Geometria analítica, módulo 1: vetores, coordenadas e norma

GUIA DA P1: GEOMETRIA ANALÍTICA

Módulo 1

Vetores, coordenadas e norma

O que é um vetor, como se calcula com ele e quanto ele mede

Guia da P1 · Autor: Ulysses Cesar · Curso de Engenharia Civil

O QUE ESTE MÓDULO ENTREGA

Ao final dele você sabe fazer, sem pensar, as três operações que abrem todas as quatro questões da P1:

1. Transformar dois pontos em um vetor: AB = B − A.

2. Somar, subtrair e multiplicar vetores por número.

3. Calcular quanto um vetor mede: |v| = √(x² + y² + z²).

Parece pouco. Mas o item (a) das quatro questões é exatamente isso, e vale entre 0,4 e 1,5 ponto em cada uma. Errar aqui contamina a questão inteira, porque todos os outros itens partem desses vetores.

SUMÁRIO

PARTE A: O que é um vetor

A.1 O problema que o vetor resolve

A.2 Segmento orientado: direção, sentido e comprimento

A.3 Segmentos equipolentes: o mesmo vetor em muitos lugares

A.4 A definição de vetor

A.5 As notações que você vai encontrar

A.6 O representante que começa na origem

PARTE B: A regra de ouro

B.1 AB = B − A

B.2 Por que é "ponta menos origem", e não o contrário

B.3 O erro de sinal e como ele destrói uma questão

B.4 Treino imediato

PARTE C: As operações

C.1 Soma de vetores

C.2 Subtração

C.3 Multiplicação por escalar

C.4 Vetor nulo e vetor oposto

C.5 A base canônica i, j, k

C.6 Igualdade de vetores vira sistema de equações

PARTE D: Paralelismo e colinearidade

D.1 Vetores paralelos

D.2 O teste das coordenadas proporcionais

D.3 Pontos colineares

D.4 Dependência e independência linear

PARTE E: Norma

E.1 A fórmula e de onde ela vem

E.2 Norma no plano e no espaço

E.3 Distância entre dois pontos

E.4 As três propriedades da norma

E.5 Vetor unitário e versor

E.6 Vetor de módulo dado numa direção dada

PARTE F: Erros que custam ponto

PARTE G: Treino com a Lista do professor

PARTE H: Onde ler mais

COMO LER OS SÍMBOLOS DESTE MÓDULO

Nenhum símbolo aqui é decoração: cada um substitui uma frase inteira. Se travar na leitura de uma equação, volte a esta tabela.

Símbolo · Lê-se · O que é

ℝ · erre, conjunto dos reais · todos os números da reta: inteiros, frações e irracionais.

√ · raiz quadrada · pergunta qual número, multiplicado por ele mesmo, dá o que está sob o traço.

· · vezes · multiplicação. Usa-se o ponto para não confundir com a letra x.

± · mais ou menos · as duas contas valem: uma com +, outra com −.

∓ · menos ou mais · o contrário do ±, quando os sinais se alternam juntos.

≤ · menor ou igual a · inclui o próprio valor.

≥ · maior ou igual a · inclui o próprio valor.

≠ · diferente de · não é igual.

⟺ · se e somente se · os dois lados valem juntos: um garante o outro, nos dois sentidos.

⟨ · produto escalar (interno), escreve-se ⟨u, v⟩ · ⟨u, v⟩ multiplica coordenada por coordenada e soma. Devolve um NÚMERO. Dá zero exatamente quando os vetores são perpendiculares.

∧ · produto vetorial (externo), escreve-se u ∧ v · u ∧ v devolve um VETOR perpendicular aos dois. O comprimento dele é a área do paralelogramo.

| · módulo, ou norma, escreve-se |v| · |v| é o comprimento do vetor v; |x| é a distância de x até zero. Nunca é negativo.

∥ · paralelo a · têm a mesma direção.

² (expoente 2) · ao quadrado · o número multiplicado por ele mesmo. x² é x·x.

i, j, k · i, j, k · os três vetores de comprimento 1 que apontam ao longo dos eixos x, y e z.

