Cálculo 1: resoluções da lista, volume 1

LISTA DE EXERCÍCIOS DA P1, CÁLCULO DIFERENCIAL 1

Caderno de resoluções · Volume 1

Conjuntos, inequações, domínios e funções

Problemas 1 a 13, resolvidos passo a passo

Guia da P1 · Autor: Ulysses Cesar · Curso de Engenharia Civil

O QUE É ESTE CADERNO

A Lista de Exercícios para a P1 de Cálculo 1 tem 25 problemas e nenhum gabarito. Este caderno resolve todos, com o método e os passos, não só a resposta.

Volume 1 (este): problemas 1 a 13, conjuntos, intervalos, inequações, domínios, funções definidas por partes, paridade e composição.

Volume 2: problemas 14 a 25, trigonometria, funções inversas, identidades, exponencial e logaritmo.

As resoluções foram conferidas com álgebra simbólica, item por item.

COMO ISTO SE ENCAIXA NO QUE VOCÊ JÁ TEM

Você já tem, na mesma pasta, a série Guia da P1, Cálculo 1, com cinco módulos, um para cada problema da prova, e cada questão da P1 resolvida item por item.

Este caderno é o complemento: é o treino. O Guia explica a teoria e resolve a prova; a Lista dá o volume de repetição que faz a mão ficar rápida.

Correspondência entre os dois:

Problemas 1 a 5 desta lista → Guia, Módulo 1 (conjuntos, sinais, intervalos) e Módulo 2 (domínios).

Problemas 6 a 13 → Módulo 2 (composição) e Módulo 4 (paridade e gráficos).

Problemas 14 a 17 → Módulo 5 (trigonometria e inversas).

Problemas 18 a 25 → Módulos 3 e 4 (logaritmo e exponencial).

COMO LER OS SÍMBOLOS DESTE MÓDULO

Nenhum símbolo aqui é decoração: cada um substitui uma frase inteira. Se travar na leitura de uma equação, volte a esta tabela.

Símbolo · Lê-se · O que é

∞ · infinito · não é número: indica que o intervalo não tem fim daquele lado.

ℝ · erre, conjunto dos reais · todos os números da reta: inteiros, frações e irracionais.

√ · raiz quadrada · pergunta qual número, multiplicado por ele mesmo, dá o que está sob o traço.

· · vezes · multiplicação. Usa-se o ponto para não confundir com a letra x.

± · mais ou menos · as duas contas valem: uma com +, outra com −.

≤ · menor ou igual a · inclui o próprio valor.

≥ · maior ou igual a · inclui o próprio valor.

≠ · diferente de · não é igual.

⟹ · implica · se o lado esquerdo vale, então o direito também vale.

| · módulo, ou norma, escreve-se |v| · |v| é o comprimento do vetor v; |x| é a distância de x até zero. Nunca é negativo.

∈ · pertence a · o elemento está dentro do conjunto.

∪ · união · junta tudo o que está em qualquer um dos dois conjuntos.

∩ · interseção · só o que está nos dois ao mesmo tempo.

∅ · conjunto vazio · não tem nenhum elemento.

∎ · fim da demonstração · marca o ponto em que a prova terminou.

sen · seno · num triângulo retângulo, cateto oposto dividido pela hipotenusa.

tg · tangente · seno dividido por cosseno.

² (expoente 2) · ao quadrado · o número multiplicado por ele mesmo. x² é x·x.

³ (expoente 3) · ao cubo · o número multiplicado por ele mesmo três vezes.

∘ (composta) · bola · (g ∘ f)(x) significa g(f(x)): aplica-se f primeiro, depois g.

PROBLEMA 1, TRADUZIR INTERVALO EM NOTAÇÃO DE CONJUNTO

Use a notação de conjuntos para reescrever os intervalos abaixo.

A REGRA DO COLCHETE

Colchete [ ] inclui a extremidade, e vira ≤ ou ≥.

Parêntese ( ) exclui a extremidade, e vira < ou >.

O infinito nunca leva colchete, porque não é um número: não há o que incluir.

