Geometria analítica, módulo 0: os pré-requisitos

GUIA DA P1: GEOMETRIA ANALÍTICA

Módulo 0

Os pré-requisitos

Tudo o que precisa estar no lugar antes de você ver o primeiro vetor

Guia da P1 · Autor: Ulysses Cesar · Curso de Engenharia Civil

COMO ESTA SÉRIE ESTÁ ORGANIZADA

A P1 é no dia 11 de setembro. O professor já publicou, no Classroom, o arquivo com as quatro questões que cairão. No dia da prova cada aluno sorteia uma delas e tem exatos 12 minutos para resolvê-la. Cada questão vale 10 pontos, repartidos em 8 ou 9 itens.

Isso muda tudo. Você não precisa adivinhar o que estudar: precisa saber executar quatro roteiros conhecidos, rápido e sem travar. Esta série existe para isso.

Módulo A, A base aritmética. Sinais, frações, potências, raízes, letras e equação do 2º grau. Para quem está voltando à matemática depois de anos.

Módulo 0, Os pré-requisitos. Coordenadas, radicais, Pitágoras, trigonometria e determinantes. Nada de vetor ainda.

Módulo 1, Vetores, coordenadas e norma. O que é um vetor, como se calcula, quanto ele mede.

Módulo 2, Produto escalar. Ângulo, ortogonalidade e projeção.

Módulo 3, Produto vetorial e produto misto. Área, volume e coplanaridade.

Módulo 4, As quatro questões da prova, resolvidas item por item, com o roteiro dos 12 minutos e o plano de estudo até o dia da prova.

POR QUE EXISTE UM MÓDULO ZERO

Porque a prova não é sobre vetores. É sobre fazer contas com vetores, e as contas são todas de ensino médio: elevar ao quadrado, somar, tirar raiz, simplificar radical, calcular um determinante.

Quem perde ponto nessa prova quase nunca perde por não saber o que é produto vetorial. Perde por errar o sinal do meio do determinante, por não simplificar √12, por não lembrar que sen²θ + cos²θ = 1.

Este módulo é chato de propósito. Ele resolve o problema antes de ele aparecer.

SUMÁRIO

PARTE A: Onde as coisas ficam

A.1 Para que serve a Geometria Analítica

A.2 O plano cartesiano

A.3 O espaço em três dimensões

A.4 Como desenhar um ponto no espaço sem se perder

A.5 Ponto e terno ordenado: a mesma notação, dois sentidos

PARTE B: A álgebra que a prova cobra

B.1 Potência e raiz quadrada

B.2 Simplificar radical, a técnica que salva a prova

B.3 Racionalizar denominador

B.4 Somar e multiplicar radicais

PARTE C: A geometria que a prova cobra

C.1 Teorema de Pitágoras

C.2 Pitágoras duas vezes: a diagonal da caixa

C.3 Triângulo retângulo: cateto, hipotenusa, área

C.4 Área do triângulo qualquer: as três fórmulas

C.5 A fórmula de Heron

C.6 Altura relativa a um lado

PARTE D: A trigonometria que a prova cobra

D.1 Seno e cosseno no triângulo retângulo

D.2 Seno e cosseno fora do triângulo retângulo

D.3 A identidade fundamental

D.4 Como tirar o seno quando você só tem o cosseno

D.5 Os valores que você precisa saber de cor

PARTE E: Determinantes

E.1 O que é uma matriz

E.2 Determinante 2×2

E.3 Determinante 3×3 pela Regra de Sarrus

E.4 Determinante 3×3 por cofatores, a que a prova usa

E.5 As propriedades que economizam tempo

E.6 O que o determinante significa geometricamente

PARTE F: Treino do Módulo 0

PARTE G: Onde ler mais, nos livros que já estão na sua pasta

COMO LER OS SÍMBOLOS DESTE MÓDULO

Nenhum símbolo aqui é decoração: cada um substitui uma frase inteira. Se travar na leitura de uma equação, volte a esta tabela.

Símbolo · Lê-se · O que é

ℝ · erre, conjunto dos reais · todos os números da reta: inteiros, frações e irracionais.

ℓ · ele · usado aqui como o comprimento de um lado genérico.

θ · teta · letra grega. Nomeia um ângulo, quase sempre o ângulo entre dois vetores.

√ · raiz quadrada · pergunta qual número, multiplicado por ele mesmo, dá o que está sob o traço.

· · vezes · multiplicação. Usa-se o ponto para não confundir com a letra x.

× · vezes · multiplicação.

± · mais ou menos · as duas contas valem: uma com +, outra com −.

≥ · maior ou igual a · inclui o próprio valor.

≈ · aproximadamente igual a · valor arredondado, não exato.

