Cálculo 1, complemento: valor absoluto e funções por partes

GUIA DA P1: CÁLCULO 1

Complemento aos Módulos 1 e 2

Valor absoluto, funções por partese treino graduado

O que ficou de fora dos dois primeiros módulos, e por quê

Guia da P1 · Autor: Ulysses Cesar

Curso de Engenharia Civil

POR QUE ESTE CADERNO EXISTE, E UMA CORREÇÃO DE ROTA

Falha minha: nos Módulos 2 e 3 eu propus exercícios com valor absoluto, como x / √(|x| − 1) e ln|4 − x²|, sem nunca ter explicado o que |x| significa. A Parte A deste caderno corrige isso, do zero.

Segundo motivo: o Módulo 1 foi escrito antes de você me dizer que queria exercícios em graus crescentes. Ele tem gabarito da Lista, mas não tem a escada. A Parte C é essa escada, em seis graus, para o conteúdo do Módulo 1.

Este caderno é ADITIVO. Nada do que está nos Módulos 1 e 2 impressos ficou errado ou foi substituído, só ficou incompleto nesses dois pontos.

O QUE ESTÁ E O QUE NÃO ESTÁ AQUI

ESTÁ: valor absoluto e funções definidas por partes (Parte A e B); um treino em seis graus para conjuntos, intervalos e inequações polinomiais (Parte C).

NÃO ESTÁ: nada que já esteja nos Módulos 1 e 2. Os três princípios de sinal, o quadro de sinais, a composição de funções e o Problema 1 e 2 resolvidos continuam lá, não foram repetidos aqui para o caderno não virar uma segunda via.

TAMBÉM NÃO ESTÁ: o mapa da biblioteca (qual livro abrir para cada assunto). Ele está no Módulo 3, no apêndice final, já contemplando a coleção Iezzi.

VALOR ABSOLUTO CAI NA P1?

Nos cinco problemas da prova, não, nenhum deles usa |x| explicitamente.

Mas ele está na ementa do Plano de Ensino ("funções modulares"), aparece em cinco exercícios da Lista do professor (5c, 5d, 6, 23d, 23h) e é pré-requisito para entender a raiz quadrada de um quadrado, que reaparece no Problema 5.

Ou seja: não estude isto como se fosse a prova. Estude como o degrau que faltava para a Lista fazer sentido inteira.

Sumário

PARTE A: Valor absoluto

A.1 A definição, e por que ela tem duas linhas

A.2 A leitura geométrica: distância

A.3 As propriedades

A.4 A armadilha do √(x²)

A.5 Equações com módulo

A.6 Inequações com módulo: prende ou espalha

A.7 Onde isso aparece na Lista do professor

PARTE B: Funções definidas por partes

B.1 O que é, e por que o módulo produz uma

B.2 Como converter uma expressão com módulos em partes

B.3 O exemplo da Lista, resolvido

B.4 Crescimento e decrescimento em funções por partes

PARTE C: Treino graduado (conteúdo do Módulo 1)

Grau 1, Notação de intervalo e radicais

Grau 2, Ordem na reta

Grau 3, Operações com intervalos

Grau 4, Inequações do 2º grau

Grau 5, Inequações polinomiais de grau maior

Grau 6, Valor absoluto e funções por partes

Gabarito comentado

PARTE A: Valor absoluto

A.1 A definição, e por que ela tem duas linhas

O valor absoluto (ou módulo) de um número é o próprio número, sem o sinal. A definição formal tem duas linhas porque precisa tratar separadamente o caso em que o número já é positivo e o caso em que é negativo:

| x | = x , se x ≥ 0| x | = − x , se x < 0

A SEGUNDA LINHA NÃO É "MENOS ALGUMA COISA"

Ler "−x" e pensar "número negativo" é o erro nº 1 deste assunto. O sinal de menos ali está DESFAZENDO o sinal de menos que x já carrega.

Se x = −5, então |x| = −x = −(−5) = +5. O resultado é positivo.

