Geometria analítica: caderno comentado

Caderno comentado, Geometria Analítica (P1)

Ulysses Cesar · resoluções e explicações do caderno de treino · abra só DEPOIS de tentar

AVISO DE MÉTODO. Ler resolução pronta ensina muito na primeira vez e passa a ATRAPALHAR depois que o conteúdo já foi visto, em estudo controlado, quem já tem alguma perícia e recebe muita ajuda vai PIOR do que quem tenta sozinho. Então: tente primeiro, erre, e só então abra aqui. Este caderno é conferência, não leitura.

PARTE A: O motor

A.1: Vetor entre dois pontos (AB = B − A)

1) A = (1,2,3) e B = (4,6,3). Determine AB.

Resposta: (3, 4, 0)

4−1 = 3 · 6−2 = 4 · 3−3 = 0. Chegada menos saída, coordenada a coordenada.

2) A = (0,0,0) e B = (4,3,0). Determine AB.

Resposta: (4, 3, 0)

Quando A é a origem, o vetor AB é o próprio ponto B. É o caso do Problema 2 da prova.

3) A = (2,−1,5) e B = (2,3,1). Determine AB.

Resposta: (0, 4, −4)

2−2 = 0 · 3−(−1) = 4 · 1−5 = −4. Cuidado com o menos-com-menos na segunda: 3 − (−1) = 3 + 1.

4) P = (−2,3,8) e Q = (4,3,8). Determine PQ.

Resposta: (6, 0, 0)

4−(−2) = 6 · 3−3 = 0 · 8−8 = 0. Vetor com duas coordenadas nulas: anda só na direção x. É o AB do Problema 3.

5) A = (1,0,0) e B = (0,1,0). Determine AB.

Resposta: (−1, 1, 0)

0−1 = −1 · 1−0 = 1 · 0−0 = 0. É o v do Problema 1.

6) B = (4,3,0) e C = (4,3,12). Determine BC.

Resposta: (0, 0, 12)

Só a terceira coordenada muda. É o BC do Problema 2, e é ele que entrega o ângulo reto.

7) A = (−1,−1,−1) e B = (2,3,4). Determine AB.

Resposta: (3, 4, 5)

2−(−1) = 3 · 3−(−1) = 4 · 4−(−1) = 5. Três subtrações de negativo seguidas, é onde mais se erra.

8) M = (5,5,5) e N = (1,2,3). Determine MN e NM. Compare.

Resposta: MN = (−4,−3,−2) e NM = (4,3,2)

São opostos: mesma reta, mesmo tamanho, sentidos contrários. Trocar a ordem das letras troca todos os sinais, por isso a última letra do nome é sempre a chegada.

A.2: Norma (o comprimento da seta)

1) ‖(3, 4, 0)‖

Resposta: 5

√(9+16+0) = √25 = 5.

2) ‖(0, 0, 12)‖

Resposta: 12

√144 = 12. Vetor sobre um eixo: a norma é o valor absoluto da única coordenada.

3) ‖(4, 3, 12)‖

Resposta: 13

√(16+9+144) = √169 = 13. É a hipotenusa do Problema 2.

4) ‖(1, 1, 1)‖

Resposta: √3

√(1+1+1) = √3. Não simplifica mais: 3 não tem quadrado perfeito como fator.

5) ‖(2, −3, 6)‖

Resposta: 7

√(4+9+36) = √49 = 7. Note que (−3)² = +9, quadrado de negativo é positivo.

6) ‖(6, 0, 0)‖

Resposta: 6

√36 = 6.

7) ‖(−1, 1, 0)‖

Resposta: √2

√(1+1+0) = √2. O sinal some no quadrado.

8) ‖(4, 4, 4)‖, simplifique o radical

Resposta: 4√3

√(16+16+16) = √48. Agora simplifique: 48 = 16 × 3, e √16 = 4, então √48 = 4√3. Deixar √48 custa ponto quando o enunciado pede simplificação.

A.3: Produto escalar (dá NÚMERO)

1) ⟨(1,2,3), (4,5,6)⟩

Resposta: 32

1·4 + 2·5 + 3·6 = 4 + 10 + 18 = 32.