⟨ · produto escalar (interno), escreve-se ⟨u, v⟩ · ⟨u, v⟩ multiplica coordenada por coordenada e soma. Devolve um NÚMERO. Dá zero exatamente quando os vetores são perpendiculares.

∧ · produto vetorial (externo), escreve-se u ∧ v · u ∧ v devolve um VETOR perpendicular aos dois. O comprimento dele é a área do paralelogramo.

| · módulo, ou norma, escreve-se |v| · |v| é o comprimento do vetor v; |x| é a distância de x até zero. Nunca é negativo.

sen · seno · num triângulo retângulo, cateto oposto dividido pela hipotenusa.

cos · cosseno · cateto adjacente dividido pela hipotenusa.

det · determinante · número extraído de uma matriz quadrada por uma regra fixa.

² (expoente 2) · ao quadrado · o número multiplicado por ele mesmo. x² é x·x.

i, j, k · i, j, k · os três vetores de comprimento 1 que apontam ao longo dos eixos x, y e z.

PARTE A: ONDE AS COISAS FICAM

A.1 Para que serve a Geometria Analítica

Existem duas maneiras de tratar uma figura geométrica.

A primeira é a de Euclides, que você viu na escola: desenha-se o triângulo, e a partir do desenho se demonstram propriedades com régua, compasso e raciocínio. É a geometria sintética.

A segunda é a de Descartes: coloca-se a figura dentro de um sistema de coordenadas, cada ponto vira um par (ou terno) de números, e a figura inteira vira conta. É a geometria analítica.

A vantagem da segunda é brutal para a engenharia: conta o computador faz, desenho não. Quando você calcula a área de um terreno irregular a partir das coordenadas dos vértices levantadas em campo, você está fazendo exatamente isto, e é por isso que essa disciplina está no primeiro semestre de Engenharia Civil.

Veja a conta de verdade. Um terreno de quatro vértices, levantados em campo (em metros): A = (0, 0), B = (10, 0), C = (8, 6) e D = (2, 4), nessa ordem. Corte o terreno em dois triângulos pela diagonal AC. A área de um triângulo com um vértice na origem e os outros em (a, b) e (c, d) é a metade do módulo do determinante a·d − b·c:

Triângulo ABC: ½ · |10·6 − 0·8| = ½ · 60 = 30 m²

Triângulo ACD: ½ · |8·4 − 6·2| = ½ · 20 = 10 m²

A área do terreno é 30 + 10 = 40 m². Conferência pela outra diagonal (BD): o triângulo ABD dá ½ · |10·4 − 0·2| = 20 m² e o triângulo BCD, com os vetores BC = (−2, 6) e BD = (−8, 4), dá ½ · |(−2)·4 − 6·(−8)| = ½ · 40 = 20 m². Total 20 + 20 = 40 m², o mesmo número. Nenhum desenho foi medido: só coordenadas e contas.

A FRASE QUE RESUME A DISCIPLINA INTEIRA

O Plano de Ensino chama isso de "a dupla tradução, via coordenadas, entre entes geométricos e equações algébricas".

Traduzindo: toda figura vira conta, e toda conta volta a ser figura. Área vira determinante. Perpendicularidade vira uma soma que dá zero. Volume vira módulo de um número.

Guarde essa ideia. Ela é o eixo das quatro questões da P1: em todas, o professor pede uma conta e depois pergunta o que aquele número significa geometricamente. Metade dos pontos está nessa segunda pergunta.

A.2 O plano cartesiano

Duas retas perpendiculares que se cruzam num ponto O, a origem.

A horizontal é o eixo x (ou eixo das abscissas). Cresce para a direita.

A vertical é o eixo y (ou eixo das ordenadas). Cresce para cima.

Um ponto qualquer do plano fica identificado por dois números: quanto ele anda no x e quanto ele anda no y. Escreve-se P(x, y), sempre nessa ordem, daí o nome par ordenado. O ponto (3, 1) não é o mesmo que o ponto (1, 3).

Os dois eixos dividem o plano em quatro quadrantes, numerados no sentido anti-horário a partir do canto superior direito:

Quadrante · Sinal de x · Sinal de y · Exemplo

1º · + · + · (3, 2)

2º · − · + · (−3, 2)

3º · − · − · (−3, −2)

4º · + · − · (3, −2)

A.3 O espaço em três dimensões

O plano não basta para engenharia: uma laje tem largura, comprimento e altura. Então acrescenta-se um terceiro eixo, o eixo z, perpendicular aos outros dois, o eixo da altura, que aponta para cima.

Agora cada ponto precisa de três números: P(x, y, z). Chama-se terno ordenado, e o conjunto de todos eles chama-se ℝ³ (leia "erre três").

