Cálculo 1, módulo 5: trigonometria e funções inversas

GUIA DA P1: CÁLCULO 1

Módulo 5

Trigonometria e funções inversas

O módulo com mais teoria nova, construído do círculo até o arcsen

Guia da P1 · Autor: Ulysses Cesar

Curso de Engenharia Civil

LEIA ISTO ANTES DE COMEÇAR

Este é o único módulo em que o assunto é realmente novo. Nos outros quatro, a máquina era sempre a mesma, quadro de sinais na reta. Aqui a máquina é outra: o círculo trigonométrico.

Por isso a Parte A é a mais longa da série, e começa em "o que é um radiano". Não pule.

Em compensação, o Problema 5 é o mais BEM CONDUZIDO dos cinco: os oito itens formam uma única linha de raciocínio, e os dois últimos existem só para você conferir os anteriores. Quem entende os itens (a), (b) e (c) resolve os outros cinco quase sem esforço.

A IDEIA CENTRAL DO PROBLEMA, EM UMA FRASE

O seno, sozinho, não tem inversa, porque repete valores. Para dar-lhe uma inversa, restringe-se o domínio a [−π/2, π/2].

E é essa restrição, e só ela, que responde ao item mais sutil da questão: por que cos(arcsen x) é +√(1 − x²) e nunca −√(1 − x²). Porque nesse trecho o cosseno nunca é negativo.

Tudo o mais no Problema 5 é consequência disso.

COMO ESTE MÓDULO ESTÁ ORGANIZADO

PARTE A: teoria em 16 seções, do radiano até a composição com inversas.

PARTE B: os oito itens do Problema 5, resolvidos.

PARTE C: o roteiro dos doze minutos.

PARTE D: treino em seis graus.

FECHAMENTO, o mapa dos cinco módulos e um plano de estudo até 17 de setembro.

Sumário

PARTE A: A teoria, destrinchada

A.1 Ângulos: grau e radiano

A.2 O círculo trigonométrico

A.3 Seno e cosseno como coordenadas

A.4 Os sinais em cada quadrante

A.5 Os arcos notáveis, e como não decorá-los

A.6 A relação fundamental

A.7 Tangente, secante, cossecante e cotangente

A.8 Os gráficos de seno e cosseno

A.9 Função injetora, e o teste da reta horizontal

A.10 Função inversa: o que ela troca

A.11 Por que o seno não tem inversa, e como se resolve

A.12 arcsen: domínio, imagem e como calcular

A.13 arccos e arctan

A.14 A armadilha do arcsen(sen x)

A.15 Compor uma trigonométrica com uma inversa

A.16 O método do triângulo

PARTE B: O Problema 5, resolvido item por item

B.0 O enunciado e o mapa da questão

B.a Restringir o seno para torná-lo injetor [1,2]

B.b Domínio e imagem de arcsen [0,9]

B.c Domínio e imagem de cos(arcsen x) [1,8]

B.d Calcular cos(arcsen ½) [1,4]

B.e Provar a identidade [1,6]

B.f Por que não vale a versão negativa [0,9]

B.g Onde √(1 − x²) está definida [1,2]

B.h Refazer o item (d) pela identidade [1,0]

PARTE C: O roteiro dos doze minutos

PARTE D: Treino em seis graus

Grau 1, Radianos e arcos notáveis

Grau 2, A relação fundamental

Grau 3, Valores exatos de funções inversas

Grau 4, Identidades com inversas

Grau 5, Domínios com trigonometria

Grau 6, Nível de prova

Gabarito comentado dos seis graus

FECHAMENTO, O mapa dos cinco módulos e o plano até 17 de setembro

PARTE A: A teoria, destrinchada

A.1 Ângulos: grau e radiano

Há duas unidades para medir ângulo. O grau você conhece: a volta completa tem 360°. O radiano é outro jeito de medir a mesma coisa, e é o padrão em Cálculo.

A definição: um radiano é o ângulo que, num círculo de raio 1, corresponde a um arco de comprimento 1. Como a circunferência inteira mede 2π, a volta completa tem 2π radianos.

360° = 2π rad 180° = π rad

A conversão sai de uma regra de três a partir de 180° = π:

Graus · Radianos · Como se chega

0° · 0 ·

30° · π/6 · 180° ÷ 6

45° · π/4 · 180° ÷ 4

60° · π/3 · 180° ÷ 3

90° · π/2 · 180° ÷ 2

180° · π · a definição

270° · 3π/2 · π + π/2

360° · 2π · volta completa

POR QUE O CÁLCULO USA RADIANO

Porque em radianos as fórmulas de derivada ficam limpas: a derivada de sen x é cos x apenas se x estiver em radianos. Em graus apareceria um fator π/180 atrapalhando tudo.

Na prática: quando você vir π/6, leia "30 graus" mentalmente se ajudar. Mas escreva sempre em radianos, porque é assim que a prova está escrita.

A.2 O círculo trigonométrico

É um círculo de raio 1, centrado na origem. Um ângulo θ é medido a partir do semieixo positivo x, no sentido anti-horário, e determina um ponto P sobre o círculo.

Tudo em trigonometria é a leitura das coordenadas desse ponto.

A.3 Seno e cosseno como coordenadas

P = ( cos θ , sen θ )

Figura 1: à esquerda, cosseno é a abscissa e seno é a ordenada do ponto P. À direita, os sinais em cada quadrante.

É só isso. Cosseno é a coordenada horizontal, seno é a vertical. Dessa definição saem de imediato dois fatos:

−1 ≤ sen θ ≤ 1 e −1 ≤ cos θ ≤ 1, porque o ponto está sobre um círculo de raio 1 e nenhuma coordenada pode passar disso.

Seno e cosseno estão definidos para QUALQUER θ real, basta continuar girando. Domínio: ℝ.

COMO NÃO TROCAR OS DOIS

coSSeno → começa com C, de "Comprimento horizontal", é o eixo x, que se escreve primeiro no par ordenado.