Guarde: |x| nunca é negativo, para nenhum x. O menos da definição é um corretor de sinal, não um sinal.

x vale · Qual linha da definição usar · Conta · |x|

7 · a primeira, porque 7 ≥ 0 · |7| = 7 · 7

0 · a primeira, porque 0 ≥ 0 · |0| = 0 · 0

−7 · a segunda, porque −7 < 0 · |−7| = −(−7) · 7

−0,3 · a segunda · |−0,3| = −(−0,3) · 0,3

A.2 A leitura geométrica: distância

Há uma segunda forma de entender o módulo, e ela é a que mais ajuda a resolver problemas: |x| é a distância de x até o zero, na reta numérica.

Distância não tem sinal, é sempre positiva ou nula. Isso explica de uma vez por que |x| ≥ 0 e por que |7| = |−7|: os dois estão a sete unidades do zero, um para cada lado.

Figura 1: módulo como distância. Em cima, distância até o zero; embaixo, distância entre dois pontos quaisquer.

| x − a | = distância entre x e a

ESTA LEITURA RESOLVE INEQUAÇÕES DE CABEÇA

|x − 3| < 2 lê-se: "a distância de x até 3 é menor que 2". Quais números estão a menos de 2 unidades do 3? Os que estão entre 1 e 5. Resposta: (1, 5).

Sem pensar em distância, você teria de abrir duas desigualdades. Pensando em distância, sai direto, e você ainda tem como conferir o resultado algébrico.

A.3 As propriedades

Propriedade · O que diz · Exemplo

|x| ≥ 0 · nunca é negativo · |−4| = 4

|x| = 0 ⟺ x = 0 · só zera na origem ·

|−x| = |x| · sinal trocado não muda o módulo · |−4| = |4|

|x · y| = |x| · |y| · distribui no produto · |(−2)(3)| = 2 · 3 = 6

|x/y| = |x| / |y| · distribui no quociente · |−6/2| = 6/2 = 3

|x|² = x² · ao quadrado, o módulo some · |−3|² = 9 = (−3)²

|x + y| ≤ |x| + |y| · desigualdade triangular · |−2 + 3| = 1 ≤ 2 + 3

A PROPRIEDADE QUE NÃO EXISTE

|x + y| NÃO é |x| + |y|. Confira: |−2 + 3| = |1| = 1, mas |−2| + |3| = 2 + 3 = 5.

O módulo distribui em produto e quociente, mas NUNCA em soma e subtração. É o mesmo padrão do logaritmo (Módulo 3) e da raiz quadrada: produto sim, soma não.

O que vale para a soma é apenas a desigualdade: |x + y| ≤ |x| + |y|.

A.4 A armadilha do √(x²)

Esta merece uma seção só para ela, porque é contraintuitiva e reaparece no Problema 5 da prova.

√( x² ) = | x | e não √( x² ) = x

Por quê: a raiz quadrada devolve sempre um resultado maior ou igual a zero (Módulo 2, seção A.14). Se x = −3, então x² = 9 e √9 = 3, que é |−3|, e não −3.

x · x² · √(x²) · x é? · Bate com

5 · 25 · 5 · 5 · tanto x quanto |x|

−5 · 25 · 5 · −5 · apenas |x|

0 · 0 · 0 · 0 · os dois

ONDE ISSO VOLTA

No Problema 5 da prova, item (e), pede-se provar que cos(arcsen x) = √(1 − x²), e o item (f) pergunta por que NÃO vale a versão com sinal negativo.

A resposta passa exatamente por aqui: a raiz quadrada nunca devolve negativo. É o mesmo fato, em outra roupa.

A.5 Equações com módulo

A regra é uma só, e ela vem da leitura de distância: se a distância de algo até zero é a, esse algo é a ou é −a.

| E | = a ( com a > 0 ) ⇒ E = a ou E = − a

Onde E é a expressão inteira que está dentro do módulo. Dois cuidados:

Se a = 0, há uma solução só: |E| = 0 ⟺ E = 0.