Falta dizer para que lado cada eixo aponta. Numa folha de papel não cabem três direções realmente perpendiculares, então convencionou-se um desenho: o z sobe, o y vai para a direita, e o x sai do papel na sua direção, desenhado, em geral, como uma diagonal que desce para a esquerda.

Essa escolha não é arbitrária. Ela é a chamada regra da mão direita, e vale a pena fazer o gesto agora, com a mão de verdade:

1. Estenda o polegar da mão direita: é o eixo x, apontando para você, saindo do papel.

2. Estenda o indicador, perpendicular ao polegar: é o eixo y, apontando para a direita.

3. Estenda o dedo médio, perpendicular aos dois: é o eixo z, apontando para cima.

Os três dedos ficam mutuamente perpendiculares, e é exatamente essa configuração que o desenho do parágrafo anterior representa. Se você fizer o mesmo gesto com a mão esquerda, obtém um sistema diferente, e nele metade das contas de produto vetorial sai com o sinal trocado. Por isso a mão importa, e por isso o nome da regra traz a palavra "direita".

POR QUE ISSO IMPORTA AGORA

Porque essa mesma regra da mão direita vai reaparecer, sem aviso, no produto vetorial (Módulo 3), para dizer para que lado aponta o vetor u ∧ v.

Se você aprender o gesto hoje, com os eixos, não vai precisar aprender nada de novo depois. É a mesma mão.

A regra da mão direita. Polegar no x, indicador no y, dedo médio no z. É a mesma mão que vai reaparecer no produto vetorial.

Os três eixos, tomados dois a dois, definem três planos coordenados: o plano xy (o "chão"), o plano xz e o plano yz (as duas "paredes"). Eles dividem o espaço em oito regiões, chamadas octantes.

A.4 Como desenhar um ponto no espaço sem se perder

Todo mundo trava na hora de desenhar em três dimensões numa folha plana. O truque é sempre o mesmo: desenhe a caixa.

Para marcar o ponto P(4, 2, 7):

1. Ande 4 no eixo x.

2. A partir dali, ande 2 na direção do y.

3. A partir dali, suba 7 na direção do z.

4. Feche a caixa de arestas paralelas aos eixos. O ponto é o vértice oposto à origem.

Para marcar P(4, 2, 7): ande 4 no x, 2 no y, suba 7 no z. O ponto é o vértice oposto à origem.

A caixa não é enfeite: ela é o paralelepípedo que aparece na primeira questão da prova. E os três números 4, 2 e 7 são exatamente as três arestas dessa caixa.

A.5 Ponto e terno ordenado: a mesma notação, dois sentidos

Isto confunde muita gente no começo, e é melhor resolver agora.

A notação (4, 2, 7) é usada para duas coisas diferentes:

Objeto · O que significa · Como se escreve

Ponto · uma posição no espaço · A = (4, 2, 7) ou A(4, 2, 7)

Vetor · um deslocamento: quanto andar em cada direção · v = (4, 2, 7) ou v⃗ = (4, 2, 7)

São coisas de naturezas distintas, uma é lugar, outra é movimento, mas escritas do mesmo jeito. O contexto resolve: se está escrito A, B, C, D, é ponto; se está escrito u, v, w, é vetor.

O QUE LIGA OS DOIS

Um vetor com origem na origem O do sistema termina exatamente no ponto de mesmas coordenadas. Por isso a confusão é inofensiva na prática, e por isso a fórmula AB = B − A, que você vai ver no Módulo 1, funciona.

Nas anotações do professor há uma seta desenhada justamente sobre isso, com a legenda "ponto ↔ par ordenado". Ele sabe que é aqui que a turma tropeça.

PARTE B: A ÁLGEBRA QUE A PROVA COBRA

Nada aqui é novo. Mas é aqui que os pontos escorrem.

B.1 Potência e raiz quadrada

Elevar ao quadrado é multiplicar o número por ele mesmo: 5² = 25. Vale para negativos, e o resultado é sempre positivo: (−5)² = 25.

A raiz quadrada é a operação inversa: √25 = 5. Por convenção, √ de um número positivo é sempre o resultado positivo. Quando as duas soluções interessam, escreve-se ±√25 = ±5.

AS RAÍZES QUE APARECEM NA PROVA

Você vai tirar raiz o tempo todo, para calcular normas de vetores. Ter estas de cor economiza minutos. Cada linha abaixo traz cinco igualdades separadas:

√1 = 1 √4 = 2 √9 = 3 √16 = 4 √25 = 5

√36 = 6 √49 = 7 √64 = 8 √81 = 9 √100 = 10

√121 = 11 √144 = 12 √169 = 13 √196 = 14 √225 = 15

E uma maior, que cai literalmente na questão 2: √3600 = 60. Ela sai da tabela acima: 3600 = 36 · 100, e √36 · √100 = 6 · 10 = 60.