Ou, mais simples: em (cos θ, sen θ), a ordem alfabética c antes de s coincide com a ordem x antes de y.

A.4 Os sinais em cada quadrante

Quadrante · Ângulo entre · sen · cos · tan

1º · 0 e π/2 · + · + · +

2º · π/2 e π · + · − · −

3º · π e 3π/2 · − · − · +

4º · 3π/2 e 2π · − · + · −

Não decore a tabela, leia do círculo. No 2º quadrante o ponto está à esquerda (abscissa negativa, logo cos < 0) e acima (ordenada positiva, logo sen > 0). O resto sai igual.

A tangente é sen/cos, então o sinal dela é a divisão dos dois, positiva quando ambos têm o mesmo sinal.

A.5 Os arcos notáveis, e como não decorá-los

θ · 0 · π/6 · π/4 · π/3 · π/2

sen θ · 0 · 1/2 · √2/2 · √3/2 · 1

cos θ · 1 · √3/2 · √2/2 · 1/2 · 0

tan θ · 0 · √3/3 · 1 · √3 · não existe

O TRUQUE QUE DISPENSA DECORAR

Escreva a linha do seno como √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2. Os numeradores são simplesmente √0, √1, √2, √3, √4, em ordem.

Simplificando: 0, 1/2, √2/2, √3/2, 1. É exatamente a linha do seno.

E a linha do cosseno é a MESMA, de trás para frente. Porque cos θ = sen(π/2 − θ): o cosseno de um ângulo é o seno do complementar.

Com esses dois fatos você reconstrói a tabela inteira em dez segundos, sem memorizar nada.

Exemplo 1: quanto vale cos(π/3)? A linha do seno, para 0, π/6, π/4, π/3 e π/2, é , , e . O cosseno é essa linha lida de trás para frente: , , e . O ângulo π/3 é o quarto da lista, e o quarto valor do cosseno é = . Conferência pelo complementar: cos(π/3) = sen(π/2 − π/3) = sen(π/6) = . Confere. E a relação fundamental fecha: sen²(π/3) + cos²(π/3) = ()² + ()² = + = 1.

Exemplo 2: quanto vale tan(π/6)? A tangente é seno dividido por cosseno. Do seno, sen(π/6) = = . Do cosseno (a linha lida de trás para frente), cos(π/6) = . Então tan(π/6) = () ÷ () = 1/√3 = ≈ 0,577. Os dois 2 do denominador se cancelam, e é por isso que basta dividir os numeradores: √1 ÷ √3.

A.6 A relação fundamental

sen² θ + cos² θ = 1

É o Teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo retângulo formado pelo raio e pelas duas coordenadas: os catetos medem |cos θ| e |sen θ|, e a hipotenusa é o raio, que vale 1.

Dela saem as duas formas que você mais vai usar:

sen² θ = 1 − cos² θ cos² θ = 1 − sen² θ

O CUIDADO AO EXTRAIR A RAIZ

De cos²θ = 1 − sen²θ NÃO se conclui cos θ = √(1 − sen²θ). Conclui-se cos θ = ± √(1 − sen²θ).

Quem decide o sinal é o QUADRANTE em que θ está. Sem essa informação, a resposta fica com os dois sinais.

É exatamente esse detalhe que o Problema 5 explora nos itens (e) e (f), lá o quadrante está fixado pela definição do arcsen, e por isso o sinal é decidível.

A.7 Tangente, secante, cossecante e cotangente

Função · Definição · Existe quando · Aparece na Lista em

tan θ · sen θ / cos θ · cos θ ≠ 0 · Problemas 14, 15, 16

sec θ · 1 / cos θ · cos θ ≠ 0 · Problema 16(b), 24(h)

cossec θ · 1 / sen θ · sen θ ≠ 0 · Problema 15(e)

cot θ · cos θ / sen θ · sen θ ≠ 0 · Problemas 15(h), 16(e)

Duas identidades derivadas, que saem dividindo a relação fundamental por cos²θ e por sen²θ:

1 + tan² θ = sec² θ 1 + cot² θ = cossec² θ

A primeira resolve o Problema 16(b) da Lista; a segunda, o 16(e).

A.8 Os gráficos de seno e cosseno

sen x · cos x

Domínio · ℝ · ℝ

Imagem · [−1, 1] · [−1, 1]

Período · 2π · 2π

Vale 0 em · 0, ±π, ±2π, … · ±π/2, ±3π/2, …

Vale 1 em · π/2 · 0

Paridade · ÍMPAR: sen(−x) = −sen x · PAR: cos(−x) = cos x

Figura 2: em cima, o seno em [−π, π] e o trecho onde ele é injetor. Embaixo, o cosseno; repare que no mesmo trecho [−π/2, π/2] ele nunca fica abaixo do eixo.

A PARIDADE DELES VOLTA DO MÓDULO 4

O seno é ímpar e o cosseno é par. Foi isso que resolveu os itens (g), (h) e (i) do Problema 24 da Lista, no Módulo 4.

E é o que garante que o gráfico do cosseno seja simétrico em relação ao eixo y, o que, por sua vez, é o que faz cos(arcsen x) ser uma função par.

A.9 Função injetora, e o teste da reta horizontal

f é INJETORA ⟺ valores diferentes de entrada dão valores diferentes de saída

Dito de outro jeito: a função nunca repete uma saída. Se f(a) = f(b), então obrigatoriamente a = b.

No gráfico há um teste visual imediato: trace retas horizontais. Se alguma delas cortar o gráfico em MAIS DE UM ponto, a função não é injetora, porque dois x diferentes produziram o mesmo y.

O SENO NÃO PASSA NO TESTE

No intervalo [−π, π], a reta horizontal y = 0,5 corta o gráfico do seno duas vezes: em x = π/6 e em x = 5π/6. Os dois têm seno igual a 0,5.