Se a < 0, NÃO há solução. |E| nunca é negativo, então |E| = −3 é impossível. Responda S = ∅ sem fazer conta.

Equação · Abre em · Soluções

|x| = 5 · x = 5 ou x = −5 · {−5, 5}

|x − 3| = 2 · x − 3 = 2 ou x − 3 = −2 · {1, 5}

|2x + 1| = 7 · 2x + 1 = 7 ou 2x + 1 = −7 · {−4, 3}

|x + 4| = 0 · x + 4 = 0 · {−4}

|x − 1| = −2 ·, não abre · ∅

A.6 Inequações com módulo: prende ou espalha

Duas regras, e um jeito de nunca trocá-las: pense em distância.

Figura 2: "menor que" prende no meio; "maior que" espalha para fora.

| x | < a ⇒ − a < x < a (um intervalo só)| x | > a ⇒ x < − a ou x > a (dois pedaços)

Em palavras: se a distância até o zero é PEQUENA, você está perto do zero, logo, num único intervalo em volta dele. Se a distância é GRANDE, você está longe do zero, logo, em um dos dois extremos da reta.

Com ≤ e ≥ vale o mesmo, apenas com as bolinhas cheias. E funciona igual quando dentro do módulo há uma expressão inteira:

Inequação · Vira · Solução

|x| < 4 · −4 < x < 4 · (−4, 4)

|x| ≥ 2 · x ≤ −2 ou x ≥ 2 · (−∞, −2] ∪ [2, +∞)

|x − 1| ≤ 3 · −3 ≤ x − 1 ≤ 3 · [−2, 4]

|2x + 1| > 5 · 2x + 1 < −5 ou 2x + 1 > 5 · (−∞, −3) ∪ (2, +∞)

|x| − 1 > 0 · primeiro isole: |x| > 1 · (−∞, −1) ∪ (1, +∞)

ISOLE O MÓDULO ANTES DE ABRIR

A última linha da tabela é a que aparece na Lista (Problema 5c) e no Módulo 2, Grau 5.

|x| − 1 > 0 não se abre direto. Primeiro passe o 1 para o outro lado, |x| > 1, e só então aplique a regra do "espalha".

É o mesmo hábito das inequações racionais: arrumar antes de resolver.

A.7 Onde isso aparece na Lista do professor

Exercício · Expressão · O que a condição vira

5c · f(x) = x / √(|x| − 1) · |x| − 1 > 0 ⇒ |x| > 1 ⇒ x < −1 ou x > 1

5d · g(x) = |x² − 1| / ∛(x + 1) · o módulo não impõe nada; só o denominador

6 · g(x) = |x − 1| + |x − 2| · converter em função por partes, Parte B

8d, 8e · f(x) = |x| + 4 e g(x) = |x + 4| · classificar em par ou ímpar

23d · f(x) = √(|x| − 1)/(ex − 1) · |x| ≥ 1 (aqui com igual, porque é raiz)

23h · g(x) = ln|4 − x²| · |4 − x²| > 0 ⇒ x ≠ ±2

COMPARE 5c COM 23d, A DIFERENÇA É UMA BOLINHA

Em 5c a raiz está no DENOMINADOR, então o radicando tem de ser estritamente positivo: |x| > 1, e a resposta é (−∞,−1) ∪ (1,+∞), com parênteses.

Em 23d a raiz está no numerador, então basta |x| ≥ 1, e a resposta é (−∞,−1] ∪ [1,+∞), com colchetes.

É a regra do Módulo 2, seção A.3, aplicada ao módulo. Nada de novo, só combinada.

PARTE B: Funções definidas por partes

B.1 O que é, e por que o módulo produz uma

Uma função definida por partes usa fórmulas diferentes em regiões diferentes do domínio. A própria definição de |x| já é uma: uma fórmula para x ≥ 0, outra para x < 0.