Intervalo · Notação de conjunto

(a) A = [5, 11] · { x ∈ ℝ : 5 ≤ x ≤ 11 }

(b) B = (−7, 3] · { x ∈ ℝ : −7 < x ≤ 3 }

(c) C = (−8, 0) · { x ∈ ℝ : −8 < x < 0 }

(d) D = [2, +∞) · { x ∈ ℝ : x ≥ 2 }

(e) E = (−∞, 5) · { x ∈ ℝ : x < 5 }

(f) F = [−2, 3) · { x ∈ ℝ : −2 ≤ x < 3 }

(g) G = (−∞, 9] · { x ∈ ℝ : x ≤ 9 }

PROBLEMA 2, OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS

Considere A = [1, 5], B = [3, 9), C = {5, 1} e D = [5, +∞).

Método. Desenhe os quatro na mesma reta numérica antes de operar. C é um conjunto de dois pontos isolados, não um intervalo, é isso que os itens (c) a (g) exploram.

Item · Operação · Raciocínio · Resposta

(a) · A ∪ B · de 1 até 9, sem o 9 · [1, 9)

(b) · A ∩ B · onde os dois coexistem: de 3 a 5 · [3, 5]

(c) · A − C · tira os pontos 1 e 5 de [1,5] · (1, 5)

(d) · B ∩ C · dos dois pontos de C, só o 5 está em [3,9) · {5}

(e) · C − B · o que sobra de C fora de B: o 1 · {1}

(f) · B − C · [3,9) sem o ponto 5 · [3, 5) ∪ (5, 9)

(g) · B − (B − C) · é B ∩ C · {5}

(h) · A ∪ D · [1,5] com [5,+∞) emenda no 5 · [1, +∞)

(i) · C ∩ D · dos dois pontos, só o 5 é ≥ 5 · {5}

(j) · C ∩ ∅ · nada intersecta o vazio · ∅

(k) · A ∪ ∅ · o vazio não acrescenta nada · [1, 5]

(l) · A ∪ B ∪ C ∪ D · [1,9) ∪ [5,+∞) · [1, +∞)

O ITEM (G) É UMA PEGADINHA COM NOME

B − (B − C) parece complicado, mas vale sempre a identidade B − (B − C) = B ∩ C. Tirar de B tudo o que não está em C deixa exatamente o que está nos dois.

Vale a pena reconhecer o padrão: ele economiza a conta.

PROBLEMA 3, UNIÃO E INTERSEÇÃO A PARTIR DE CONDIÇÕES

Determine A ∪ B e A ∩ B nos casos a seguir, utilizando intervalos.

Método. Primeiro traduza cada condição num intervalo; só então una ou intersecte.

(a) A = {x : x − 4 ≤ 0} e B = {x : x − 4 ≥ 0}

A =(−∞, 4] B = [4, +∞)

Os dois cobrem toda a reta e se tocam apenas no 4.

A ∪ B = ℝ e A ∩ B = {4}.

(b) A = {x : x > 2} e B = {x : x < −3}

A =(2, +∞)B =(−∞, −3)

Não há nenhum número que seja simultaneamente maior que 2 e menor que −3.

A ∪ B = (−∞, −3) ∪ (2, +∞) e A ∩ B = ∅.

(c) A = {x : x² < 4} e B = {x : x > −1}

Resolvendo x² < 4: como x² − 4 < 0, as raízes são ±2 e a parábola é negativa entre elas.

A =(−2, 2)B =(−1, +∞)

A ∪ B = (−2, +∞) e A ∩ B = (−1, 2).

PROBLEMA 4, INEQUAÇÕES

OS TRÊS PRINCÍPIOS QUE RESOLVEM TODAS

1. Nunca multiplique cruzado numa inequação com incógnita no denominador. O sinal do denominador é desconhecido, e multiplicar por número negativo inverte a desigualdade. Passe tudo para um lado e reduza a um único quociente.

2. Fatore e estude o sinal de cada fator na reta, multiplicando os sinais coluna a coluna.

3. Raiz de fator no denominador nunca entra na solução, nem quando a desigualdade é ≤ ou ≥, porque ali a expressão não existe.

(a) (2x − 1)(x + 3) < 0

Raízes: x = 1/2 e x = −3. Produto de dois fatores de 1º grau é negativo entre as raízes.

Resposta: (−3, 1/2).

(b) (2x + 1)(x² − 1) < 0

Fatore o segundo: x² − 1 = (x−1)(x+1). Raízes: −1, −1/2, 1.

Quadro de sinais, testando um ponto em cada faixa:

Faixa · (2x+1) · (x−1) · (x+1) · Produto

x < −1 · − · − · − · −

−1 < x < −1/2 · − · − · + · +

−1/2 < x < 1 · + · − · + · −

x > 1 · + · + · + · +

Resposta: (−∞, −1) ∪ (−1/2, 1).