PARTE A: O QUE É UM VETOR

A.1 O problema que o vetor resolve

Existem grandezas que um número resolve: massa (80 kg), temperatura (23 °C), tempo (5 s). Chamam-se grandezas escalares, basta a intensidade.

E existem grandezas que um número não resolve. Se eu digo que uma força de 500 N age sobre um pilar, você ainda não sabe nada de útil: para baixo, ela comprime; na horizontal, ela derruba. Faltam duas informações: para onde e em que sentido.

Com números: três forças de mesma intensidade, 500 N, fazem coisas diferentes no pilar. Vertical, de cima para baixo, ela comprime o pilar. Horizontal, ela o empurra de lado e tende a tombá-lo. Inclinada, ela pode ser as duas coisas ao mesmo tempo: 300 N na horizontal e 400 N na vertical, porque 300² + 400² = 90 000 + 160 000 = 250 000 = 500². O número 500 é o mesmo nos três casos e o efeito é diferente em cada um. Por isso o número sozinho não basta.

Grandezas assim, força, velocidade, aceleração, deslocamento, momento, são grandezas vetoriais. Precisam de três coisas ao mesmo tempo:

1. Módulo (ou intensidade): quanto vale.

2. Direção: a reta ao longo da qual atua.

3. Sentido: para que lado, dentro daquela direção.

O vetor é o objeto matemático que carrega essas três informações juntas.

DIREÇÃO E SENTIDO NÃO SÃO A MESMA COISA

Na linguagem comum a gente confunde. Em matemática, não.

Direção é a reta, ou melhor, a inclinação da reta. Norte-sul é uma direção. Leste-oeste é outra.

Sentido é o lado, dentro da direção. Norte e sul são dois sentidos da mesma direção.

Dois vetores opostos, como v e −v, têm a mesma direção e sentidos contrários. Se você trocar essas palavras na prova, o professor risca.

A.2 Segmento orientado: direção, sentido e comprimento

Pegue dois pontos, A e B. O segmento AB, com uma seta indicando que se vai de A para B, é um segmento orientado. A é a origem, B é a extremidade.

Ele já tem as três informações:

direção: a da reta que passa por A e B;

sentido: de A para B (o contrário seria o segmento BA);

comprimento: a distância entre A e B.

A.3 Segmentos equipolentes: o mesmo vetor em muitos lugares

Aqui está a ideia que faz o vetor funcionar, e vale a pena parar nela.

Considere dois segmentos orientados diferentes, em lugares diferentes do plano, mas que tenham a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento. Eles se dizem equipolentes.

Do ponto de vista da física, eles representam a mesma coisa: "ande 3 para a direita e 1 para cima" é a mesma instrução, independentemente de onde você comece.

O livro do Steinbruch e Winterle, na página 24 do PDF que está na sua pasta, dá o exemplo exato:

Segmento · De · Para · Vetor

AB · A(−2, 3) · B(1, 4) · (3, 1)

CD · C(1, 2) · D(4, 3) · (3, 1)

OP · O(0, 0) · P(3, 1) · (3, 1)

Três segmentos, em lugares diferentes, com a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento. São representantes do mesmo vetor (3, 1).

Três segmentos em posições diferentes da folha. Um único vetor.

A.4 A definição de vetor

Juntando tudo:

DEFINIÇÃO

Um vetor é o conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes entre si.

Em linguagem de dia a dia: um vetor é uma instrução de deslocamento, "ande tanto em x, tanto em y, tanto em z", sem compromisso com o ponto de partida.

Cada segmento orientado desse conjunto é um representante do vetor.

É por isso que o mesmo vetor pode ser desenhado em qualquer lugar do plano sem deixar de ser ele mesmo. E é por isso que, na prova, você vai poder falar de "o vetor AB" sem se preocupar com onde A está.

A.5 As notações que você vai encontrar

Notação · Onde aparece · Observação

v⃗ ou v · livros, quadro · letra minúscula com seta

AB com seta · prova e livro · vetor que vai do ponto A ao ponto B

(x, y, z) · contas · as coordenadas do vetor

xi + yj + zk · livro, física · a mesma coisa, na base canônica

As duas últimas linhas são a mesma coisa escrita de dois jeitos. O vetor (2, −1, 3) e o vetor 2i − j + 3k são idênticos. O livro alterna entre as duas notações sem avisar; a prova usa a primeira.