2) ⟨(4,3,0), (0,0,12)⟩

Resposta: 0

0 + 0 + 0 = 0. Deu ZERO: os vetores são perpendiculares. É esta conta que prova o ângulo reto no Problema 2.

3) ⟨(4,3,0), (4,3,12)⟩

Resposta: 25

16 + 9 + 0 = 25. Positivo: apontam mais ou menos para o mesmo lado.

4) ⟨(1,1,1), (−1,1,0)⟩

Resposta: 0

−1 + 1 + 0 = 0. Perpendiculares. É o item (b) do Problema 1: o produto vetorial é perpendicular a quem o gerou.

5) ⟨(6,0,0), (3,4,0)⟩

Resposta: 18

18 + 0 + 0 = 18. Serve ao cosseno do Problema 3.

6) ⟨(1,4,8), (3,4,0)⟩

Resposta: 19

3 + 16 + 0 = 19.

7) ⟨(1,4,8), (−4,−8,−8)⟩

Resposta: −100

−4 − 32 − 64 = −100. Negativo: apontam para lados opostos. Nada de errado nisso.

8) ⟨(2,−1,3), (1,2,0)⟩

Resposta: 0

2 − 2 + 0 = 0. Perpendiculares.

A.4: Produto vetorial (dá VETOR)

1) (1,0,0) ∧ (0,1,0)

Resposta: (0, 0, 1)

1ª: 0·0 − 0·1 = 0. 2ª: −(1·0 − 0·0) = 0. 3ª: 1·1 − 0·0 = 1. São os eixos x e y; o resultado aponta no eixo z, perpendicular aos dois, como tem de ser.

2) (−1,1,0) ∧ (−1,0,1)

Resposta: (1, 1, 1)

1ª: 1·1 − 0·0 = 1. 2ª: −[(−1)·1 − 0·(−1)] = −(−1) = 1. 3ª: (−1)·0 − 1·(−1) = 0 + 1 = 1. É o v∧w do Problema 1.

3) (4,3,0) ∧ (4,3,12)

Resposta: (36, −48, 0)

1ª: 3·12 − 0·3 = 36. 2ª: −(4·12 − 0·4) = −48. 3ª: 4·3 − 3·4 = 0. É o item (h) do Problema 2.

4) (6,0,0) ∧ (3,4,0)

Resposta: (0, 0, 24)

1ª: 0·0 − 0·4 = 0. 2ª: −(6·0 − 0·3) = 0. 3ª: 6·4 − 0·3 = 24. Os dois vetores estão no plano z = 8, então o resultado sai reto no eixo z.

5) (3,4,0) ∧ (−4,−8,−8)

Resposta: (−32, 24, −8)

1ª: 4·(−8) − 0·(−8) = −32. 2ª: −[3·(−8) − 0·(−4)] = −(−24) = 24. 3ª: 3·(−8) − 4·(−4) = −24 + 16 = −8.

6) (1,4,8) ∧ (3,4,0)

Resposta: (−32, 24, −8)

1ª: 4·0 − 8·4 = −32. 2ª: −(1·0 − 8·3) = 24. 3ª: 1·4 − 4·3 = −8. Deu igual ao anterior, é exatamente o item (g) do Problema 4.

A.5: Produto misto (dá NÚMERO = volume)

1) u = (3,2,7), v = (−1,1,0), w = (−1,0,1). Calcule ⟨u, v∧w⟩.

Resposta: 12

Primeiro v∧w = (1,1,1). Depois ⟨(3,2,7),(1,1,1)⟩ = 3+2+7 = 12. O volume do paralelepípedo é 12.

2) u = (1,4,8), v = (3,4,0), w = (−4,−8,−8). Calcule ⟨u, v∧w⟩.

Resposta: 0

v∧w = (−32,24,−8). Depois −32 + 96 − 64 = 0. Zero significa coplanares: os três cabem num mesmo plano.

3) u = (1,0,0), v = (0,1,0), w = (0,0,1). Calcule ⟨u, v∧w⟩.

Resposta: 1

v∧w = (1,0,0), e ⟨(1,0,0),(1,0,0)⟩ = 1. É o cubo de lado 1, volume 1, como esperado.

4) u = (2,2,2), v = (1,0,0), w = (0,1,0). Calcule ⟨u, v∧w⟩.

