Geometria analítica: resoluções da lista, volume 1

LISTA DE EXERCÍCIOS DA P1, GEOMETRIA ANALÍTICA

Caderno de resoluções · Volume 1

Vetores, norma e produto escalar

Capítulo 2 (exercícios 1 a 15) e Capítulo 3 (exercícios 1 a 41), resolvidos passo a passo

Guia da P1 · Autor: Ulysses Cesar · Curso de Engenharia Civil

O QUE É ESTE CADERNO

A Lista de Exercícios para a P1 que o professor postou no Classroom é um recorte dos "Problemas Propostos" do livro de Steinbruch e Winterle: 15 exercícios do capítulo 2 e 75 do capítulo 3. O arquivo traz as respostas no fim, mas não traz as contas.

Este caderno traz as contas. Cada exercício aparece com o enunciado, o método, os passos e a resposta, e a resposta foi conferida contra o gabarito do livro, e, em seguida, recalculada de forma independente.

Volume 1 (este): capítulo 2 inteiro e capítulo 3 até o exercício 41, vetores, norma, produto escalar, ângulo e projeção.

Volume 2: capítulo 3, exercícios 42 a 75, produto vetorial, área, produto misto e volume.

DUAS CORREÇÕES NO GABARITO DO LIVRO

Encontradas ao refazer as contas. Não são erro seu se você chegar a outra coisa:

Exercício 33. O gabarito imprime (10/9)(2, 1, −1). O correto é (10/9)(2, 1, −2), a projeção sobre v é sempre múltipla de v, e v = (2, 1, −2).

Exercício 45 (Volume 2). O gabarito imprime x(3, 7, 1); a conta direta dá (9, 21, 3), que é 3·(3, 7, 1). São a mesma reta, mas o vetor pedido é o segundo.

COMO USAR

Não leia as resoluções antes de tentar. O ganho está em tentar, travar, e só então abrir. Se você ler primeiro, o exercício vira leitura, e leitura não treina execução, que é o que a prova mede.

Sugestão de ritmo: cinco exercícios por sessão, tentando cada um por no máximo cinco minutos antes de abrir a resolução.

COMO LER OS SÍMBOLOS DESTE MÓDULO

Nenhum símbolo aqui é decoração: cada um substitui uma frase inteira. Se travar na leitura de uma equação, volte a esta tabela.

Símbolo · Lê-se · O que é

π · pi · número fixo ≈ 3,1416. Razão entre a circunferência e o diâmetro.

ℝ · erre, conjunto dos reais · todos os números da reta: inteiros, frações e irracionais.

θ · teta · letra grega. Nomeia um ângulo, quase sempre o ângulo entre dois vetores.

α · alfa · letra grega. Ângulo, normalmente o ângulo diretor com o eixo x.

β · beta · letra grega. Ângulo diretor com o eixo y.

γ · gama · letra grega. Ângulo diretor com o eixo z.

√ · raiz quadrada · pergunta qual número, multiplicado por ele mesmo, dá o que está sob o traço.

· · vezes · multiplicação. Usa-se o ponto para não confundir com a letra x.

× · vezes · multiplicação.

± · mais ou menos · as duas contas valem: uma com +, outra com −.

≠ · diferente de · não é igual.

≈ · aproximadamente igual a · valor arredondado, não exato.

⟹ · implica · se o lado esquerdo vale, então o direito também vale.

⟺ · se e somente se · os dois lados valem juntos: um garante o outro, nos dois sentidos.

⟨ · produto escalar (interno), escreve-se ⟨u, v⟩ · ⟨u, v⟩ multiplica coordenada por coordenada e soma. Devolve um NÚMERO. Dá zero exatamente quando os vetores são perpendiculares.

∧ · produto vetorial (externo), escreve-se u ∧ v · u ∧ v devolve um VETOR perpendicular aos dois. O comprimento dele é a área do paralelogramo.

| · módulo, ou norma, escreve-se |v| · |v| é o comprimento do vetor v; |x| é a distância de x até zero. Nunca é negativo.

⊥ · perpendicular a · formam ângulo de 90°.

∥ · paralelo a · têm a mesma direção.

∈ · pertence a · o elemento está dentro do conjunto.

∎ · fim da demonstração · marca o ponto em que a prova terminou.

cos · cosseno · cateto adjacente dividido pela hipotenusa.

proj · projeção · a sombra de um vetor na direção de outro.

² (expoente 2) · ao quadrado · o número multiplicado por ele mesmo. x² é x·x.

i, j, k · i, j, k · os três vetores de comprimento 1 que apontam ao longo dos eixos x, y e z.