A.6 O representante que começa na origem

Entre os infinitos representantes de um vetor, um é especial: o que tem origem no ponto O(0, 0, 0).

Esse é o representante cuja extremidade tem exatamente as coordenadas do vetor. É por isso que se pode escrever v = (3, 1) sem ambiguidade: subentende-se o representante que sai da origem.

PARTE B: A REGRA DE OURO

B.1 AB = B − A

Esta é a fórmula mais usada da prova inteira. Ela aparece no item (a) das quatro questões.

AB = B − A

Em coordenadas, no espaço:

AB =(x(B)− x(A), y(B)− y(A), z(B)− z(A))

Em palavras: as coordenadas do vetor são as coordenadas da ponta menos as coordenadas da origem.

Exemplo trabalhado, o da questão 1 da prova

Dados A = (1, 0, 0) e B = (0, 1, 0):

AB = B − A =(0 − 1, 1 − 0, 0 − 0)=(−1, 1, 0)

E, com C = (0, 0, 1):

AC = C − A =(0 − 1, 0 − 0, 1 − 0)=(−1, 0, 1)

E, com D = (4, 2, 7):

AD = D − A =(4 − 1, 2 − 0, 7 − 0)=(3, 2, 7)

Pronto: o item (a) e o item (d) da questão 1 já estão resolvidos, e você ainda não viu produto nenhum.

B.2 Por que é "ponta menos origem", e não o contrário

Vale entender, porque entender evita o erro.

Olhe o triângulo formado pela origem O, pelo ponto A e pelo ponto B. Existe um caminho direto de O até B, e existe o caminho O → A → B. Como vetores, os dois caminhos são iguais:

OA + AB = OB

Isolando o que interessa:

AB = OB − OA

E como OA é o vetor que vai da origem até A, suas coordenadas são as próprias coordenadas de A. O mesmo para OB e B. Logo:

AB = B − A

De onde vem AB = B − A: o caminho O → A → B é o mesmo que o caminho direto O → B.

Essa dedução está na página 24 do PDF do Steinbruch e Winterle, com a figura. Se o professor pedir a justificativa, é essa.

UM AVISO SOBRE OS NÚMEROS DE PÁGINA

Aqui, e na Parte H no fim do módulo, toda página citada é a do arquivo PDF, a que aparece no leitor, e não a que está impressa no rodapé da folha do livro.

As duas diferem em uma unidade: página do PDF = página do livro + 1, porque o recorte começa com uma folha a mais. Se você abrir o PDF na página indicada e encontrar outro assunto, é essa a razão; ande uma para trás.

B.3 O erro de sinal e como ele destrói uma questão

Trocar B − A por A − B dá o vetor oposto: mesma direção, mesmo comprimento, sentido invertido.

Às vezes isso não muda a resposta final, normas e áreas não mudam de valor, porque envolvem módulo. Mas em três lugares muda, e muda feio:

1. No produto vetorial: o resultado inteiro troca de sinal e o vetor aponta para o lado errado.

2. No produto misto: o volume sai negativo.

3. Na projeção: a sombra aponta para o lado errado.

O HÁBITO QUE ELIMINA ESSE ERRO

Antes de subtrair, escreva os dois pontos na ordem em que aparecem no nome do vetor e ponha o sinal de menos entre eles:

AB = B − A

BC = C − B

AD = D − A

A letra que está depois no nome é a que vem primeiro na conta. Sempre.

B.4 Treino imediato

Com A = (0, 0, 0), B = (4, 3, 0) e C = (4, 3, 12), os pontos da questão 2 da prova:

Vetor · Conta · Resultado

AB · B − A = (4−0, 3−0, 0−0) · (4, 3, 0)

AC · C − A = (4−0, 3−0, 12−0) · (4, 3, 12)

BC · C − B = (4−4, 3−3, 12−0) · (0, 0, 12)

Repare no BC: dá (0, 0, 12), um vetor que só tem componente vertical. Ou seja, C está exatamente em cima de B, 12 unidades acima. Esse detalhe geométrico é o que faz a questão 2 inteira funcionar, e você já pode enxergá-lo aqui.