B.2 Simplificar radical, a técnica que salva a prova

O professor pede, na questão 1, item (g): "calcule a altura h e simplifique, se possível, seu valor". Ou seja: há ponto em jogo na simplificação.

A técnica é uma só: procure um quadrado perfeito dentro do radicando e tire-o para fora.

O método, em três passos

1. Fatore o número dentro da raiz procurando o maior quadrado perfeito que o divide.

2. Separe: √(a·b) = √a · √b.

3. Tire a raiz do quadrado perfeito.

Exemplos, do mais fácil ao que cai na prova

Radical · Fatoração · Simplificado

√12 · √(4 · 3) · 2√3

√18 · √(9 · 2) · 3√2

√48 · √(16 · 3) · 4√3

√50 · √(25 · 2) · 5√2

√72 · √(36 · 2) · 6√2

√48 (questão 1) · √(16 · 3) · 4√3

O RADICAL EXATO DA QUESTÃO 1

No item (g) da primeira questão você vai chegar a um vetor (4, 4, 4) e precisar da sua norma:

|(4, 4, 4)| = √(4² + 4² + 4²) = √48

E √48 = √(16 · 3) = 4√3. Se você parar em √48, perde a metade do valor do item. Se escrever 4√3 e ainda disser "≈ 6,93", ganha tudo.

B.3 Racionalizar denominador

Por convenção matemática, não se deixa raiz no denominador. Para tirá-la, multiplica-se em cima e embaixo pelo mesmo radical:

1/√2 =(1/√2)·(√2/√2)= √2/2

3/√5 =(3/√5)·(√5/√5)= 3√5/5

Você vai precisar disso ao calcular versores (vetores unitários, Módulo 1) e ao dar o cosseno de um ângulo como resposta.

B.4 Somar e multiplicar radicais

Duas regras, e uma armadilha:

Multiplicar é fácil: √a · √b = √(a·b). Logo √3 · √3 = √9 = 3.

Somar só é possível com radicais iguais: 2√3 + 5√3 = 7√3. Mas √2 + √3 não se simplifica.

A armadilha: √(a + b) não é √a + √b. Teste com números: √(9 + 16) = √25 = 5, mas √9 + √16 = 3 + 4 = 7. Diferente.

ONDE ESSA ARMADILHA APARECE NA PROVA

Na norma de um vetor. |(3, 4)| = √(3² + 4²) = √25 = 5, e não 3 + 4 = 7.

Guarde a frase: a raiz não se distribui pela soma. Ela vai te salvar dez vezes.

PARTE C: A GEOMETRIA QUE A PROVA COBRA

C.1 Teorema de Pitágoras

Num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.

a^2 = b^2 + c^2

Onde a é a hipotenusa, o lado oposto ao ângulo reto, sempre o maior, e b, c são os catetos.

O terno (5, 12, 13), o que cai na questão 2 da prova. A hipotenusa é sempre o lado oposto ao ângulo reto, e sempre o maior.

O teorema também funciona ao contrário, e é assim que ele cai na prova: se os três lados de um triângulo satisfazem a² = b² + c², então o triângulo é retângulo. Isso se chama recíproca do Teorema de Pitágoras, e é exatamente o que o item (e) da questão 2 pede.

OS TERNOS PITAGÓRICOS DA PROVA

Três trios de números inteiros que satisfazem Pitágoras. Reconhecê-los de imediato economiza um minuto:

(3, 4, 5), porque 9 + 16 = 25

(5, 12, 13), porque 25 + 144 = 169 ← é este que cai na questão 2

(8, 15, 17), porque 64 + 225 = 289

Todos os múltiplos também valem: (6, 8, 10), (10, 24, 26), etc.

C.2 Pitágoras duas vezes: a diagonal da caixa

Esta é a ponte entre o ensino médio e a fórmula da norma que você vai usar na prova inteira. Vale a pena ver a dedução uma vez.

Imagine uma caixa (paralelepípedo reto) de arestas x, y e z. Qual é o comprimento da diagonal que vai de um vértice ao vértice oposto?

Primeiro Pitágoras, no chão da caixa. A diagonal do retângulo do fundo, que chamaremos de d, tem

d^2 = x^2 + y^2

Pitágoras duas vezes. Primeiro no chão, achando d. Depois em pé, com d e z como catetos, achando D.