(c) x² + 1 > 3x − x² − 3

Passe tudo para a esquerda:

2x^2 − 3x + 4 > 0

Discriminante: 9 − 32 = −23 < 0. Sem raízes reais, e como o coeficiente de x² é positivo, a parábola está inteiramente acima do eixo.

Resposta: ℝ.

(d) x(x² + 3) ≥ 0

O fator x² + 3 é sempre positivo (mínimo 3). Logo o sinal do produto é o sinal de x.

Resposta: [0, +∞).

(e) x(x − 2)(2x + 3) ≤ 0

Raízes: −3/2, 0, 2. Três fatores de 1º grau; o produto alterna de sinal a cada raiz e é positivo à direita de tudo.

Resposta: (−∞, −3/2] ∪ [0, 2].

(f) (x² − 4)(x² − 3x + 2) ≤ 0

Fatore os dois: (x−2)(x+2) · (x−1)(x−2) = (x−2)²(x+2)(x−1).

O fator (x−2)² é sempre ≥ 0 e não muda o sinal, só zera em x = 2. Então o sinal é o de (x+2)(x−1), que é negativo entre −2 e 1.

Resposta: [−2, 1] ∪ {2}.

O PONTO ISOLADO

O x = 2 entra sozinho na resposta porque anula a expressão, e a desigualdade é ≤. Esquecê-lo é o erro mais comum deste item. Fator ao quadrado sempre gera esse tipo de ponto isolado.

(g) 3x(x+4)²/(x−2)² < 0

Os dois quadrados, (x+4)² e (x−2)², são positivos onde não se anulam, logo o sinal é o de 3x, isto é, o sinal de x. Mas é preciso excluir x = −4 (anula o numerador, dando 0, que não é < 0) e x = 2 (anula o denominador).

Resposta: (−∞, −4) ∪ (−4, 0).

(h) (x−1)/(x−2) > 0

Quociente positivo quando numerador e denominador têm o mesmo sinal. Raízes: 1 e 2.

Resposta: (−∞, 1) ∪ (2, +∞).

(i) (2 − 3x)/(x + 2) > 0

Raízes: 2/3 (numerador) e −2 (denominador, excluído). O numerador é decrescente (coeficiente −3), então o quociente é positivo entre as raízes.

Resposta: (−2, 2/3).

(j) (x^2 − 9)/(x + 1) ≥ 0

Fatore: (x−3)(x+3)/(x+1). Raízes: −3, −1 (excluída), 3.

Faixa · (x−3) · (x+3) · (x+1) · Quociente

x < −3 · − · − · − · −

−3 < x < −1 · − · + · − · +

−1 < x < 3 · − · + · + · −

x > 3 · + · + · + · +

Incluem-se −3 e 3 (anulam o numerador); exclui-se −1.

Resposta: [−3, −1) ∪ [3, +∞).

(k) (2x − 1)/(x − 3) > 7

Não multiplique cruzado. Passe o 7 para a esquerda e reduza a um quociente:

(2x−1)/(x−3)− 7 > 0 ⟹ [2x − 1 − 7(x−3)]/(x−3)> 0

(2x − 1 − 7x + 21)/(x−3)=(−5x + 20)/(x−3)> 0

Raízes: 4 (numerador) e 3 (excluída). Numerador decrescente, então positivo entre as raízes.

Resposta: (3, 4).

(l) x/(2x − 3) ≤ 3

x/(2x−3)− 3 ≤ 0 ⟹ [x − 3(2x−3)]/(2x−3)≤ 0 ⟹(−5x + 9)/(2x−3)≤ 0

Raízes: 9/5 (numerador, incluída) e 3/2 (denominador, excluída).

Faixa · (−5x+9) · (2x−3) · Quociente

x < 3/2 · + · − · −

3/2 < x < 9/5 · + · + · +

x > 9/5 · − · + · −

Resposta: (−∞, 3/2) ∪ [9/5, +∞).

(m) (x − 3)/(x^2 + 1) < 5

O denominador x² + 1 é sempre positivo, então aqui, e só aqui, pode-se multiplicar sem medo:

x − 3 < 5x^2 + 5 ⟹ 5x^2 − x + 8 > 0

Discriminante: 1 − 160 = −159 < 0, com coeficiente principal positivo: sempre positivo.