Toda expressão com módulo é, no fundo, uma função por partes disfarçada. Converter uma na outra é o exercício central deste assunto, e é o Problema 6 da Lista.

B.2 Como converter uma expressão com módulos em partes

1. Ache os pontos-chave: os valores de x que zeram o interior de cada módulo. Em |x − 1| + |x − 2|, os pontos são 1 e 2.

2. Ponha os pontos-chave em ordem na reta. Eles dividem a reta em regiões, com dois pontos, três regiões.

3. Em cada região, decida o SINAL do interior de cada módulo. Se o interior é positivo, o módulo sai sem mexer; se é negativo, o módulo sai com o sinal trocado.

4. Escreva a fórmula simplificada de cada região.

5. Confira a colagem: nos pontos-chave, as fórmulas vizinhas devem dar o mesmo valor. Se não derem, há erro de sinal.

O PASSO 5 É O SEU CONFERIDOR

Uma soma de módulos é sempre contínua, não dá salto. Então, no ponto de fronteira, a fórmula da esquerda e a da direita têm de coincidir.

É uma conferência de dois segundos que pega qualquer erro de sinal cometido no passo 3.

B.3 O exemplo da Lista, resolvido

[Lista, Problema 6] Seja g(x) = |x − 1| + |x − 2|. Mostre que g é a função por partes abaixo e esboce o gráfico.

Pontos-chave: x − 1 zera em 1; x − 2 zera em 2. Três regiões. Em cada uma, os sinais dos interiores:

Região · Sinal de x − 1 · Sinal de x − 2 · Como abrem os módulos · Soma

x < 1 · negativo · negativo · (1 − x) + (2 − x) · −2x + 3

1 ≤ x < 2 · positivo · negativo · (x − 1) + (2 − x) · 1

x ≥ 2 · positivo · positivo · (x − 1) + (x − 2) · 2x − 3

g(x) = −2x + 3, se x ≤ 1 1, se 1 < x < 2 2x − 3, se x ≥ 2

Conferindo a colagem: em x = 1, a primeira fórmula dá −2(1) + 3 = 1, que bate com a segunda. Em x = 2, a terceira dá 2(2) − 3 = 1, que também bate. A função é contínua.

Figura 3: o gráfico de g. Desce até 1, fica constante entre 1 e 2, depois sobe.

O QUE O GRÁFICO ESTÁ DIZENDO

g(x) é a soma das distâncias de x até 1 e de x até 2. Entre 1 e 2, essa soma é sempre igual à distância entre 1 e 2, ou seja, 1, não importa onde você esteja no meio. É por isso que o fundo é reto, e não um bico.

Fora do intervalo, cada passo que você dá para longe aumenta as DUAS distâncias, e por isso a inclinação é 2 (e −2 do outro lado), e não 1.

B.4 Crescimento e decrescimento em funções por partes

[Lista, Problema 7] Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de:

f(x) = x + 1, se x ≤ 0 2, se 0 < x ≤ 1 ( x − 1 )² + 2, se x ≥ 1

Analise parte por parte:

Parte · Que tipo de função é · Comportamento

x + 1, para x ≤ 0 · reta de coeficiente angular 1 > 0 · CRESCENTE em (−∞, 0]

2, para 0 < x ≤ 1 · constante · CONSTANTE em (0, 1]

(x−1)² + 2, para x ≥ 1 · parábola com vértice em x = 1 · CRESCENTE em [1, +∞)

Crescente em ( −∞, 0 ] e em [ 1, +∞ ) Constante em ( 0, 1 ]Decrescente: em lugar nenhum

O DETALHE QUE QUASE NINGUÉM VÊ NESTE EXERCÍCIO

A função tem um SALTO em x = 0. Pela primeira fórmula, f(0) = 0 + 1 = 1. Mas, para x logo à direita de zero, a segunda fórmula manda e o valor é 2.

Ou seja: f pula de 1 para 2 ao atravessar o zero. É uma descontinuidade, diferente do exemplo B.3, onde as partes colavam.