Segundo Pitágoras, na parede em pé. A diagonal da caixa, D, é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos são d (deitada no chão) e z (a altura). Então

D^2 = d^2 + z^2 =(x^2 + y^2)+ z^2

E portanto:

D = √(x^2 + y^2 + z^2)

VOCÊ ACABOU DE DEDUZIR A NORMA DE UM VETOR

A fórmula |v| = √(x² + y² + z²), que você vai usar em todos os itens de todas as quatro questões, não é uma fórmula nova. É o Teorema de Pitágoras aplicado duas vezes na mesma caixa.

Se você entender isso hoje, nunca mais vai precisar decorá-la. E se o professor perguntar "de onde vem essa fórmula?", você tem a resposta em três linhas.

C.3 Triângulo retângulo: cateto, hipotenusa, área

Hipotenusa: o lado oposto ao ângulo reto. É sempre o maior dos três.

Catetos: os dois lados que formam o ângulo reto.

A área é fácil justamente porque os catetos são perpendiculares, um serve de base, o outro de altura:

Área =(cateto × cateto)/2

Na questão 2, os catetos medem 5 e 12, e a área sai imediatamente: (5 × 12)/2 = 30.

C.4 Área do triângulo qualquer: as quatro fórmulas

A questão 3 da prova é, literalmente, "calcular a área de um triângulo usando três métodos diferentes". A tabela abaixo traz quatro fórmulas, e não três: as três primeiras são de ensino médio, e a quarta é a que a Geometria Analítica acrescenta. Os três métodos que o enunciado da questão 3 pede são o produto vetorial, Heron e o seno, a fórmula base × altura não é usada lá, mas entra na tabela porque é dela que as outras saem, e porque o item (h) volta a ela para achar as alturas.

Fórmula · Quando usar · O que você precisa ter

Área = (base × altura)/2 · quando a altura é conhecida · um lado e a altura relativa a ele

Área = ½ · a · b · sen θ · quando você tem dois lados e o ângulo entre eles · duas medidas e um seno

Heron: Área = √[s(s−a)(s−b)(s−c)] · quando você só tem os três lados · os três lados

Área = ½ · |AB ∧ AC| · quando você tem as coordenadas dos vértices · produto vetorial (Módulo 3)

A altura é sempre medida perpendicularmente à base, e não ao longo do lado inclinado.

A quarta linha é a específica da Geometria Analítica, e é o coração da prova. As três primeiras são de ensino médio, e a questão 3 usa todas.

C.5 A fórmula de Heron

Serve para calcular a área conhecendo apenas os três lados, sem precisar de nenhum ângulo nem de nenhuma altura.

Primeiro calcula-se o semiperímetro, metade da soma dos lados:

s =(a + b + c)/2

Depois:

Área = √[ s ·(s − a)·(s − b)·(s − c)]

Exemplo trabalhado, exatamente o da questão 3

Lados a = 5, b = 5, c = 6.

1. Semiperímetro: s = (5 + 5 + 6)/2 = 16/2 = 8

2. As três diferenças: s − a = 8 − 5 = 3; s − b = 8 − 5 = 3; s − c = 8 − 6 = 2

3. Produto: 8 · 3 · 3 · 2 = 144

4. Área = √144 = 12

O ERRO CLÁSSICO DE HERON

Esquecer de dividir o perímetro por dois. Se você usar s = 16 em vez de s = 8, o resultado sai negativo dentro da raiz e você trava no meio da prova, com o cronômetro correndo.

A letra é s de semiperímetro. Alguns livros escrevem p. É a mesma coisa.

C.6 Altura relativa a um lado

Um triângulo tem três alturas, uma para cada lado, e elas têm valores diferentes, porque os lados têm comprimentos diferentes.

Se você já sabe a área, achar qualquer uma delas é isolar na fórmula base × altura / 2:

altura relativa ao lado ℓ = 2 · Área/ℓ

O item (h) da questão 3 pede as três alturas de uma vez. Com a área = 12 e os lados 6, 5 e 5:

Lado · Medida · Conta · Altura

AB · 6 · 2·12/6 · 4

AC · 5 · 2·12/5 · 4,8

BC · 5 · 2·12/5 · 4,8

Repare que o maior lado tem a menor altura. Faz sentido: a área é fixa, então quem tem base grande precisa de altura pequena.

PARTE D: A TRIGONOMETRIA QUE A PROVA COBRA

Você precisa de muito pouco: seno, cosseno e uma identidade. Mas precisa desse pouco com segurança.

D.1 Seno e cosseno no triângulo retângulo

Fixado um dos ângulos agudos θ de um triângulo retângulo:

sen θ = cateto oposto/hipotenusa

cos θ = cateto adjacente/hipotenusa

O mnemônico clássico: SOH-CAH, Seno é Oposto sobre Hipotenusa, Cosseno é Adjacente sobre Hipotenusa.