PARTE C: AS OPERAÇÕES

C.1 Soma de vetores

Soma-se coordenada com coordenada:

u + v =(x_1 + x_2 , y_1 + y_2 , z_1 + z_2)

Geometricamente, há duas maneiras equivalentes de enxergar:

Regra do polígono: coloque o segundo vetor começando onde o primeiro terminou. A soma é o vetor que vai do começo do primeiro ao fim do segundo. É a interpretação de "deslocamento": ande isto, depois ande aquilo.

Regra do paralelogramo: coloque os dois saindo do mesmo ponto e feche o paralelogramo. A soma é a diagonal.

As duas maneiras de somar, que dão o mesmo resultado: encadeando (polígono) ou fechando o paralelogramo.

Exemplo, o item (a) da questão 4

u = (1, 4, 8), v = (3, 4, 0), w = (−4, −8, −8).

u + v + w =(1+3−4 , 4+4−8 , 8+0−8)=(0, 0, 0)

Deu o vetor nulo. Isso não é acaso: significa que os três vetores, encadeados, voltam ao ponto de partida, eles fecham um triângulo. Toda a questão 4 é uma exploração dessa condição.

C.2 Subtração

Subtrair é somar o oposto:

u − v = u +(−v)=(x_1 − x_2 , y_1 − y_2 , z_1 − z_2)

Geometricamente, u − v é o vetor que vai da ponta de v até a ponta de u, quando os dois saem do mesmo ponto. (É a outra diagonal do paralelogramo.)

C.3 Multiplicação por escalar

Multiplicar um vetor por um número real k multiplica todas as coordenadas:

k · v =(k·x , k·y , k·z)

O efeito geométrico:

Valor de k · O que acontece com o vetor

k > 1 · estica, mantém o sentido

0 < k < 1 · encolhe, mantém o sentido

k = 1 · não muda nada

k = 0 · vira o vetor nulo

k < 0 · inverte o sentido e escala pelo módulo de k

Multiplicar por número estica, encolhe ou inverte, mas nunca sai da mesma reta.

O ponto essencial: multiplicar por escalar nunca muda a direção (a reta continua a mesma). Só muda o tamanho e, se k for negativo, o sentido. Guarde isso, é a base do teste de paralelismo da Parte D.

C.4 Vetor nulo e vetor oposto

Vetor nulo, escrito 0⃗ = (0, 0, 0): comprimento zero, direção indefinida. É o elemento neutro da soma.

Vetor oposto de v é −v = (−x, −y, −z). Vale sempre v + (−v) = 0⃗.

C.5 A base canônica i, j, k

Três vetores especiais, cada um de comprimento 1, apontando ao longo de um eixo:

i =(1, 0, 0)j =(0, 1, 0)k =(0, 0, 1)

Qualquer vetor do espaço se escreve como combinação deles:

(x, y, z)= x·i + y·j + z·k

Exemplos de tradução, nos dois sentidos

Em coordenadas · Na base canônica

(2, −1, 3) · 2i − j + 3k

(0, 0, 12) · 12k

(−32, 24, −8) · −32i + 24j − 8k

(1, 1, 1) · i + j + k

POR QUE ISSO IMPORTA NA PROVA

Porque a Lista de Exercícios e o livro alternam as duas notações sem aviso. O exercício 7 da lista, por exemplo, começa com "Seja o vetor v = (m + 7)i + (m + 2)j + 5k". Se você não traduzir isso instantaneamente para (m+7, m+2, 5), perde tempo.

E porque a fórmula do produto vetorial exige os três símbolos i, j, k na primeira linha do determinante.

C.6 Igualdade de vetores vira sistema de equações

Dois vetores são iguais quando todas as coordenadas são iguais, uma a uma. Isso transforma uma igualdade vetorial em um sistema de equações, e é assim que se acham pontos desconhecidos.

Exemplo trabalhado, exercício 7 da Lista (o que o professor resolve à mão nas anotações)

Dados A(2, −3, 1) e B(4, 5, −2), determinar o ponto P tal que AP = PB.