Guarde este exemplo: em novembro, na Etapa 2, continuidade e limites laterais serão exatamente sobre isto. Você vai reencontrar esta função.

PARÁBOLA COM VÉRTICE: POR QUE (x − 1)² + 2 SÓ CRESCE

(x − 1)² tem vértice em x = 1 e é a forma "completar quadrados" que o professor mencionou em aula. À direita do vértice, a parábola de boca para cima só sobe.

Como esta parte da função só vale para x ≥ 1, você está sempre à direita do vértice, logo, sempre crescendo.

PARTE C: Treino graduado (conteúdo do Módulo 1)

O Módulo 1 saiu com gabarito da Lista, mas sem a escada de graus. Aqui está a escada. Os exercícios são novos, não repetem os que já estão no Módulo 1, e servem justamente para você treinar de novo depois de já ter visto aqueles.

Faça na ordem. Gabarito comentado no fim.

Grau 1, Notação de intervalo e radicais

Treina: a mecânica pura. Se travar aqui, o resto custa o dobro.

1.1 Escreva em notação de intervalo

(1) {x ∈ ℝ | −2 < x ≤ 7}

(2) {x ∈ ℝ | x ≥ 0}

(3) {x ∈ ℝ | x < −1}

(4) {x ∈ ℝ | 3 ≤ x ≤ 3} (pense antes de responder)

1.2 Simplifique o radical

(1) √18

(2) √48

(3) √75

(4) √200

(5) √98

(6) √12 + √27

Grau 2, Ordem na reta

Treina: saber onde um radical cai entre dois inteiros. Sem isso não se desenha nada.

Em cada par, diga qual é maior, sem calculadora:

(1) 3√2 ou 4

(2) 2√5 ou 4,5

(3) −√10 ou −3

(4) √50 ou 7

(5) √26 ou 5,1

Grau 3, Operações com intervalos

Treina: união, interseção, diferença e complementar, com as bolinhas certas.

Considere A = ( −3, 4 ], B = [ 0, 7 ), C = { −3, 4 }, D = ( −∞, 0 ].

(1) A ∪ B

(2) A ∩ B

(3) A − B

(4) B − A

(5) A ∪ C

(6) A ∩ C

(7) A ∩ D

(8) ℝ − A

(9) ℝ − D

(10) ℝ − ( A ∪ D )

Grau 4, Inequações do 2º grau

Treina: os três princípios de sinal do Módulo 1, incluindo os casos degenerados.

(1) x² − 7x + 12 > 0

(2) − x² + 4x − 3 ≥ 0

(3) x² + 6x + 9 ≤ 0

(4) x² + 6x + 10 < 0

(5) 4x² − 9 ≥ 0

(6) − 2x² + 8 > 0

Grau 5, Inequações polinomiais de grau maior

Treina: mais de duas raízes na reta, e o efeito das raízes duplas.

(1) ( x − 1 )( x + 2 )( x − 4 ) > 0

(2) x ( x − 3 )² ≤ 0

(3) ( x² − 1 )( x² − 9 ) < 0

(4) ( x + 2 )² ( x − 5 ) ≥ 0

Grau 6, Valor absoluto e funções por partes

Treina: o conteúdo das Partes A e B deste caderno.