Como a hipotenusa é sempre o maior lado, seno e cosseno de um ângulo agudo são sempre números entre 0 e 1.

D.2 Seno e cosseno fora do triângulo retângulo

O ângulo entre dois vetores pode ser obtuso (maior que 90°), e aí não existe triângulo retângulo para invocar. A definição se estende pelo círculo trigonométrico, e o que muda é o sinal:

Ângulo θ · cos θ · sen θ

0° < θ < 90° (agudo) · positivo · positivo

θ = 90° (reto) · zero · 1

90° < θ < 180° (obtuso) · negativo · positivo

θ = 180° (raso) · −1 · 0

AS DUAS LINHAS QUE VOCÊ VAI USAR NA PROVA

1. O seno nunca é negativo no intervalo que interessa. Entre 0° e 180°, que é o intervalo de todo ângulo entre dois vetores, sen θ ≥ 0 sempre. Por isso, ao extrair sen θ da identidade fundamental, você descarta a raiz negativa sem hesitar. Isso é ponto no item (f) da questão 3.

2. cos θ = 0 exatamente quando θ = 90°. É daqui que nasce o critério de perpendicularidade do produto escalar, no Módulo 2. Toda a questão 2 depende dessa linha.

D.3 A identidade fundamental

sen^2θ + cos^2θ = 1

Vale para qualquer ângulo. É Pitágoras disfarçado: no círculo de raio 1, o cosseno é o cateto horizontal, o seno é o cateto vertical, e a hipotenusa é o raio, que vale 1.

Notação: sen²θ significa (sen θ)², e não sen(θ²). São coisas diferentes.

D.4 Como tirar o seno quando você só tem o cosseno

Este é o item (f) da questão 3, e é uma manipulação de três linhas. Vale treinar até sair no automático.

Dado cos θ, isola-se sen θ:

1. Da identidade: sen²θ = 1 − cos²θ

2. Tira-se a raiz: sen θ = ±√(1 − cos²θ)

3. Como 0 < θ < 180° entre dois vetores, fica só o sinal positivo.

Exemplo trabalhado, exatamente o da questão 3

Sabe-se que cos θ = 3/5. Quanto vale sen θ?

1. sen²θ = 1 − (3/5)² = 1 − 9/25

2. Reduzindo ao mesmo denominador: 25/25 − 9/25 = 16/25

3. sen θ = √(16/25) = 4/5

E repare no atalho: 3/5 e 4/5 são o terno pitagórico (3, 4, 5) outra vez. Sempre que o cosseno vier como fração de um terno pitagórico, o seno é o outro cateto sobre a mesma hipotenusa.

D.5 Os valores que você precisa saber de cor

θ · 0° · 30° · 45° · 60° · 90° · 180°

sen θ · 0 · 1/2 · √2/2 · √3/2 · 1 · 0

cos θ · 1 · √3/2 · √2/2 · 1/2 · 0 · −1

Os três do meio (30°, 45°, 60°) aparecem sempre que a resposta de um ângulo entre vetores for "bonita". Se você calcular cos θ = √2/2, a resposta é 45°, e não "arc cos de alguma coisa".

PARTE E: DETERMINANTES

Aqui está o único conteúdo do Módulo 0 que talvez seja realmente novo para você. É também o mais importante: produto vetorial é um determinante, produto misto é um determinante. Sem determinante, três das quatro questões não saem.

E.1 O que é uma matriz

Uma matriz é uma tabela retangular de números, escrita entre parênteses ou colchetes. A ordem da matriz é o número de linhas por número de colunas.

Uma matriz é quadrada quando tem o mesmo número de linhas e colunas, e só de matrizes quadradas se calcula determinante.

O determinante é um número único, extraído dessa tabela por uma regra fixa. Escreve-se com barras verticais no lugar dos parênteses: det(A) ou |A|.

E.2 Determinante 2×2

Multiplica-se a diagonal principal e subtrai-se o produto da diagonal secundária:

| a b ; c d | = a·d − b·c

Exemplos

| 3 1 ; 4 2 | = 3·2 − 1·4 = 6 − 4 = 2

| 1 0 ; 0 1 | = 1·1 − 0·0 = 1

| 4 3 ; 4 3 | = 4·3 − 3·4 = 12 − 12 = 0 (linhas iguais)

E.3 Determinante 3×3 pela Regra de Sarrus

É a que você provavelmente viu no ensino médio.

1. Escreva a matriz 3×3.

2. Repita as duas primeiras colunas à direita dela.

3. Some os três produtos das diagonais que descem da esquerda para a direita.

4. Subtraia os três produtos das diagonais que sobem.

Funciona, e é boa para conferir. Mas tem um defeito sério para a prova: só serve para números. Como o produto vetorial tem os símbolos i, j, k na primeira linha, Sarrus fica confuso ali. Para o produto vetorial, use cofatores.