Está marcado na Figura 2. É a razão pela qual o item (a) da prova pede uma RESTRIÇÃO, sem ela não há inversa.

A.10 Função inversa: o que ela troca

A função inversa desfaz o que a original fez. Se f leva a em b, a inversa leva b de volta para a.

f( a ) = b ⟺ f⁻¹( b ) = a

Duas consequências que a prova usa direto:

Da função f · Vira, na inversa f⁻¹

o DOMÍNIO · a IMAGEM

a IMAGEM · o DOMÍNIO

E geometricamente, o gráfico da inversa é o espelho do gráfico original na reta y = x.

SÓ FUNÇÃO INJETORA TEM INVERSA

Se f não for injetora, existe um b que veio de dois valores diferentes de a. Ao tentar voltar, a inversa teria de escolher entre dois, e função não pode ter duas saídas para a mesma entrada.

É por isso que a restrição do item (a) tem de vir ANTES da inversa do item (b). A ordem dos dois itens não é arbitrária.

A.11 Por que o seno não tem inversa, e como se resolve

O seno, no seu domínio natural ℝ, está longe de ser injetor: ele repete cada valor infinitas vezes, uma por período.

A solução padrão é escolher um pedaço do domínio onde ele seja injetor, e trabalhar só ali. A escolha convencionada é:

sen : [ −π/2 , π/2 ] → [ −1 , 1 ]

Por que esse pedaço, e não outro? Três razões:

Nele o seno é estritamente crescente, sobe de −1 até 1 sem nunca repetir. Injetor.

Ele cobre TODA a imagem [−1, 1]. Nenhum valor de saída se perde.

É simétrico em torno de zero e contém o zero, o que deixa a inversa com boas propriedades, entre elas, ser ímpar.

A.12 arcsen: domínio, imagem e como calcular

arcsen : [ −1 , 1 ] → [ −π/2 , π/2 ]

Repare na troca: o domínio do arcsen é a imagem do seno restrito, e a imagem do arcsen é o domínio do seno restrito. É a regra da seção A.10 em ação.

Figura 3: o seno restrito e o arcsen são reflexos um do outro na reta y = x.

arcsen( x ) = θ significa sen θ = x E θ ∈ [ −π/2 , π/2 ]

Para calcular, faça a pergunta ao contrário: "qual ângulo, ENTRE −π/2 E π/2, tem seno igual a x?"

Calcular · Pergunta · Resposta

arcsen(1/2) · que ângulo em [−π/2, π/2] tem seno 1/2? · π/6

arcsen(0) · idem, seno 0? · 0

arcsen(1) · idem, seno 1? · π/2

arcsen(−1/2) · idem, seno −1/2? · −π/6

arcsen(√2/2) · idem, seno √2/2? · π/4

arcsen(2) · não existe: 2 está fora de [−1, 1] · não definido

O ARCSEN É UMA FUNÇÃO ÍMPAR

arcsen(−x) = − arcsen(x). Isso aparece no Problema 24(e) da Lista, resolvido no Módulo 4.

Faz sentido: o intervalo [−π/2, π/2] é simétrico, e o seno é ímpar. A inversa de uma função ímpar é ímpar.

A.13 arccos e arctan

As outras duas inversas seguem a mesma lógica, mudando apenas o intervalo escolhido:

Função · Domínio · Imagem · Por que esse intervalo

arcsen x · [−1, 1] · [−π/2, π/2] · onde o seno é crescente e cobre [−1,1]

arccos x · [−1, 1] · [0, π] · onde o cosseno é decrescente e cobre [−1,1]

arctan x · ℝ · (−π/2, π/2) · onde a tangente é crescente e cobre ℝ inteiro

Note que o arctan aceita QUALQUER real de entrada, porque a tangente assume todos os valores reais. Já o arcsen e o arccos só aceitam entradas em [−1, 1], fora disso não existe ângulo possível.

E as inversas de secante, cossecante e cotangente se calculam voltando às básicas:

arcsec( x ) = arccos( 1/x ) arccossec( x ) = arcsen( 1/x )

A.14 A armadilha do arcsen(sen x)

Parece óbvio que arcsen(sen x) = x, já que uma função desfaz a outra. Mas isso só vale se x estiver dentro de [−π/2, π/2].

O EXEMPLO DA LISTA (PROBLEMA 15k)

Calcule arcsen( sen( 5π/4 ) ).

Primeiro, sen(5π/4) = −√2/2. O ângulo 5π/4 está no 3º quadrante, onde o seno é negativo.

Agora, arcsen(−√2/2) = −π/4, porque −π/4 é o ângulo DENTRO de [−π/2, π/2] cujo seno é −√2/2.

Resposta: −π/4, e NÃO 5π/4. O arcsen não pode devolver 5π/4, porque isso está fora da imagem dele.

A regra: arcsen(sen x) devolve o ângulo de [−π/2, π/2] que tem o mesmo seno que x, que só é o próprio x quando x já estava lá dentro.

A.15 Compor uma trigonométrica com uma inversa

É o coração do Problema 5. O método tem três passos e nunca muda:

1. DÊ UM NOME ao ângulo. Escreva θ = arcsen(x). Isso transforma uma expressão estranha numa variável comum.

2. TRADUZA o que esse nome significa: sen θ = x, E θ ∈ [−π/2, π/2]. As duas informações, o valor e o intervalo, são igualmente importantes.

3. USE a relação fundamental para achar o que falta, e o INTERVALO para decidir o sinal.

Aplicando a cos(arcsen x):

θ = arcsen x ⇒ sen θ = x e θ ∈ [−π/2, π/2]cos² θ = 1 − sen² θ = 1 − x² ⇒ cos θ = ± √( 1 − x² )em [−π/2, π/2] o cosseno é ≥ 0 ⇒ cos θ = + √( 1 − x² )

O PASSO 3 É ONDE ESTÁ A NOTA

Quase todo mundo chega em ±√(1 − x²). O que separa a resposta completa da incompleta é justificar a escolha do sinal, e a justificativa vem do intervalo, não da conta.