Chame P = (x, y, z). Então:

AP = P − A = (x − 2, y + 3, z − 1)

PB = B − P = (4 − x, −5 − y, −2 − z)

Igualando coordenada a coordenada:

Equação · Resolvendo · Resultado

x − 2 = 4 − x · 2x = 6 · x = 3

y + 3 = −5 − y · 2y = −8 · y = −4

z − 1 = −2 − z · 2z = −1 · z = −1/2

Logo P = (3, −4, −1/2), que confere com o gabarito do livro.

E repare no que P é: o ponto médio de A e B. Faz sentido, se o deslocamento de A até P é igual ao de P até B, P está no meio.

PARTE D: PARALELISMO E COLINEARIDADE

D.1 Vetores paralelos

Dois vetores são paralelos (ou colineares) quando têm a mesma direção, isto é, quando um é múltiplo do outro:

u ∥ v ⟺ u = k · v, para algum número real k

D.2 O teste das coordenadas proporcionais

Se u = k·v, então cada coordenada de u é k vezes a de v. Dividindo:

u_1/v_1 = u_2/v_2 = u_3/v_3 = k

Ou seja: os vetores são paralelos quando as coordenadas são proporcionais.

Exemplo trabalhado, exercício 11 da Lista (resolvido nas anotações do professor)

Determinar a e b de modo que u = (4, 1, −3) e v = (6, a, b) sejam paralelos.

Monta-se a cadeia de razões:

4/6 = 1/a = −3/b

Primeira igualdade: 4/6 = 1/a → 4a = 6 → a = 3/2

Segunda igualdade: 4/6 = −3/b → 4b = −18 → b = −9/2

O CUIDADO COM O ZERO

Se alguma coordenada de v for zero, a divisão não existe. Nesse caso use a forma multiplicada, que nunca falha: teste se u₁·v₂ = u₂·v₁, e assim por diante para os outros pares. É a mesma proporção, sem divisão.

Foi exatamente assim que o professor conferiu o exercício 12 nas anotações: escreveu 3·(−8) = 6·(−4), viu −24 = −24, e concluiu.

D.3 Pontos colineares

Três pontos A, B e C são colineares quando estão na mesma reta. O teste em vetores:

A, B, C colineares ⟺ AB ∥ AC

Basta montar os dois vetores e testar a proporcionalidade das coordenadas.

Serve qualquer par de vetores formado pelos três pontos: AB ∥ AC, ou AB ∥ BC, ou AC ∥ BC. Os três testes dizem a mesma coisa, se os pontos caem na mesma reta, quaisquer dois desses vetores são paralelos. Use o par que der as contas mais fáceis.

Exemplo, exercício 12(a) da Lista

Verificar se A(−1, −5, 0), B(2, 1, 3) e C(−2, −7, −1) são colineares.

Aqui vou usar o par AB e BC, que dá os números menores:

AB = B − A = (3, 6, 3)

BC = C − B = (−4, −8, −4)

Testando: 3/(−4) = 6/(−8) = 3/(−4)? Multiplicando cruzado: 3·(−8) = −24 e 6·(−4) = −24. Iguais. Logo os vetores são paralelos e os três pontos são colineares.

Conferindo pelo outro par, para você ver que dá no mesmo: AC = C − A = (−1, −2, −1). E AB = (3, 6, 3) = −3 · (−1, −2, −1) = −3 · AC. Paralelos também. (confere)

D.4 Dependência e independência linear

O Plano de Ensino lista "conceito de independência linear" no conteúdo da primeira etapa. Em termos práticos, para a P1:

Situação · Nome · Como se detecta

dois vetores na mesma reta · linearmente dependentes · coordenadas proporcionais; produto vetorial = 0

dois vetores em direções distintas · linearmente independentes · produto vetorial ≠ 0

três vetores no mesmo plano · linearmente dependentes · produto misto = 0

três vetores que "abrem" o espaço · linearmente independentes · produto misto ≠ 0

As duas últimas linhas são a resposta pronta do item (f) da questão 4. Volte a esta tabela quando chegar ao Módulo 3.