E.4 Determinante 3×3 por cofatores, a que a prova usa

Também chamada de expansão de Laplace. É a que o professor usa nas anotações e no arquivo "Determinante, a construção do conceito" que está na sua pasta.

A regra, para expandir pela primeira linha da matriz

| a_1 a_2 a_3 ; b_1 b_2 b_3 ; c_1 c_2 c_3 |

é: para cada elemento da primeira linha, tape mentalmente a linha e a coluna dele, calcule o determinante 2×2 que sobrou, e multiplique. Depois some, alternando os sinais + − +:

a_1 · | b_2 b_3 ; c_2 c_3 | − a_2 · | b_1 b_3 ; c_1 c_3 | + a_3 · | b_1 b_2 ; c_1 c_2 |

O SINAL DO MEIO, O ERRO MAIS CARO DA PROVA INTEIRA

O termo do meio entra subtraindo. Não é "esquecível": esquecer o menos troca o sinal da componente j do produto vetorial, e a partir daí toda a questão desanda, o vetor aponta para o lado errado, a norma até pode ficar igual por acaso, mas o produto misto sai com sinal trocado e o volume dá negativo.

Escreva + − + no canto do quadro antes de começar a conta. Custa três segundos e salva a questão.

Exemplo trabalhado, linha por linha

Vamos calcular o determinante que aparece no item (e) da questão 4:

| i j k ; 3 4 0 ; −4 −8 −8 |

Primeiro termo (i). Tape a linha do i e a coluna do i. Sobra | 4 0 ; −8 −8 |, que vale 4·(−8) − 0·(−8) = −32. Então o termo é −32 i.

Segundo termo (j), com o menos na frente. Tape a linha e a coluna do j. Sobra | 3 0 ; −4 −8 |, que vale 3·(−8) − 0·(−4) = −24. Com o sinal de menos da regra: −(−24) = +24 j.

Terceiro termo (k). Tape a linha e a coluna do k. Sobra | 3 4 ; −4 −8 |, que vale 3·(−8) − 4·(−4) = −24 + 16 = −8. Então −8 k.

Resultado: (−32, 24, −8).

E.5 As propriedades que economizam tempo

Estas quatro poupam contas inteiras. Vale reconhecê-las de relance:

1. Linha (ou coluna) só de zeros → determinante zero. Não precisa calcular nada.

2. Duas linhas iguais → determinante zero.

3. Duas linhas proporcionais → determinante zero. (Uma é múltipla da outra.)

4. Trocar duas linhas de lugar troca o sinal do determinante.

ONDE ISSO APARECE NA PROVA

Na questão 4, item (e), você calcula o produto misto ⟨u, v ∧ w⟩ e ele dá zero. A propriedade 3 explica por quê: como u + v + w = 0, os três vetores são dependentes, e o determinante de vetores dependentes é sempre nulo.

Saber isso permite prever o resultado antes de calcular, e responder o item (f), que pergunta o significado geométrico, com segurança.

E.6 O que o determinante significa geometricamente

Este é o conteúdo do PDF "Determinante, a construção do conceito", que o professor postou como material de aprofundamento. É também o fio que amarra a P1 inteira.

Determinante · O que ele mede

2×2, de dois vetores do plano · a área do paralelogramo que eles formam (com sinal)

3×3, de três vetores do espaço · o volume do paralelepípedo que eles formam (com sinal)

deu zero · a figura achatou: os vetores estão na mesma reta (2×2) ou no mesmo plano (3×3)

GUARDE ESTA FRASE PARA A PROVA

O determinante mede o quanto os vetores "abrem" espaço. Se abrem, ele é diferente de zero e vale a área ou o volume. Se não abrem, se são paralelos, ou coplanares, ele é zero.

Essa é a frase que responde, sozinha, o item (f) da questão 4 e o item (i) da questão 1. Decore-a.

PARTE F: TREINO DO MÓDULO 0

Faça no papel, sem calculadora, cronometrando. Se algum destes travar, volte à seção indicada antes de abrir o Módulo 1.

F.1 Radicais (seção B.2)

Simplifique: (a) √48 (b) √72 (c) √3600 (d) √(4²+4²+4²) (e) √(6²+0²+0²)

Respostas: (a) 4√3 (b) 6√2 (c) 60 (d) 4√3 (e) 6

F.2 Pitágoras e a caixa (seção C.2)

(a) Qual a diagonal de uma caixa 3 × 4 × 12?