Resposta: ℝ.

(n) (9x − 6)/(x + 2) > 6

(9x−6)/(x+2)− 6 > 0 ⟹ [9x − 6 − 6(x+2)]/(x+2)> 0 ⟹(3x − 18)/(x+2)> 0

Raízes: 6 e −2 (excluída). Ambos os fatores crescentes ⟹ quociente positivo fora do intervalo entre as raízes.

Resposta: (−∞, −2) ∪ (6, +∞).

PROBLEMA 5, DOMÍNIOS

AS TRÊS PROIBIÇÕES

Todo domínio sai de combinar estas três, e nada mais:

1. Denominador ≠ 0.

2. Radicando de raiz de índice par ≥ 0. (Raiz de índice ímpar não restringe nada.)

3. Argumento de logaritmo > 0.

Quando há mais de uma, o domínio é a interseção das condições.

(a) f(x) = (x + 2)/(x^2 − 1)

Denominador zero em x = ±1.

D(f) = ℝ − {−1, 1}.

(b) f(x) = (3x + 4)/(x^2 − x − 2)

x² − x − 2 = (x − 2)(x + 1), que zera em 2 e −1.

D(f) = ℝ − {−1, 2}.

(c) f(x) = x/√(|x| − 1)

A raiz é par e está no denominador: exige-se |x| − 1 > 0 (estritamente), isto é |x| > 1.

D(f) = (−∞, −1) ∪ (1, +∞).

(d) g(x) = |x² − 1| / ∛(x + 1)

A raiz é de índice ímpar: não restringe. Mas está no denominador, e não pode ser zero: x + 1 ≠ 0.

D(g) = ℝ − {−1}.

(e) g(x) = √(4 − x) + √(x² − 1)

Duas condições, ambas obrigatórias:

4 − x ≥ 0 ⟹ x ≤ 4 e x^2 − 1 ≥ 0 ⟹ x ≤ −1 ou x ≥ 1

Intersectando: (−∞, −1] ∩ (−∞,4] = (−∞,−1]; e [1,+∞) ∩ (−∞,4] = [1,4].

D(g) = (−∞, −1] ∪ [1, 4].

(f) h(x) = √(1 − √(1 − x²))

Duas raízes encaixadas, resolva de dentro para fora.

Interna: 1 − x² ≥ 0 ⟹ −1 ≤ x ≤ 1.

Externa: 1 − √(1 − x²) ≥ 0 ⟹ √(1 − x²) ≤ 1 ⟹ 1 − x² ≤ 1 ⟹ x² ≥ 0, sempre verdadeiro.

A externa não acrescenta restrição.

D(h) = [−1, 1].

(g) h(x) = 1/(x^2 − 2x − 1)

Denominador zero: x² − 2x − 1 = 0, discriminante 4 + 4 = 8, raízes x = 1 ± √2.

D(h) = ℝ − {1 − √2, 1 + √2}.

(h) g(x) = (x + 3)/(4 − √(x² − 9))

Duas condições:

Radicando ≥ 0: x² − 9 ≥ 0 ⟹ x ≤ −3 ou x ≥ 3.

Denominador ≠ 0: √(x² − 9) ≠ 4 ⟹ x² − 9 ≠ 16 ⟹ x ≠ ±5.

D(g) = (−∞, −3] ∪ [3, +∞), excluídos −5 e 5.

(i) h(x) = √[(x − 1)/(x^2 − 6x + 8)]

Raiz par de um quociente: exige-se o quociente ≥ 0, e o denominador ≠ 0.

Fatorando: x² − 6x + 8 = (x − 2)(x − 4).

Faixa · (x−1) · (x−2) · (x−4) · Quociente

x < 1 · − · − · − · −

1 < x < 2 · + · − · − · +

2 < x < 4 · + · + · − · −

x > 4 · + · + · + · +

Inclui-se x = 1 (anula o numerador); excluem-se 2 e 4.

D(h) = [1, 2) ∪ (4, +∞).

PROBLEMA 6, FUNÇÃO COM DOIS MÓDULOS

Seja g(x) = |x − 1| + |x − 2|. Mostre que g é dada por três sentenças e esboce o gráfico.

Método. Cada módulo troca de expressão no seu ponto de anulamento. Aqui há dois pontos críticos, 1 e 2, que dividem a reta em três faixas. Monte a tabela.