CAPÍTULO 2, VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO

Estes quinze exercícios estão nas páginas 37 e 38 do PDF da Lista, e o gabarito na página 38. Vários deles o professor resolve à mão no PDF Anotações da Aula de Revisão.

1 Extremidade de um segmento

Determinar a extremidade do segmento que representa o vetor v = (2, −5), sabendo que sua origem é o ponto A(−1, 3).

Método. Se o segmento vai de A até B e representa v, então AB = v, ou seja B − A = v. Isole B.

B = A + v =(−1, 3)+(2, −5)=(−1+2, 3−5)

Resposta: B = (1, −2).

Confira: B − A = (1−(−1), −2−3) = (2, −5) (confere)

2 Isolar um vetor numa equação

Dados u = (3, −1) e v = (−1, 2), determinar w tal que:

(a) 4(u − v) + ⅓w = 2u − w

(b) 3w − (2v − u) = 2(4w − 3u)

Método. Trate como equação do 1º grau, com w no lugar da incógnita. Isole w e só então substitua as coordenadas.

Item (a)

Primeiro os coeficientes. Passando os w para a esquerda e o resto para a direita:

⅓w + w = 2u − 4(u − v)⟹(4/3)w = 2u − 4u + 4v = −2u + 4v

w =(3/4)(−2u + 4v)= −(3/2)u + 3v

Agora as coordenadas: u = (3, −1) e v = (−1, 2).

w = −(3/2)(3, −1)+ 3(−1, 2)=(−9/2, 3/2)+(−3, 6)

Resposta: w = (−15/2, 15/2).

Item (b)

3w − 2v + u = 8w − 6u ⟹ 3w − 8w = −6u − u + 2v ⟹ −5w = −7u + 2v

w =(7/5)u −(2/5)v =(7/5)(3, −1)−(2/5)(−1, 2)=(21/5, −7/5)+(2/5, −4/5)

Resposta: w = (23/5, −11/5).

3 Combinações de vetores definidos por pontos

Dados A(−1, 3), B(2, 5) e C(3, −1), calcular OA − AB, OC − BC e 3BA − 4CB.

Método. OA é o vetor da origem até A, ou seja, as próprias coordenadas de A. Os demais saem de "ponta menos origem".

Vetor · Conta · Resultado

OA · coordenadas de A · (−1, 3)

AB · B − A = (2−(−1), 5−3) · (3, 2)

OC · coordenadas de C · (3, −1)

BC · C − B = (3−2, −1−5) · (1, −6)

BA · A − B = (−1−2, 3−5) · (−3, −2)

CB · B − C = (2−3, 5−(−1)) · (−1, 6)

Agora as três combinações:

OA − AB =(−1, 3)−(3, 2)=(−4, 1)

OC − BC =(3, −1)−(1, −6)=(2, 5)

3BA − 4CB = 3(−3, −2)− 4(−1, 6)=(−9, −6)−(−4, 24)=(−5, −30)

4 Existem escalares que ligam dois vetores?

Dados u = (3, −4) e v = (−9/4, 3), verificar se existem números a e b tais que u = av e v = bu.

Método. Igualdade de vetores é igualdade coordenada a coordenada. Monte o sistema.

De u = av: (3, −4) = a(−9/4, 3), isto é

3 = −(9/4)a ⟹ a = −4/3 e −4 = 3a ⟹ a = −4/3

As duas equações dão o mesmo a. Logo a = −4/3 existe.

De v = bu: (−9/4, 3) = b(3, −4), isto é

−9/4 = 3b ⟹ b = −3/4 e 3 = −4b ⟹ b = −3/4

Resposta: a = −4/3 e b = −3/4. Os vetores são paralelos, e cada um é múltiplo do outro.

5 Escrever um vetor como combinação de outros dois

Dados u = (2, −4), v = (−5, 1) e w = (−12, 6), determinar k₁ e k₂ tais que w = k₁u + k₂v.

Método. Escreva a igualdade em coordenadas e resolva o sistema 2×2.

(−12, 6)= k_1(2, −4)+ k_2(−5, 1)=(2k_1 − 5k_2 , −4k_1 + k_2)

Sistema:

2k_1 − 5k_2 = −12 e −4k_1 + k_2 = 6

Da segunda: k₂ = 6 + 4k₁. Substituindo na primeira:

2k_1 − 5(6 + 4k_1)= −12 ⟹ 2k_1 − 30 − 20k_1 = −12 ⟹ −18k_1 = 18 ⟹ k_1 = −1

E então k₂ = 6 + 4(−1) = 2.

Resposta: k₁ = −1 e k₂ = 2.