É por isso que o item (b), que parecia burocrático, é essencial: é ele que fixa o intervalo [−π/2, π/2] que o item (e) vai usar.

A.16 O método do triângulo

Existe um atalho visual para essas composições, útil quando a álgebra embaralha. Como sen θ = x = x/1, desenhe um triângulo retângulo com cateto oposto x e hipotenusa 1. Por Pitágoras, o cateto adjacente vale √(1 − x²).

cos θ = cateto adjacente / hipotenusa = √ = √( 1 − x² )

É rápido e funciona para qualquer composição desse tipo. Mas atenção: o triângulo só enxerga ângulos do 1º quadrante, então ele dá o valor absoluto, o sinal continua tendo de ser decidido pelo intervalo. Use-o como conferência, não como demonstração.

PARTE B: O Problema 5, resolvido item por item

B.0 O enunciado e o mapa da questão

O enunciado fornece os gráficos de sen(x) e cos(x) em [−π, π], e avisa que a inversa do seno se denota arcsen(x). São oito itens, somando 10,0 pontos.

Item · O que pede · Pontos · Usa

a · D e Im do seno, de modo que ele seja injetor · 1,2 ·

b · D e Im do arcsen · 0,9 · a

c · D e Im de cos(arcsen x) · 1,8 · b

d · calcular cos(arcsen ½) · 1,4 · b

e · provar cos(arcsen x) = √(1 − x²) · 1,6 · b

f · por que não vale a versão negativa · 0,9 · c

g · onde √(1 − x²) está definida · 1,2 · c

h · refazer (d) pela identidade e conferir · 1,0 · d, e

A ESTRUTURA É UM CIRCUITO FECHADO

Os itens (g) e (h) existem para CONFERIR os anteriores: (g) verifica que o domínio encontrado em (c) bate com o da fórmula de (e); (h) verifica que a fórmula de (e) reproduz o número de (d).

Isso é um presente: se as conferências fecharem, você sabe que acertou tudo. Se não fecharem, você descobre o erro ainda na prova, a tempo de corrigir.

B.a Forneça D e Im do seno de forma que ele seja injetor [1,2]

D( sen ) = [ −π/2 , π/2 ] Im( sen ) = [ −1 , 1 ]

A justificativa, que é o que vale a maior parte do ponto:

No intervalo [−π, π] inteiro o seno NÃO é injetor. Contraexemplo direto do gráfico: sen(π/6) = sen(5π/6) = 1/2, dois ângulos diferentes com o mesmo seno.

Restringindo a [−π/2, π/2], o seno passa a ser estritamente crescente: sobe de −1 até 1 sem nunca repetir valor. Logo é injetor nesse intervalo.

E a imagem continua sendo [−1, 1] inteira: nada se perde com a restrição, porque o seno já atinge todos os seus valores dentro desse trecho.

Vale desenhar a reta horizontal do contraexemplo no gráfico dado, é a forma mais rápida de mostrar a não injetividade.

B.b Forneça D e Im do arcsen [0,9]

D( arcsen ) = [ −1 , 1 ] Im( arcsen ) = [ −π/2 , π/2 ]

A explicação é uma frase: a função inversa TROCA domínio e imagem. Como o seno restrito vai de [−π/2, π/2] para [−1, 1], o arcsen faz o caminho contrário, sai de [−1, 1] e chega em [−π/2, π/2].

Em palavras concretas: o arcsen recebe um SENO e devolve um ÂNGULO. Por isso só aceita entradas entre −1 e 1 (que são os valores possíveis de um seno) e só devolve ângulos do intervalo escolhido no item (a).

B.c Determine domínio e imagem de cos(arcsen x) [1,8]

O domínio

Pelas duas condições de uma composta (Módulo 2, seção A.10):

x precisa estar em D(arcsen) = [−1, 1].

arcsen(x) precisa estar em D(cos) = ℝ, o que sempre acontece, já que o cosseno aceita qualquer ângulo. Esta condição não restringe nada.

D ( cos( arcsen x ) ) = [ −1 , 1 ]

A imagem

Quando x percorre [−1, 1], o valor arcsen(x) percorre todo o intervalo [−π/2, π/2]. A pergunta vira: que valores o cosseno assume nesse trecho?

Lendo o segundo gráfico dado no enunciado, entre −π/2 e π/2 o cosseno sobe de 0 até 1 e volta a 0, sem nunca ficar negativo:

Em θ = · −π/2 · 0 · π/2

cos θ · 0 · 1 · 0

Im ( cos( arcsen x ) ) = [ 0 , 1 ]

ESTE É O ITEM MAIS IMPORTANTE DA QUESTÃO

A imagem ser [0, 1], isto é, NÃO NEGATIVA, é o fato que os itens (e) e (f) vão usar.

Vale 1,8 pontos por si só, e sustenta outros 2,5. Não passe correndo por ele: deixe escrito no quadro, em destaque, que a composta nunca é negativa.

B.d Calcule cos( arcsen ½ ), justificando [1,4]

Dois passos, de dentro para fora.

Passo 1: calcular o arcsen. A pergunta é: qual ângulo, entre −π/2 e π/2, tem seno igual a ½?

arcsen( 1/2 ) = π/6 porque sen(π/6) = 1/2 e π/6 ∈ [−π/2, π/2]

Passo 2: calcular o cosseno desse ângulo, pela tabela dos arcos notáveis:

cos( arcsen ½ ) = cos( π/6 ) = √3/2

A justificativa que o item pede é a menção ao intervalo: existem infinitos ângulos com seno ½, mas o arcsen devolve especificamente π/6, que é o único dentro de [−π/2, π/2].

B.e Prove que cos( arcsen x ) = √( 1 − x² ) [1,6]

Use o método da seção A.15. Três passos.