Faixa · |x − 1| vale · |x − 2| vale · Soma

x ≤ 1 · 1 − x · 2 − x · 3 − 2x

1 < x < 2 · x − 1 · 2 − x · 1

x ≥ 2 · x − 1 · x − 2 · 2x − 3

Logo:

g(x)= 3 − 2x se x ≤ 1 ; 1 se 1 < x < 2 ; 2x − 3 se x ≥ 2 ∎ fim da demonstração

O gráfico. Uma reta descendente de inclinação −2 até o ponto (1, 1); depois um patamar horizontal na altura 1, de x = 1 a x = 2; depois uma reta ascendente de inclinação +2 a partir de (2, 1). O desenho lembra uma banheira, e é contínuo, nos dois pontos de emenda o valor é 1 pelos dois lados.

A LEITURA GEOMÉTRICA

|x − 1| é a distância de x até 1, e |x − 2| é a distância de x até 2. Então g(x) é a soma das distâncias de x aos pontos 1 e 2.

Para x entre 1 e 2, essa soma é sempre o comprimento do próprio segmento, ou seja 1, daí o patamar. Fora do segmento, cada passo para longe soma 2 (um em cada distância), daí as inclinações ±2.

Entender isso responde o "esboce o gráfico" sem plotar ponto nenhum.

PROBLEMA 7, CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO

Determine os intervalos de crescimento ou decrescimento de f(x) = x + 1 (x ≤ 0); 2 (0 < x ≤ 1); (x−1)² + 2 (x ≥ 1).

Método. Analise cada sentença no seu próprio intervalo.

Trecho · Expressão · Comportamento

x ≤ 0 · reta de inclinação +1 · crescente

0 < x ≤ 1 · constante igual a 2 · constante

x ≥ 1 · parábola de vértice em (1, 2), boca para cima · crescente (está no ramo direito do vértice)

Resposta: f é crescente em (−∞, 0] e em [1, +∞); é constante em (0, 1]. Não decresce em nenhum intervalo.

Observação: em x = 0 há um salto, pela esquerda f tende a 1, e logo depois vale 2. A função não é contínua ali, mas isso não afeta a classificação por intervalos. Em x = 1 não há salto: os dois trechos valem 2.

PROBLEMA 8, PARIDADE PELA EXPRESSÃO

O TESTE, EM UMA LINHA

Substitua x por −x e compare:

f(−x) = f(x) → par (gráfico simétrico em relação ao eixo y)

f(−x) = −f(x) → ímpar (gráfico simétrico em relação à origem)

nenhum dos dois → nem par nem ímpar

Detalhe que derruba gente: o domínio precisa ser simétrico. Se −x não estiver no domínio sempre que x estiver, a função não pode ser par nem ímpar.

Item · f(x) · f(−x) · Classificação

(a) · 10 − x² · 10 − x² · par

(b) · x³ − 2∛x · −x³ + 2∛x = −f(x) · ímpar

(c) · √(x⁴ − x² + 4) · mesmo (só potências pares) · par

(d) · |x| + 4 · |x| + 4 · par

(e) · |x + 4| · |−x + 4| ≠ ± f(x) · nem par nem ímpar

(f) · x⁴ − 2x² + 4 · idêntico · par

(g) · −5x⁴ + 7x² − 2 · idêntico · par

(h) · x√(x² − 1) · −x√(x² − 1) = −f(x) · ímpar

(i) · 1/(x^2 − 1) · idêntico · par

(j) · 3x/(x^2 + 1) · −3x/(x^2 + 1) = −f(x) · ímpar

(k) · 1/(x^2 − 2x − 1) · 1/(x^2 + 2x − 1) ≠ ± f(x) · nem par nem ímpar

O ATALHO QUE VALE PARA POLINÔMIOS

Um polinômio é par quando só tem expoentes pares (contando a constante como x⁰), e ímpar quando só tem expoentes ímpares. Se misturar os dois tipos, não é nem um nem outro.

Foi assim que os itens (a), (f) e (g) saíram sem conta, os três são polinômios só com expoentes pares.

O item (b) também sai de graça, embora não seja polinômio: x³ e ∛x = x1/3 são ambos "ímpares" no sentido de que trocar o sinal de x troca o sinal do resultado.