(1) | x | = 5

(2) | x − 3 | = 2

(3) | x | < 4

(4) | x | ≥ 2

(5) | x − 1 | ≤ 3

(6) | 2x + 1 | > 5

(7) | x | − 1 > 0

(8) Simplifique √(x²) e explique

(9) Escreva f(x) = | x | − | x − 2 | como função por partes

Gabarito comentado

Grau 1

# · Enunciado · Resposta · Comentário

1.1a · {x | −2 < x ≤ 7} · (−2, 7] · aberto onde é <, fechado onde é ≤

1.1b · {x | x ≥ 0} · [0, +∞) · parêntese no infinito, sempre

1.1c · {x | x < −1} · (−∞, −1) ·

1.1d · {x | 3 ≤ x ≤ 3} · {3} · só o 3 satisfaz. [3,3] é um ponto, não intervalo

1.2a · √18 · 3√2 · 18 = 9 · 2

1.2b · √48 · 4√3 · 48 = 16 · 3

1.2c · √75 · 5√3 · 75 = 25 · 3

1.2d · √200 · 10√2 · 200 = 100 · 2

1.2e · √98 · 7√2 · 98 = 49 · 2

1.2f · √12 + √27 · 5√3 · 2√3 + 3√3; só se soma radical igual

Grau 2

# · Par · Maior · Como decidir sem calculadora

a · 3√2 vs 4 · 3√2 · eleve ao quadrado: (3√2)² = 18 e 4² = 16

b · 2√5 vs 4,5 · 4,5 · (2√5)² = 20 e 4,5² = 20,25

c · −√10 vs −3 · −3 · √10 ≈ 3,16 > 3, e nos negativos a ordem inverte

d · √50 vs 7 · √50 · 50 > 49 = 7²

e · √26 vs 5,1 · 5,1 · 5,1² = 26,01 > 26. Por muito pouco

A TÉCNICA, EM UMA FRASE

Para comparar um radical com um número, eleve os dois ao quadrado. Como os dois são positivos, a ordem se mantém, e comparar inteiros é trivial.

O item (e) é o do Módulo 3: √26 versus 5,1. Serve para confirmar que √26 ≈ 5,099 está logo abaixo de 5,1.

Grau 3

Com A = (−3, 4], B = [0, 7), C = {−3, 4}, D = (−∞, 0]:

# · Operação · Resposta · Justificativa da bolinha

a · A ∪ B · (−3, 7) · −3 aberto (vem de A); 7 aberto (vem de B)

b · A ∩ B · [0, 4] · 0 fechado (está em B e em A); 4 fechado (está em A e em B)

c · A − B · (−3, 0) · o 0 pertence a B, então sai

d · B − A · (4, 7) · o 4 pertence a A, então sai

e · A ∪ C · [−3, 4] · o C acrescenta o −3, que A não tinha

f · A ∩ C · {4} · −3 ∉ A porque a ponta é aberta; 4 ∈ A

g · A ∩ D · (−3, 0] · o 0 está nos dois

h · ℝ − A · (−∞, −3] ∪ (4, +∞) · as bolinhas trocam: aberta vira fechada

i · ℝ − D · (0, +∞) · o 0 estava em D, então sai do complementar

j · ℝ − (A ∪ D) · (4, +∞) · A ∪ D = (−∞, 4], e o complementar disso

O ITEM (j) VALE UMA CONFERÊNCIA

A ∪ D = (−3, 4] ∪ (−∞, 0] = (−∞, 4]. Repare que a união emenda: D vai até 0 e A começa antes de 0, então não sobra buraco.

Confira por De Morgan: ℝ − (A ∪ D) = (ℝ − A) ∩ (ℝ − D) = [(−∞,−3] ∪ (4,+∞)] ∩ (0,+∞) = (4, +∞) (confere). Mesmo resultado pelos dois caminhos.

Grau 4

# · Inequação · Δ, raízes e sinal de a · Solução

a · x² − 7x + 12 > 0 · Δ = 1; raízes 3 e 4; a > 0 · (−∞, 3) ∪ (4, +∞)

b · −x² + 4x − 3 ≥ 0 · Δ = 4; raízes 1 e 3; a < 0 · [1, 3]

c · x² + 6x + 9 ≤ 0 · Δ = 0; raiz dupla −3; a > 0 · {−3}

d · x² + 6x + 10 < 0 · Δ = −4 < 0; a > 0 · ∅

e · 4x² − 9 ≥ 0 · raízes ±3/2; a > 0 · (−∞, −3/2] ∪ [3/2, +∞)

f · −2x² + 8 > 0 · raízes ±2; a < 0 · (−2, 2)

OS DOIS CASOS DEGENERADOS

(c), Δ = 0 e a > 0: o polinômio é (x + 3)², que é positivo em toda parte, menos no vértice, onde vale zero. Como a pergunta admite o igual, sobra exatamente um ponto: S = {−3}. Se fosse "< 0", seria ∅.