PARTE E: NORMA

E.1 A fórmula e de onde ela vem

A norma (ou módulo) de um vetor é o seu comprimento. Escreve-se entre barras simples:

|v| = √(x^2 + y^2 + z^2)

Você já deduziu essa fórmula no Módulo 0, seção C.2: é o Teorema de Pitágoras aplicado duas vezes dentro de uma caixa. O vetor é a diagonal da caixa cujas arestas são x, y e z.

Há também uma forma elegante, que o livro apresenta na seção 3.2 e que reaparece no Módulo 2:

|v| = √⟨v, v⟩

E.2 Norma no plano e no espaço

Espaço · Fórmula · Exemplo

Plano (ℝ²) · |v| = √(x² + y²) · |(3, 4)| = √25 = 5

Espaço (ℝ³) · |v| = √(x² + y² + z²) · |(4, 3, 12)| = √169 = 13

As normas das quatro questões da prova, calculadas

Vale ter estas prontas, são as que você vai reproduzir no quadro:

Questão · Vetor · Conta · Norma

1 · v ∧ w = (1, 1, 1) · √(1+1+1) · √3

1 · (4, 4, 4) · √(16+16+16) = √48 · 4√3

2 · AB = (4, 3, 0) · √(16+9+0) = √25 · 5

2 · BC = (0, 0, 12) · √144 · 12

2 · AC = (4, 3, 12) · √(16+9+144) = √169 · 13

3 · AB = (6, 0, 0) · √36 · 6

3 · AC = (3, 4, 0) · √25 · 5

3 · BC = (−3, 4, 0) · √25 · 5

4 · u = (1, 4, 8) · √(1+16+64) = √81 · 9

4 · v = (3, 4, 0) · √25 · 5

4 · w = (−4, −8, −8) · √(16+64+64) = √144 · 12

Todas dão número inteiro ou radical simples. Não é sorte: o professor escolheu os pontos para isso. Se a sua norma sair feia, você errou uma conta, é o melhor detector de erro que a prova oferece.

E.3 Distância entre dois pontos

A distância entre A e B é o comprimento do vetor AB:

d(A, B)= |AB| = √[(x(B)−x(A))^2 +(y(B)−y(A))^2 +(z(B)−z(A))^2]

É a mesma fórmula da norma, com a subtração feita antes. Nada de novo.

E.4 As três propriedades da norma

1. |v| ≥ 0 sempre, e |v| = 0 só quando v é o vetor nulo. (Comprimento não é negativo.)

2. |k·v| = |k| · |v|. Dobrar o vetor dobra o comprimento; multiplicar por −3 triplica o comprimento e inverte o sentido.

3. |u + v| ≤ |u| + |v|, a desigualdade triangular. O caminho direto nunca é mais longo que o caminho com escala.

A CONSEQUÊNCIA PRÁTICA DA PROPRIEDADE 3

A norma da soma não é a soma das normas. Se você precisar de |u + v|, tem que somar os vetores primeiro e só então tirar a raiz. Não dá para somar as normas.

É a mesma armadilha do √(a+b) ≠ √a + √b, do Módulo 0.

E.5 Vetor unitário e versor

Um vetor é unitário quando sua norma vale exatamente 1.

Dado um vetor v qualquer, não nulo, o versor de v é o vetor unitário que aponta na mesma direção e sentido. Obtém-se dividindo o vetor pela própria norma:

versor de v = v/|v|

Exemplo trabalhado

Seja v = (1, 1, 1). Sua norma é √3. Então:

versor =(1/√3 , 1/√3 , 1/√3)=(√3/3 , √3/3 , √3/3)

(Racionalizado, como manda a seção B.3 do Módulo 0.)

Conferindo: √(1/3 + 1/3 + 1/3) = √1 = 1. (confere)

E.6 Vetor de módulo dado numa direção dada

Pergunta clássica da lista: "determine um vetor de módulo 5 paralelo a v".

O procedimento é sempre o mesmo, em dois passos:

1. Ache o versor de v (que tem módulo 1).

2. Multiplique o versor pelo módulo desejado.

Exemplo, exercício 30 da Lista

Determinar um vetor de módulo 5 paralelo ao vetor v = (1, −1, 2).