E os itens (i) e (j), que são frações, saem por uma extensão da mesma ideia: numa fração, par ÷ par = par e ímpar ÷ par = ímpar. Em (i), 1 e x² − 1 são ambos pares, logo o quociente é par. Em (j), 3x é ímpar e x² + 1 é par, logo o quociente é ímpar. É a mesma regra de sinais da multiplicação, aplicada à divisão.

PROBLEMA 9, PARIDADE PELO GRÁFICO

A partir do gráfico, classifique cada função em par, ímpar, ou nem par nem ímpar.

Método. Olhe apenas a simetria:

espelho no eixo y → par;

giro de 180° em torno da origem → ímpar;

nenhuma das duas → nem par nem ímpar.

Item · O que o gráfico mostra · Classificação

(a) · parábola com vértice na origem, simétrica em relação ao eixo y · par

(b) · onda tipo seno, passando pela origem, vale de um lado e crista do outro · ímpar

(c) · curva exponencial, assíntota horizontal à esquerda, crescente · nem par nem ímpar

(d) · hipérbole tipo 1/x, ramos em quadrantes opostos · ímpar

(e) · curva com máximo local à esquerda e subida acentuada à direita, sem espelho nem giro · nem par nem ímpar

(f) · quártica em W, com os dois mínimos simétricos em relação ao eixo y · par

(g) · parábola com vértice deslocado, em (2, 1) · nem par nem ímpar

(h) · onda tipo cosseno, com crista sobre o eixo y · par

(i) · reta pela origem · ímpar

O ITEM (G) É O QUE MAIS ENGANA

A parábola tem simetria, mas em relação à reta vertical x = 2, e não ao eixo y. Paridade só reconhece simetria em relação ao eixo y (par) ou à origem (ímpar). Simetria em relação a outro eixo não conta.

PROBLEMA 10, ACHAR O PARÂMETRO PELA COMPOSTA

f(x) = 2x + b, g(x) = x². Conhecendo (g ∘ f)(x) = 4x² − 12x + 9, determine b.

Método. Monte a composta em função de b e compare os coeficientes.

(g ∘ f)(x)= g(f(x))=(2x + b)^2 = 4x^2 + 4bx + b^2

Comparando com 4x² − 12x + 9, termo a termo:

Termo · Da composta · Dado · Equação

x² · 4 · 4 · (confere) automático

x · 4b · −12 · b = −3

constante · b² · 9 · b = ±3

O valor que satisfaz as duas equações é b = −3.

Resposta: b = −3.

Confira: (2x − 3)² = 4x² − 12x + 9 (confere)

PROBLEMA 11, COMPOSTAS DE TRÊS FUNÇÕES

Encontre a fórmula para f ∘ g ∘ h.

A ORDEM DE DENTRO PARA FORA

f ∘ g ∘ h significa f(g(h(x))): aplica-se h primeiro, depois g, e f por último, o contrário da ordem de leitura.

Faça em duas etapas: primeiro calcule g(h(x)); depois jogue o resultado em f. Tentar fazer tudo de uma vez é onde se erra.

(a) f(x) = x + 1, g(x) = 3x, h(x) = 4 − x

g(h(x))= 3(4 − x)= 12 − 3x f(12 − 3x)= 12 − 3x + 1 = 13 − 3x

(b) f(x) = 3x + 4, g(x) = 2x − 1, h(x) = x²

g(x^2)= 2x^2 − 1 f(2x^2 − 1)= 3(2x^2 − 1)+ 4 = 6x^2 + 1

(c) f(x) = 3x − 2, g(x) = sen x, h(x) = x²

g(x^2)= sen(x^2)f = 3·sen(x^2)− 2

(d) f(x) = √(x + 1), g(x) = 1/(x + 4), h(x) = 1/x

g(1/x)= 1/(1/x + 4)= x/(1 + 4x)

f = √(x/(1+4x)+ 1)= √((x + 1 + 4x)/(1+4x))= √((5x + 1)/(4x + 1))

(e) f(x) = (x+2)/(3−x), g(x) = x^2/(x^2+1), h(x) = √(2 − x)

g(√(2−x))=(2−x)/((2−x)+1)=(2−x)/(3−x)

Agora f desse resultado. Chamando t = (2−x)/(3−x):

f(t)=(t + 2)/(3 − t)= [(2−x)/(3−x)+ 2 ]/[ 3 −(2−x)/(3−x)]