(d), Δ < 0 e a > 0: positivo sempre. Nunca é menor que zero. S = ∅.

Nos dois, a resposta não é um intervalo, é um ponto ou o vazio. Quem procura intervalo a qualquer custo erra estes.

Grau 5

# · Inequação · Raízes na ordem · Solução

a · (x−1)(x+2)(x−4) > 0 · −2, 1, 4; grau 3, líder > 0 · (−2, 1) ∪ (4, +∞)

b · x (x − 3)² ≤ 0 · 0 e 3 (dupla) · (−∞, 0] ∪ {3}

c · (x²−1)(x²−9) < 0 · −3, −1, 1, 3; grau 4, líder > 0 · (−3, −1) ∪ (1, 3)

d · (x+2)² (x−5) ≥ 0 · −2 (dupla) e 5 · {−2} ∪ [5, +∞)

RAIZ DUPLA NÃO TROCA O SINAL, MAS PODE ENTRAR SOZINHA

Em (b), o fator (x − 3)² é positivo dos dois lados do 3. Então o sinal do produto é o sinal de x sozinho: negativo para x < 0, positivo para x > 0. Como a pergunta admite o igual, o ponto x = 3 entra, isolado, no meio de uma região positiva.

Em (d), a mesma coisa com o −2: o sinal é o de (x − 5), e o −2 entra sozinho.

Este é o mesmo fenômeno do item 4(f) da Lista, resolvido no Módulo 1. Se você acertar estes dois, esse tipo está dominado.

Grau 6

# · Enunciado · Resposta · Comentário

a · |x| = 5 · {−5, 5} · dois pontos à mesma distância do zero

b · |x − 3| = 2 · {1, 5} · os que estão a 2 unidades do 3

c · |x| < 4 · (−4, 4) · prende no meio

d · |x| ≥ 2 · (−∞, −2] ∪ [2, +∞) · espalha para fora, com bolinha cheia

e · |x − 1| ≤ 3 · [−2, 4] · os que estão a até 3 unidades do 1

f · |2x + 1| > 5 · (−∞, −3) ∪ (2, +∞) · abre em duas e resolve cada uma

g · |x| − 1 > 0 · (−∞, −1) ∪ (1, +∞) · isole primeiro: |x| > 1

h · √(x²) · |x| · a raiz nunca devolve negativo

Item (i), f(x) = | x | − | x − 2 | por partes

Pontos-chave: 0 e 2. Três regiões, e em cada uma os módulos abrem conforme o sinal do interior:

Região · |x| abre como · |x − 2| abre como · Conta · Resultado

x < 0 · − x · 2 − x · (−x) − (2 − x) · −2

0 ≤ x < 2 · x · 2 − x · x − (2 − x) · 2x − 2

x ≥ 2 · x · x − 2 · x − (x − 2) · 2

f(x) = −2, se x < 0 2x − 2, se 0 ≤ x < 2 2, se x ≥ 2

Conferindo a colagem: em x = 0, a segunda fórmula dá 2(0) − 2 = −2, que bate com a primeira. Em x = 2, dá 2(2) − 2 = 2, que bate com a terceira. Contínua.

COMPARE COM O EXEMPLO DA PARTE B

Em |x−1| + |x−2| (soma), o meio ficava CONSTANTE e as pontas subiam. Em |x| − |x−2| (diferença), acontece o contrário: as pontas ficam constantes e o meio é que sobe.

Faz sentido pela leitura de distância: a diferença entre duas distâncias se estabiliza quando você está longe dos dois pontos, e só varia quando você está entre eles.