Passo 1: dar nome ao ângulo

Seja θ = arcsen( x ). Então: sen θ = x e θ ∈ [ −π/2 , π/2 ]

Passo 2: aplicar a relação fundamental

sen² θ + cos² θ = 1 ⇒ cos² θ = 1 − sen² θ = 1 − x²

cos θ = ± √( 1 − x² )

Passo 3: decidir o sinal pelo intervalo

Aqui está a parte que vale a nota. Como θ pertence a [−π/2, π/2], e nesse intervalo o cosseno é sempre maior ou igual a zero (é o que o segundo gráfico do enunciado mostra), o sinal negativo está descartado:

cos θ = + √( 1 − x² ) ⇒ cos( arcsen x ) = √( 1 − x² ) ∎

CONFERÊNCIA RÁPIDA NOS EXTREMOS

Em x = 0: a fórmula dá √1 = 1, e de fato cos(arcsen 0) = cos(0) = 1 (confere)

Em x = 1: a fórmula dá √0 = 0, e cos(arcsen 1) = cos(π/2) = 0 (confere)

Duas conferências de cinco segundos que confirmam a identidade nos dois extremos.

B.f Explique por que não vale cos( arcsen x ) = − √( 1 − x² ) [0,9]

O item manda usar o item (c), e a resposta cabe em duas linhas:

Pelo item (c), a imagem de cos(arcsen x) é [0, 1], ou seja, a composta NUNCA é negativa. Já a expressão −√(1 − x²) é sempre menor ou igual a zero, porque uma raiz quadrada é não negativa e há um sinal de menos na frente.

cos( arcsen x ) ≥ 0 mas − √( 1 − x² ) ≤ 0

As duas só poderiam coincidir onde ambas valessem zero, isto é, em x = −1 e x = 1. Para todo x entre −1 e 1 elas têm sinais opostos, e a igualdade é falsa.

Figura 4: a composta é a metade de CIMA do círculo unitário. A metade de baixo (tracejada) é −√(1 − x²), e não corresponde a cos(arcsen x).

A causa de fundo é a escolha feita no item (a): ao restringir o seno a [−π/2, π/2], amarrou-se o arcsen a devolver apenas ângulos onde o cosseno é não negativo. Fosse outra a restrição, outra seria a resposta.

B.g Para quais x a expressão √( 1 − x² ) está bem definida [1,2]

Condição de existência da raiz quadrada: radicando maior ou igual a zero.

1 − x² ≥ 0 ⇒ x² ≤ 1 ⇒ − 1 ≤ x ≤ 1

Resolvendo pelos princípios do Módulo 1: o polinômio 1 − x² tem raízes ±1 e coeficiente líder a = −1 < 0, logo é positivo ENTRE as raízes. Com o "igual", os extremos entram:

D = [ −1 , 1 ]

E a verificação que o item pede: este é exatamente o domínio de cos(arcsen x) encontrado no item (c). Confere.

POR QUE ESSA CONFERÊNCIA IMPORTA

Uma identidade entre duas expressões só é legítima se as duas estiverem definidas nos mesmos pontos. Se os domínios não batessem, a igualdade do item (e) valeria apenas em parte da reta, e teria de vir com ressalva.

Como batem, a identidade vale em todo o domínio, sem exceção. Dizer isso fecha o item.

B.h Calcule cos( arcsen ½ ) pela identidade e confira [1,0]

cos( arcsen ½ ) = √( 1 − (1/2)² ) = √( 1 − 1/4 ) = √( 3/4 ) = √3/2

A simplificação final: √(3/4) = √3 / √4 = √3/2.

E confere com o item (d), onde o mesmo valor foi obtido por outro caminho, passando pelo ângulo π/6 e consultando a tabela dos arcos notáveis.

O QUE DIZER PARA FECHAR A APRESENTAÇÃO

"Os dois caminhos dão √3/2. No item (d) eu passei pelo ângulo: achei que arcsen ½ = π/6 e consultei o cosseno de π/6. Aqui eu nem precisei saber que ângulo era, apliquei a identidade direto no número."

Essa observação mostra que você entendeu para que serve a identidade: ela dispensa o ângulo intermediário. É exatamente por isso que ela é útil em Cálculo, onde x costuma ser uma variável e não um número conhecido.

PARTE C: O roteiro dos doze minutos

Tempo · Itens · O que fazer no quadro

0, 1 min · abertura · Diga o plano: "vou restringir o seno para ele ter inversa, descrever o arcsen, montar a composta com o cosseno, e a restrição escolhida no começo vai decidir tudo o que vem depois."

1, 3 min · a, b · Marcar no gráfico dado a reta y = 0,5 cortando duas vezes. Restringir a [−π/2, π/2] e justificar. Depois trocar domínio por imagem para o arcsen.

3, 5,5 min · c · As duas condições da composta. Depois ler no segundo gráfico que o cosseno vai de 0 a 1 nesse trecho. DEIXAR EM DESTAQUE que a imagem é [0,1].

5,5, 7 min · d · arcsen ½ = π/6 justificando pelo intervalo; cos(π/6) = √3/2 pela tabela.

7, 9,5 min · e · θ = arcsen x, relação fundamental, chegar em ±√(1−x²), e decidir o sinal pelo intervalo. Este é o item que exige demonstração, não corra.

9,5, 11 min · f, g · Comparar os sinais das duas expressões. Depois resolver 1 − x² ≥ 0 e mostrar que dá o mesmo domínio do item (c).

11, 12 min · h · Substituir ½ na identidade, simplificar √(3/4) = √3/2 e fechar dizendo que os dois caminhos coincidem.

As frases que valem ponto

No item · Diga algo como

(a) · "No intervalo inteiro o seno repete valores, sen(π/6) e sen(5π/6) dão os dois ½. Restringindo a [−π/2, π/2] ele passa a ser estritamente crescente, e aí nunca repete."