Multiplicando numerador e denominador por (3 − x):

= [(2−x)+ 2(3−x)]/[ 3(3−x)−(2−x)] =(2 − x + 6 − 2x)/(9 − 3x − 2 + x)=(8 − 3x)/(7 − 2x)

(f) f(x) = |x − 4|, g(x) = 2ˣ, h(x) = √x

g(√x)= 2^(√x)f = | 2^(√x)− 4 |

(g) f(x) = √(x − 3), g(x) = x², h(x) = x³ + 2

g(x^3+2)=(x^3+2)^2 f = √((x^3 + 2)^2 − 3)

(h) f(x) = tg x, g(x) = x/(x−1), h(x) = ∛x

g(∛x)= ∛x/(∛x − 1)f = tg(∛x/(∛x − 1))

PROBLEMA 12, COMPOSTAS PELO GRÁFICO

Use os gráficos de f e g para determinar cada valor, ou explique por que não está definido.

Método. Leia os gráficos e transforme-os em fórmulas, assim as contas ficam exatas.

A função f (a linha vermelha) é formada por dois segmentos: de (0, 0) a (2, −2), e de (2, −2) a (6, 6).

f(x)= −x para 0 ≤ x ≤ 2 ; f(x)= 2x − 6 para 2 ≤ x ≤ 6

Seu domínio é [0, 6].

A função g (a curva azul) tem domínio [−4, 4], e os pontos que interessam são:

x · −4 · −2 · 0 · 1 · 2 · 4

g(x) · 3 · 1 · 3 · 4 · 5 · 3

Agora os itens, sempre de dentro para fora:

(a) f(g(2))

g(2) = 5. E 5 está em [0,6], no segundo trecho de f: f(5) = 2(5) − 6 = 4.

(b) g(f(0))

f(0) = 0. E 0 está em [−4,4]: g(0) = 3.

(c) (f ∘ g)(0) = f(g(0))

g(0) = 3, e f(3) = 2(3) − 6 = 0.

(d) (g ∘ f)(6) = g(f(6))

f(6) = 2(6) − 6 = 6. Mas 6 não pertence ao domínio de g, que é [−4, 4].

Não está definida.

(e) (g ∘ g)(−2) = g(g(−2))

g(−2) = 1, e g(1) = 4.

(f) (f ∘ f)(4) = f(f(4))

f(4) = 2(4) − 6 = 2, e f(2) = −2.

O ITEM (D) É O QUE O PROFESSOR QUER VER

O enunciado diz "ou então, se for o caso, explique por que a expressão não está definida". Ou seja: há um item armado para não existir, e o ponto está na explicação.

A frase: "(g ∘ f)(6) não está definida porque f(6) = 6, e 6 não pertence ao domínio de g, que é [−4, 4]. Para a composta existir, a imagem da função de dentro precisa cair no domínio da de fora."

PROBLEMA 13, EQUAÇÃO COM COMPOSTA, PELO GRÁFICO

f, g : [0, 3] → ℝ dadas graficamente. A solução de (f ∘ g)(x) = 2 é:

Método. Resolva em duas etapas.

Etapa 1, para quais valores de t vale f(t) = 2?

Olhando o gráfico de f: ele atinge a altura 2 exatamente nos dois picos, em t = 1 e t = 2.

Etapa 2, para quais x vale g(x) = 1 ou g(x) = 2?

Olhando o gráfico de g:

g(x) = 1: no patamar horizontal entre x = 1/2 e x = 1, ou seja, em todo o intervalo [1/2, 1], e mais uma vez no ramo crescente final, em x = 5/2.

g(x) = 2: nos dois extremos, x = 0 e x = 3, onde a curva vale 2.

Reunindo tudo:

Solução = [1/2, 1] ∪ { 0, 5/2, 3 }

Resposta: alternativa (e).

POR QUE APARECE UM INTERVALO E NÃO SÓ PONTOS

Porque g é constante igual a 1 num trecho inteiro. Todo x desse trecho é solução, e por isso a resposta mistura um intervalo com pontos isolados.

As alternativas erradas são justamente as que trocam o intervalo por pontos, ou esquecem o x = 5/2. Antes de marcar, confirme os quatro elementos: o patamar, o 5/2, o 0 e o 3.

PRÓXIMO PASSO

Abra o Volume 2, problemas 14 a 25: trigonometria, funções inversas, identidades, exponencial e logaritmo.