(b) Qual a diagonal de uma caixa 4 × 3 × 0? (sim, "achatada")

Respostas: (a) √(9+16+144) = √169 = 13 (b) √25 = 5

F.3 Área e altura (seções C.4 a C.6)

Um triângulo tem lados 5, 5 e 6.

(a) Calcule o semiperímetro. (b) Calcule a área por Heron. (c) Calcule as três alturas.

Respostas: (a) 8 (b) 12 (c) 4 ; 4,8 ; 4,8

F.4 Trigonometria (seções D.3 e D.4)

(a) Se cos θ = 3/5, quanto vale sen θ?

(b) Se cos θ = 0, quanto vale θ?

(c) Se cos θ = √2/2, quanto vale θ?

Respostas: (a) 4/5 (b) 90° (c) 45°

F.5 Determinantes (seções E.2 e E.4)

(a) | 1 0 ; 0 1 |

(b) | 4 3 ; 4 3 |

(c) | i j k ; −1 1 0 ; −1 0 1 |

(d) | 3 2 7 ; −1 1 0 ; −1 0 1 |

Respostas: (a) 1 (b) 0 (c) (1, 1, 1) (d) 12

OS ITENS (C) E (D) DO F.5 NÃO SÃO EXERCÍCIO QUALQUER

São, respectivamente, o produto vetorial e o produto misto da questão 1 da prova, escritos como determinante puro, sem nenhuma linguagem de vetores.

Se você conseguiu fazer os dois agora, sem saber ainda o que é produto vetorial, então o Módulo 3 vai ser sobre nomear o que você já sabe calcular, e não sobre aprender a calcular.

PARTE G: ONDE LER MAIS, NOS LIVROS QUE JÁ ESTÃO NA SUA PASTA

Você tem, no OneDrive, mais material do que precisa. O problema é saber onde abrir. Este mapa resolve.

Na pasta Engenharia Civil / Geometria analítica

Arquivo · Para que serve neste módulo

Determinante, a construção do conceito (7 pág.) · O material do professor. Página 1: conceito e Sarrus. Páginas seguintes: cofatores e o significado geométrico do determinante 2×2, 3×3 e n×n. É a leitura obrigatória da Parte E.

Geometria Analítica (Vetores), Steinbruch e Winterle (99 pág.) · A bibliografia básica indicada pelo professor para a P1. É um recorte dos capítulos 1, 2 e 3 do livro.

Lista de Exercícios para a P1 (11 pág.) · Recorte dos "Problemas Propostos" do mesmo livro, com gabarito no fim.

Anotações da Aula de Revisão (7 pág.) · O professor resolvendo à mão vários exercícios da lista, colorido.

Na pasta Engenharia Civil / CÁLCULO 1, a coleção Fundamentos de Matemática Elementar

Esses volumes são de ensino médio, e é justamente por isso que servem: eles explicam devagar o que a Geometria Analítica usa correndo. As páginas são as do PDF, não as do livro impresso.

Volume · Assunto · Onde abrir

FME 4, Sequências, matrizes, determinantes · Regra de Sarrus · páginas 92 a 94

FME 4 · Cofator e Teorema de Laplace · páginas 96 a 104

FME 3, Trigonometria · Relação fundamental sen²+cos²=1 · página 24

FME 3 · Lei dos cossenos · páginas 236 a 238

FME 3 · Lei dos senos · páginas 239 a 244

FME 9, Geometria plana · Teorema de Pitágoras · páginas 228 a 234

FME 9 · Área de um triângulo e semiperímetro · páginas 324 a 335

FME 10, Geometria espacial · Paralelepípedo · páginas 149 a 153

FME 10 · Volume do prisma · páginas 170 a 174

FME 7, Geometria analítica · Distância entre dois pontos · páginas 14 e 19

FME 7 · Área de triângulo por coordenadas · página 109

E A VIDEOAULA

No Classroom, o material "Aula de Exercícios para a P1" traz, além do PDF de anotações, um link para uma videoaula de 1h59 em que o professor resolve vários exercícios da lista:

youtube.com/watch?v=_Bd7bXzD3hw

É o único material da disciplina que não está baixado na sua pasta, porque é link e não arquivo. Vale assistir em velocidade 1,5× com a lista impressa ao lado, são os mesmos exercícios, resolvidos pela mesma pessoa que vai corrigir a sua prova.

PRÓXIMO PASSO

Feche este módulo quando os cinco blocos do treino da Parte F saírem sem consulta. Depois abra o Módulo 1, Vetores, coordenadas e norma.

O plano cartesiano. O ponto P(3, 1) anda 3 no eixo x e 1 no eixo y, nessa ordem, sempre.

No círculo de raio 1, o cosseno é o cateto horizontal e o seno é o vertical. Os sinais mudam de quadrante em quadrante.