(b) · "A inversa troca domínio com imagem. O arcsen recebe um seno e devolve um ângulo, por isso só aceita entradas entre −1 e 1."

(c) · "O cosseno aceita qualquer ângulo, então quem limita o domínio é só o arcsen. E como o arcsen só devolve ângulos de [−π/2, π/2], o cosseno deles fica sempre entre 0 e 1, nunca negativo. Guarde isso, vou usar daqui a pouco."

(e) · "A relação fundamental me dá o cosseno ao quadrado. Ao extrair a raiz aparecem dois sinais, e quem decide entre eles não é a conta, é o intervalo onde θ está."

(f) · "A composta tem imagem [0,1], que é não negativa. E −√(1−x²) é sempre não positiva. As duas só se encontram onde ambas são zero, em x = ±1."

(g) · "Os dois lados de uma identidade precisam ter o mesmo domínio. Se não tivessem, a igualdade valeria só em parte da reta."

(h) · "Os dois caminhos dão √3/2. A vantagem da identidade é que não precisei saber que ângulo era, apliquei direto no número."

Erros que custam ponto

Erro · Onde aparece · Como evitar

Dar a imagem do arcsen como [−1,1] · item b · A imagem é [−π/2, π/2]. Domínio e imagem TROCAM na inversa

Esquecer o ± ao extrair a raiz · item e · De cos²θ = 1 − x² vêm dois sinais. Escreva os dois e depois escolha

Escolher o sinal sem justificar · item e · A justificativa é o intervalo [−π/2, π/2], não a conta

Responder arcsen(sen 5π/4) = 5π/4 · Lista 15k · O arcsen só devolve valores de [−π/2, π/2]. A resposta é −π/4

Confundir grau e radiano · itens d, h · π/6 é 30°. Escreva sempre em radianos

Dizer a imagem do item (c) sem destacar · itens c, f · Que ela seja [0,1] é o fato que sustenta 2,5 pontos adiante

Pular as conferências finais · itens g, h · Os dois itens EXISTEM para conferir. Fechar o circuito vale 2,2 pontos

PARTE D: Treino em seis graus

[L] indica exercício da Lista do professor. Gabarito comentado no fim.

Grau 1, Radianos e arcos notáveis

Treina: a tabela básica, sem a qual nada mais funciona.

1.1 Converta para radianos

(1) 30°

(2) 45°

(3) 90°

(4) 120°

(5) 270°

1.2 Calcule

(1) sen(π/6)

(2) cos(π/4)

(3) sen(π/3)

(4) cos(π/2)

(5) tan(π/4)

(6) cos(π)

(7) sen(−π/6)

(8) cos(−π/3)

Grau 2, A relação fundamental

Treina: achar as outras razões a partir de uma, decidindo o sinal pelo quadrante.

[L 14] Em cada item é dado um valor. Determine os outros dois, no intervalo indicado:

(1) sen x = 3/5, x ∈ [π/2, π]

(2) cos x = 1/3, x ∈ [−π/2, 0]

(3) sen x = −1/2, x ∈ [π, 3π/2]

(4) tan x = 2, x ∈ [0, π]

(5) tan x = 2, x ∈ [π, 3π/2]

(6) tan x = 1/2, x ∈ [−π, −π/2]

(7) cos x = −5/13, x ∈ [π/2, π]

Grau 3, Valores exatos de funções inversas

Treina: a pergunta invertida, sempre lembrando do intervalo de saída.

[L 15] Encontre o valor exato:

(1) arccos(−1)

(2) arcsen(0,5)

(3) arctan(√3)

(4) arctan(−1)

(5) arccossec(√2)

(6) arcsen(1)

(7) arcsen(−√2)

(8) arccot(√3)

(9) arcsec(2)

(10) arccos(√3/2)

(11) arcsen( sen(5π/4) )

Grau 4, Identidades com inversas

Treina: o método da seção A.15. O item (a) é literalmente o item (e) da prova.

[L 16] Mostre as identidades:

(1) cos( arcsen x ) = √( 1 − x² )

(2) sec( arctan x ) = √( 1 + x² )

(3) cos( 2 arcsen x ) = 1 − 2x²

(4) tan( arcsen x ) = x / √( 1 − x² ), −1 < x < 1

(5) sen( arccot x ) = 1 / √( 1 + x² )

Grau 5, Domínios com trigonometria

Treina: juntar as condições de existência do Módulo 2 e 3 com as restrições trigonométricas.

[L 23] Determine o domínio:

(1) g(x) = cos x / ( 1 − sen x )

(2) g(x) = 1 / ( 1 − tan x )

(3) h(x) = ln( arccos x )

(4) h(x) = arccos( √x − 1 )

(5) h(x) = 1 + e−sen x

(6) h(x) = sen( eˣ − 1 )

Grau 6, Nível de prova

Treina: o Problema 5 inteiro, em outras roupas.

(1) Determine D e Im de sen( arccos x ), e prove que sen( arccos x ) = √( 1 − x² ).

(2) Determine D e Im de tan( arcsen x ). Por que o domínio NÃO é [−1, 1] inteiro?

(3) Calcule cos( arcsen(√2/2) ) por dois caminhos: pelo ângulo e pela identidade.

(4) Determine para quais x a expressão √( 1 + x² ) está definida, e explique por que a resposta é diferente da do item (g) da prova.

Gabarito comentado dos seis graus

Grau 1

# · Item · Resposta · # · Item · Resposta

1.1a · 30° · π/6 · 1.2a · sen(π/6) · 1/2

1.1b · 45° · π/4 · 1.2b · cos(π/4) · √2/2

1.1c · 90° · π/2 · 1.2c · sen(π/3) · √3/2

1.1d · 120° · 2π/3 · 1.2d · cos(π/2) · 0

1.1e · 270° · 3π/2 · 1.2e · tan(π/4) · 1

1.2f · cos(π) · −1

1.2g · sen(−π/6) · −1/2

1.2h · cos(−π/3) · 1/2

Os dois últimos usam paridade: o seno é ímpar, então sen(−π/6) = −sen(π/6). O cosseno é par, então cos(−π/3) = cos(π/3).