1. |v| = √(1 + 1 + 4) = √6

2. versor = (1/√6, −1/√6, 2/√6)

3. Multiplicando por 5: (5/√6, −5/√6, 10/√6)

E há uma segunda resposta, com todos os sinais trocados, porque "paralelo" admite os dois sentidos. O gabarito do livro traz exatamente isso: (± 5/√6, ∓ 5/√6, ± 10/√6).

RACIONALIZE ANTES DE ENTREGAR

O gabarito do livro para nessa forma, mas ela ainda tem raiz no denominador, e a seção B.3 do Módulo 0 diz que isso não se deixa. Multiplique cada coordenada por :

5/√6 = 5√6/6 10/√6 = = 5√6/3

Resposta racionalizada: ± ( 5√6/6 , −5√6/6 , 5√6/3 )

As duas formas estão corretas e o professor aceita as duas. Mas a Parte F deste módulo lista "deixar raiz no denominador" como erro que custa ponto, não se contradiga na própria folha. Racionalizar custa três linhas.

PARTE F: ERROS QUE CUSTAM PONTO

Erro · Como evitar

Escrever AB = A − B · A letra que vem depois no nome entra primeiro na conta

Somar as normas em vez de somar os vetores · Some os vetores primeiro; a raiz vem depois

Esquecer de simplificar o radical · Toda raiz da prova simplifica. Se ficou feia, procure o quadrado perfeito

Confundir direção com sentido · Direção é a reta; sentido é o lado

Dizer "vetor (2,1,3)" quando o enunciado pede ponto · Pontos são A, B, C, D; vetores são u, v, w

Deixar raiz no denominador · Racionalize: 1/√3 = √3/3

Dividir por coordenada nula ao testar paralelismo · Use a forma multiplicada: u₁·v₂ = u₂·v₁

PARTE G: TREINO COM A LISTA DO PROFESSOR

Da Lista de Exercícios para a P1, faça agora estes, todos com gabarito no próprio arquivo, e vários resolvidos à mão nas Anotações da Aula de Revisão.

Bloco 1, vetor a partir de pontos (Capítulo 2, páginas 37 e 38 do livro)

Exercícios 1, 3, 6, 7, 8, 9, todos são B − A aplicado uma ou duas vezes.

Bloco 2, operações e igualdade vira sistema

Exercícios 2, 5, 10, montar sistema a partir de igualdade vetorial.

Bloco 3, paralelismo e colinearidade

Exercícios 11, 12, 13, 14, 15. O 14 pede provar que quatro pontos formam um paralelogramo: basta mostrar que AB = DC.

Bloco 4, norma, versor e módulo dado (Capítulo 3, páginas 90 e 91)

Exercícios 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 29, 30, 34.

O 10 pede o perímetro de um triângulo dado por três vértices: são três normas somadas.

COMO CONFERIR SEM O GABARITO

Depois de calcular um vetor AB, some-o de volta ao ponto A. Tem que dar B.

A + AB = B

Se não der, você errou o sinal. Leva cinco segundos e pega o erro mais comum da disciplina.

PARTE H: ONDE LER MAIS

Assunto · Steinbruch e Winterle (páginas do PDF na sua pasta)

Segmento orientado, direção, sentido, equipolência · 2 a 20 (capítulo 1)

Vetor no plano e no espaço; AB = B − A · 24 (é a página da dedução, com figura)

Decomposição, base canônica i, j, k · 25 a 33

Paralelismo e colinearidade · 34 a 37

Problemas propostos do capítulo 2 (1 a 15) · 38, com gabarito na 39

Módulo de um vetor (seção 3.2) · 41

Vetor unitário e versor · 42 a 45

Problemas propostos do capítulo 3 (1 a 75) · 91 em diante, gabarito nas 97 a 99

PRÓXIMO PASSO

Quando os quatro blocos da Parte G saírem sem consulta, abra o Módulo 2, Produto escalar. É lá que os vetores começam a conversar entre si.

A norma de um vetor é a diagonal da caixa cujas arestas são x, y e z. Nada além de Pitágoras, duas vezes.