Resposta: 2

v∧w = (0,0,1). ⟨(2,2,2),(0,0,1)⟩ = 2. A base tem área 1 e u sobe 2, volume 2.

A.6: Projeção (dá VETOR)

1) Projete u = (3,2,7) sobre n = (1,1,1).

Resposta: (4, 4, 4)

⟨u,n⟩ = 12 e ‖n‖² = 3. Então (12/3)·(1,1,1) = 4·(1,1,1) = (4,4,4). É o item (e) do Problema 1. Embaixo vai ‖n‖² = 3, NUNCA √3.

2) Projete u = (4,3,0) sobre v = (1,0,0).

Resposta: (4, 0, 0)

⟨u,v⟩ = 4 e ‖v‖² = 1. Então 4·(1,0,0) = (4,0,0). Projetar no eixo x guarda só a coordenada x.

3) Projete u = (2,2,0) sobre v = (0,3,0).

Resposta: (0, 2, 0)

⟨u,v⟩ = 6 e ‖v‖² = 9. Então (6/9)·(0,3,0) = (2/3)·(0,3,0) = (0,2,0). Note que o resultado não depende do tamanho de v, só da direção.

4) Projete u = (0,0,5) sobre v = (0,0,2).

Resposta: (0, 0, 5)

⟨u,v⟩ = 10 e ‖v‖² = 4. Então (10/4)·(0,0,2) = 2,5·(0,0,2) = (0,0,5), o próprio u. Faz sentido: u já estava na direção de v, então a sombra dele é ele mesmo.

PARTE B: Leitura geométrica

1) O produto escalar de dois vetores deu 0. O que isso diz sobre eles?

Resposta: Que são perpendiculares (formam ângulo reto).

É a leitura mais cobrada da prova. Aparece no Problema 1 (b), no Problema 2 (c) e no Problema 4 (h).

2) ‖u∧v‖ = 20. Qual é a área do triângulo de lados u e v?

Resposta: 10

A norma do produto vetorial é a área do PARALELOGRAMO. O triângulo é metade dele, porque a diagonal corta o paralelogramo em dois triângulos congruentes.

3) O produto misto de três vetores deu 0. O que isso diz?

Resposta: Que são coplanares, cabem todos num mesmo plano.

O produto misto é o volume do paralelepípedo. Volume zero quer dizer sólido achatado, sem espessura.

4) Por que ⟨v, v∧w⟩ é sempre zero, quaisquer que sejam v e w?

Resposta: Porque v∧w é construído para ser perpendicular a v e a w, e escalar entre perpendiculares é zero.

Não é coincidência aritmética: é a definição do produto vetorial.

5) O que é maior: ‖u∧v‖ ou a área do triângulo de lados u e v? Quantas vezes?

Resposta: ‖u∧v‖ é maior, exatamente o dobro.

Paralelogramo = 2 × triângulo.

6) A projeção de u sobre v é um número ou um vetor?

Resposta: Um vetor.

A altura é a NORMA dessa projeção, aí sim um número. Confundir os dois derruba o item (g) do Problema 1.

7) O produto escalar é número ou vetor? E o vetorial?

Resposta: Escalar dá número; vetorial dá vetor.

O nome entrega: 'escalar' é escala, quantidade. É o erro de partida mais comum.

8) O produto misto deu −12. Qual é o volume?

Resposta: 12

O volume é o MÓDULO. O sinal só informa a orientação dos três vetores no espaço.

9) Por que a altura de um paralelepípedo se mede na direção de v∧w?

Resposta: Porque altura se mede perpendicularmente à base, e v∧w é justamente a direção perpendicular à base.

É o item (f) do Problema 1, que vale 1,2.

10) AB = B − A ou A − B? Justifique pelo significado.

Resposta: B − A.

AB é o caminho que sai de A e chega em B: chegada menos saída. Inverter dá o vetor oposto, que aponta de B para A.

PARTE D: Baralho intercalado

A resposta certa começa pela ferramenta. Se você acertou a ferramenta e errou a conta, o problema é aritmética. Se errou a ferramenta, é leitura de enunciado, e essa é a que custa caro na prova.

1) Os pontos A = (0,0,0), B = (4,3,0) e C = (4,3,12) formam triângulo retângulo? Onde?

Sim, reto em B. Ferramenta: produto escalar, ⟨AB,BC⟩ = 0.