Grau 2

# · Dado · Quadrante · sen x · cos x · tan x

a · sen = 3/5 · 2º · 3/5 · −4/5 · −3/4

b · cos = 1/3 · 4º · −2√2/3 · 1/3 · −2√2

c · sen = −1/2 · 3º · −1/2 · −√3/2 · √3/3

d · tan = 2 · 1º · 2√5/5 · √5/5 · 2

e · tan = 2 · 3º · −2√5/5 · −√5/5 · 2

f · tan = 1/2 · 3º · −√5/5 · −2√5/5 · 1/2

g · cos = −5/13 · 2º · 12/13 · −5/13 · −12/5

COMPARE (d) COM (e)

O valor da tangente é o mesmo, 2, mas os quadrantes são diferentes, e por isso o seno e o cosseno saem com sinais trocados.

A tangente sozinha não identifica o ângulo: ela é positiva no 1º E no 3º quadrantes. É por isso que o enunciado sempre informa o intervalo.

A conta: de 1 + tan²x = sec²x vem sec²x = 5, logo sec x = ±√5. No 1º quadrante o cosseno é positivo, então sec = +√5 e cos = 1/√5 = √5/5. No 3º, tudo troca de sinal.

Grau 3

# · Expressão · Resposta · Raciocínio

a · arccos(−1) · π · que ângulo em [0, π] tem cosseno −1?

b · arcsen(0,5) · π/6 · em [−π/2, π/2], seno ½

c · arctan(√3) · π/3 · em (−π/2, π/2), tangente √3

d · arctan(−1) · −π/4 · tangente −1, no intervalo negativo

e · arccossec(√2) · π/4 · vira arcsen(1/√2) = arcsen(√2/2)

f · arcsen(1) · π/2 · o extremo do intervalo

g · arcsen(−√2) · NÃO EXISTE · −√2 ≈ −1,41 está fora de [−1, 1]

h · arccot(√3) · π/6 · cot(π/6) = √3

i · arcsec(2) · π/3 · vira arccos(1/2)

j · arccos(√3/2) · π/6 · cosseno √3/2 em [0, π]

k · arcsen(sen 5π/4) · −π/4 · ver caixa abaixo

OS DOIS ITENS QUE PEGAM TODO MUNDO

(g), não existe. O arcsen só aceita entradas entre −1 e 1, e −√2 ≈ −1,414 está fora. Se o enunciado quisesse −√2/2, a resposta seria −π/4; vale conferir o enunciado impresso.

(k), a resposta NÃO é 5π/4. Primeiro, sen(5π/4) = −√2/2. Depois, arcsen(−√2/2) = −π/4, porque é esse o ângulo de [−π/2, π/2] com aquele seno. O arcsen não pode devolver 5π/4, que está fora da imagem dele.

Grau 4

Todos seguem o mesmo método: dê nome ao ângulo, traduza, use a identidade adequada e decida o sinal pelo intervalo.

# · Identidade · θ está em · Identidade usada · Sinal escolhido porque

a · cos(arcsen x) = √(1−x²) · [−π/2, π/2] · sen² + cos² = 1 · cos ≥ 0 nesse intervalo

b · sec(arctan x) = √(1+x²) · (−π/2, π/2) · 1 + tan² = sec² · cos > 0, logo sec > 0

c · cos(2 arcsen x) = 1 − 2x² · [−π/2, π/2] · cos 2θ = 1 − 2sen²θ · não há raiz: não há sinal a escolher

d · tan(arcsen x) = x/√(1−x²) · (−π/2, π/2) · tan = sen/cos e o item (a) · usa o cosseno positivo do item (a)

e · sen(arccot x) = 1/√(1+x²) · (0, π) · 1 + cot² = cossec² · sen > 0 em (0, π)

No item (c), note que a fórmula do arco duplo cos(2θ) = 1 − 2sen²θ resolve tudo de imediato: como sen θ = x, vem 1 − 2x². É o único dos cinco que não precisa de escolha de sinal.

No item (d), a restrição −1 < x < 1 é estrita porque em x = ±1 o denominador √(1−x²) zeraria. É a mesma regra de sempre: raiz no denominador exige radicando estritamente positivo.

Grau 5

# · Função · Condições · Domínio

a · cos x / (1 − sen x) · 1 − sen x ≠ 0 ⇒ sen x ≠ 1 · ℝ − { π/2 + 2kπ }

b · 1 / (1 − tan x) · tan x definida E tan x ≠ 1 · ℝ − { π/2 + kπ } − { π/4 + kπ }

c · ln( arccos x ) · x ∈ [−1,1] E arccos x > 0 ⇒ x ≠ 1 · [−1, 1)

d · arccos( √x − 1 ) · x ≥ 0 E −1 ≤ √x − 1 ≤ 1 ⇒ 0 ≤ √x ≤ 2 · [0, 4]

e · 1 + e−sen x · nenhuma, exponencial aceita tudo · ℝ

f · sen( eˣ − 1 ) · nenhuma, seno aceita qualquer ângulo · ℝ

OS DOIS QUE ENSINAM

(c), o logaritmo exige arccos x > 0, estritamente. Como arccos x só vale zero em x = 1, basta furar esse ponto. Repare que o domínio fica [−1, 1), fechado de um lado e aberto do outro, assimetria que vem de duas condições diferentes.

(d), condição dupla: o √x pede x ≥ 0, e o arccos pede que o argumento esteja em [−1,1]. De −1 ≤ √x − 1 ≤ 1 vem 0 ≤ √x ≤ 2, e elevando ao quadrado, 0 ≤ x ≤ 4. As duas condições se combinam por interseção.

