x

=(ln x/ln 2)·(ln 8/ln x)= ln 8/ln 2 = 3·ln 2/ln 2 = 3

(c) log de a na base x ÷ log de a na base x²

=(ln a/ln x)·(ln x^2/ln a)= ln x^2/ln x = 2·ln x/ln x = 2

(d) log₉x / log₃x

=(ln x/ln 9)·(ln 3/ln x)= ln 3/ln 9 = ln 3/(2 ln 3)= 1/2

(e) log de x na base √10 ÷ log de x na base √2

=(ln x/ln √10)·(ln √2/ln x)= ln √2/ln √10 =(½ ln 2)/(½ ln 10)= ln 2/ln 10

(f) log de b na base a ÷ log de a na base b

=(ln b/ln a)·(ln b/ln a)=(ln b)^2/(ln a)^2

O PADRÃO QUE FECHA O PROBLEMA

Nos itens (a) a (e), o ln x sempre se cancela, o quociente é uma constante, e o x não interessa. Só o item (f) foge, porque lá as duas bases também são variáveis.

Se numa prova você obtiver uma resposta que ainda contém x nos itens (a) a (e), inverteu uma fração no caminho.

ONDE CONTINUAR

Terminada a Lista, o próximo passo é o Guia da P1, Cálculo 1, que já está na sua pasta: cinco módulos, um por questão da prova, com cada item resolvido e o roteiro dos doze minutos.

A ordem que funciona: teoria no Guia → treino nesta Lista → prova resolvida no Guia, cronometrada.