2) Qual é a área do triângulo de vértices A = (−2,3,8), B = (4,3,8) e C = (1,7,8)?

12. Ferramenta: produto vetorial, ‖AB∧AC‖ = 24, e a área é a metade.

3) Simplifique √48 e √72.

√48 = 4√3 e √72 = 6√2. Ferramenta: fatorar o maior quadrado perfeito (48 = 16×3, 72 = 36×2).

4) u = (1,4,8), v = (3,4,0), w = (−4,−8,−8) são coplanares? Prove.

Sim. Ferramenta: produto misto, ⟨u, v∧w⟩ = 0.

5) Qual é a altura do paralelepípedo de v = (−1,1,0), w = (−1,0,1) e u = (3,2,7)?

4√3. Ferramenta: projeção sobre v∧w, e depois a norma dela.

6) cos θ = 3/5. Quanto vale sen θ, sabendo que θ é ângulo de triângulo?

sen θ = 4/5. Ferramenta: identidade fundamental, sen² = 1 − (3/5)² = 16/25.

7) Ache um vetor perpendicular a (2,0,0) e a (0,5,0) ao mesmo tempo.

(0,0,10) serve, ou qualquer múltiplo de (0,0,1). Ferramenta: produto vetorial.

8) Um triângulo tem lados 5, 5 e 6. Qual a área pela Fórmula de Heron?

12. Ferramenta: Heron, s = 8, √(8·3·3·2) = √144.

9) ‖AB∧AC‖ = 60. Qual a área do triângulo ABC?

30. Ferramenta: a norma do vetorial é a área do paralelogramo; o triângulo é metade.

10) Qual é a altura do triângulo de área 12 relativa ao lado que mede 6?

4. Ferramenta: altura = 2·área ÷ base = 24 ÷ 6.

11) Prove que, se u + v + w = 0, então ⟨u, v∧w⟩ = 0.

w = −u−v, logo v∧w = u∧v; e ⟨u, u∧v⟩ = 0 porque u∧v ⊥ u.

12) O vetor (4,4,4) é a projeção de u sobre (1,1,1). Qual a altura correspondente?

‖(4,4,4)‖ = √48 = 4√3. Ferramenta: norma, com simplificação do radical.

Os quatro problemas, alvos numéricos

Todos os quatro problemas da prova fecham em número limpo. Se sair número feio (raiz estranha, fração grande), a conta errou, não a fórmula. Volte na última multiplicação em vez de empurrar o número feio adiante.

Problema 1: volume do paralelepípedo

A = (1,0,0), B = (0,1,0), C = (0,0,1), D = (4,2,7). Nove itens: os vetores, o produto externo, os dois produtos internos, a norma, o produto misto, a projeção, a altura e o volume.

v∧w = (1,1,1) · ‖v∧w‖ = √3 · os dois internos dão 0 · misto = 12 · projeção = (4,4,4) · h = 4√3 · Volume = 12.

Problema 2: triângulo retângulo

A = (0,0,0), B = (4,3,0), C = (4,3,12). Nove itens: os vetores, os três escalares, as normas, Pitágoras, a hipotenusa, a área e o produto vetorial.

Lados 5, 12 e 13 · ⟨AB,BC⟩ = 0, reto em B · hipotenusa AC · área 30 · AB∧AC = (36,−48,0) · norma 60.

Problema 3: área por três métodos

A = (−2,3,8), B = (4,3,8), C = (1,7,8). Oito itens: produto vetorial, Heron, e a fórmula com seno, os três têm de dar o mesmo número.

AB∧AC = (0,0,24), área 12 · lados 6, 5 e 5 · s = 8, Heron = 12 · cos θ = 3/5, sen θ = 4/5 · área 12 · alturas 4, 4,8 e 4,8.

Problema 4: identidades

u = (1,4,8), v = (3,4,0), w = (−4,−8,−8). Nove itens, e a chave é notar que u+v+w = 0.

Normas 9, 5 e 12 · escalares 19, −100 e −44, somando −125 · v∧w = u∧v = (−32,24,−8) · misto 0, coplanares.

A resolução item a item dos quatro está no ROTEIRO DE QUADRO – P1.pdf, com as frases prontas para os itens de "explique".