Grau 6

(1) sen( arccos x )

Domínio: x ∈ [−1, 1], porque é o domínio do arccos e o seno aceita qualquer ângulo.

Imagem: arccos x percorre [0, π]; nesse intervalo o seno vai de 0 a 1 e volta a 0, sempre não negativo. Im = [0, 1].

Prova: seja θ = arccos x. Então cos θ = x e θ ∈ [0, π]. Da relação fundamental, sen²θ = 1 − x², logo sen θ = ±√(1 − x²). Como θ ∈ [0, π], o seno é não negativo, logo sen θ = +√(1 − x²).

O PARALELO É EXATO

A prova é a mesma do item (e), com os papéis trocados: lá o intervalo era [−π/2, π/2] e quem era não negativo era o cosseno; aqui o intervalo é [0, π] e quem é não negativo é o seno.

Curiosidade: as duas composições dão a MESMA fórmula, √(1 − x²), embora sejam funções diferentes por construção.

(2) tan( arcsen x )

Pelo Grau 4, item (d), tan(arcsen x) = x/√(1 − x²). O denominador não pode zerar, e ele zera em x = ±1. Portanto:

D = ( −1 , 1 ) e não [ −1 , 1 ]

A explicação: em x = ±1 o arcsen devolve ±π/2, e a tangente não existe nesses ângulos, porque lá o cosseno vale zero. A imagem é ℝ inteiro.

(3) cos( arcsen(√2/2) )

Pelo ângulo: arcsen(√2/2) = π/4, e cos(π/4) = √2/2.

Pela identidade: √(1 − (√2/2)²) = √(1 − 2/4) = √(1/2) = √2/2. Confere.

(4) √( 1 + x² )

Condição: 1 + x² ≥ 0. Como x² ≥ 0 para todo x real, a soma 1 + x² é sempre maior ou igual a 1, nunca negativa. A condição vale sempre.

D = ℝ

A diferença em relação ao item (g) da prova é o sinal do termo em x². Em 1 − x², o quadrado SUBTRAI e acaba vencendo o 1 quando |x| > 1, tornando o radicando negativo. Em 1 + x², o quadrado SOMA e só reforça a positividade. Um sinal, e o domínio passa de [−1,1] para ℝ inteiro.

É por isso que a identidade sec(arctan x) = √(1 + x²), do Grau 4(b), vale para todo x real, coerente com o fato de o arctan aceitar qualquer entrada.

FECHAMENTO, O mapa dos cinco módulos e o plano até 17 de setembro

O que está pronto

Documento · Problema · Assunto central

Caderno de Aula, 10/08 ·, · a aula de inequações do 2º grau, reconstruída

Módulo 1 · Problema 1 · conjuntos, sinais, intervalos, De Morgan

Módulo 2 · Problema 2 · função racional, composição, domínio

Complemento aos Módulos 1 e 2 ·, · valor absoluto, funções por partes

Módulo 3 · Problema 3 · logaritmos, base variável, mudança de base

Módulo 4 · Problema 4 · exponencial, paridade, gráficos

Módulo 5 · Problema 5 · trigonometria e funções inversas

O que os cinco problemas têm em comum

Vale terminar registrando o padrão, porque ele é a melhor cola mental para o dia da prova:

1. TODOS terminam em domínio, sinal ou intervalo. A máquina do Módulo 1, pontos-chave na reta, sinal em cada trecho, bolinha certa nas pontas, é usada nos cinco.

2. TODOS têm um item que pede justificativa, não conta. E é sempre nele que está a maior parte da nota.

3. TODOS têm uma condição de existência no meio: denominador ≠ 0 (Problema 2), logaritmando > 0 (Problema 3), radicando ≥ 0 (Problemas 1 e 5), base válida (Problemas 3 e 4).

4. TODOS têm ao menos um item que serve para CONFERIR outro. Use essas conferências: elas avisam do erro ainda durante a apresentação.

O plano dos dias que restam, revisto em 7 de setembro

Período · O que fazer

Seg 07/09, hoje · A P1 de Geometria é sexta, 11/09, e vem primeiro. Hoje, aqui, só 40 minutos: leia o Cartão de bolso inteiro e passe os olhos no Módulo 1 (conjuntos, sinais, intervalos). Sem exercícios.

Ter 08 a qui 10/09 · 40 minutos por dia, mantendo o conteúdo aquecido enquanto a Geometria consome o resto: terça o Módulo 2, quarta o Módulo 3, quinta os Módulos 4 e 5. Leitura, não treino.

Sex 11/09 · P1 de GEOMETRIA. Nada de Cálculo neste dia.

Sáb 12/09 · Começa o treino de verdade. Problemas 1 e 2 resolvidos no papel, do zero, sem consulta; depois conferidos contra os Módulos 1 e 2. Se o Problema 2 travar, é o Módulo 1 que está frouxo, volte a ele.

Dom 13/09 · Problemas 3, 4 e 5 no papel, sem consulta. À noite, os CINCO em pé, numa folha vertical ou no quadro, cronometrados em 12 minutos cada, falando em voz alta.

Seg 14/09 · P1 de CÁLCULO, primeira data. De manhã, só o Cartão de bolso e a lista de erros de cada módulo.

Ter 15 e qua 16/09 · Refaça os dois problemas que saíram pior no domingo, de novo cronometrados. Um por dia basta.

Qui 17/09 · P1 de CÁLCULO, segunda data.

O FIM DE SEMANA DE 12 E 13 É O QUE DECIDE ESTA PROVA

O professor não avalia a resolução: avalia a APRESENTAÇÃO. Saber resolver no papel e saber explicar no quadro, em voz alta, com alguém olhando, são habilidades diferentes.

Nas palavras dele: "aprenda a resolver de uma forma tão simples que até o seu irmão, sua irmã, seu pai consiga entender a sua explicação".

Apresente para alguém de casa. Se a pessoa acompanhar, o professor também vai, e é exatamente isso que ele pediu.