6 Achar um ponto a partir de uma igualdade de vetores

Dados A(−1, 3), B(1, 0), C(2, −1), determinar D tal que DC = BA.

Método. Escreva os dois vetores e iguale. Cuidado: em DC, o D é a origem, então DC = C − D.

BA = A − B =(−1−1, 3−0)=(−2, 3)

DC = C − D =(2 − x(D), −1 − y(D))

Igualando:

2 − x(D)= −2 ⟹ x(D)= 4 e −1 − y(D)= 3 ⟹ y(D)= −4

Resposta: D = (4, −4).

ESTE É UM DOS EXERCÍCIOS RESOLVIDOS À MÃO PELO PROFESSOR

Na página 1 das Anotações da Aula de Revisão ele faz exatamente esta conta, e escreve ao lado, em azul: "ponto ↔ par ordenado". É o aviso de que D é um ponto, mas entra na conta como par ordenado.

7 Ponto médio, sem usar a fórmula do ponto médio

Dados A(2, −3, 1) e B(4, 5, −2), determinar o ponto P tal que AP = PB.

Método. Chame P = (x, y, z), monte os dois vetores e iguale coordenada a coordenada.

AP = P − A =(x−2, y+3, z−1)PB = B − P =(4−x, −5−y, −2−z)

Equação · Resolvendo · Resultado

x − 2 = 4 − x · 2x = 6 · x = 3

y + 3 = −5 − y · 2y = −8 · y = −4

z − 1 = −2 − z · 2z = −1 · z = −1/2

Resposta: P = (3, −4, −1/2).

Observação: P é o ponto médio de AB, o que era esperado, já que o deslocamento de A até P é igual ao de P até B.

8 Múltiplo de um vetor entre pontos

Dados A(−1, 2, 3) e B(4, −2, 0), determinar P tal que AP = 3AB.

Método. Isole P: se P − A = 3(B − A), então P = A + 3(B − A).

AB = B − A =(5, −4, −3)3AB =(15, −12, −9)

P = A + 3AB =(−1, 2, 3)+(15, −12, −9)

Resposta: P = (14, −10, −6).

9 Equação vetorial simples

Determinar v sabendo que (3, 7, 1) + 2v = (6, 10, 4) − v.

Método. Junte os v de um lado.

2v + v =(6, 10, 4)−(3, 7, 1)⟹ 3v =(3, 3, 3)

Resposta: v = (1, 1, 1).

10 Combinação linear no espaço

Encontrar a₁ e a₂ tais que w = a₁v₁ + a₂v₂, sendo v₁ = (1, −2, 1), v₂ = (2, 0, −4) e w = (−4, −4, 14).

Método. Sistema com três equações e duas incógnitas. Use as duas mais simples e confira na terceira.

(−4, −4, 14)= a_1(1, −2, 1)+ a_2(2, 0, −4)

Coordenada · Equação

x · a₁ + 2a₂ = −4

y · −2a₁ = −4

z · a₁ − 4a₂ = 14

Da equação de y: a₁ = 2. Substituindo na de x: 2 + 2a₂ = −4 ⟹ a₂ = −3.

Conferindo na de z: 2 − 4(−3) = 2 + 12 = 14 (confere)

Resposta: a₁ = 2 e a₂ = −3.

11 Paralelismo com incógnitas

Determinar a e b de modo que u = (4, 1, −3) e v = (6, a, b) sejam paralelos.

Método. Paralelos ⟺ coordenadas proporcionais. Monte a cadeia de razões.

4/6 = 1/a = −3/b

Da primeira igualdade: 4a = 6 ⟹ a = 3/2

Da segunda: 4b = 6·(−3) = −18 ⟹ b = −9/2

Resposta: a = 3/2 e b = −9/2.

12 Pontos colineares

Verificar se são colineares os pontos: (a) A(−1, −5, 0), B(2, 1, 3), C(−2, −7, −1); (b) A(2, 1, −1), B(3, −1, 0), C(1, 0, 4).

Método. A, B e C são colineares ⟺ AB ∥ BC. Teste a proporcionalidade por multiplicação cruzada, que não quebra se alguma coordenada for zero.

Item (a)

AB = B − A =(3, 6, 3)BC = C − B =(−4, −8, −4)

Cruzando os dois primeiros pares: 3·(−8) = −24 e 6·(−4) = −24. Iguais. E o terceiro par confirma. Aliás, BC = −(4/3)·AB.

Resposta (a): sim, são colineares.

Item (b)

AB = B − A =(1, −2, 1)BC = C − B =(−2, 1, 4)

Cruzando: 1·1 = 1 e (−2)·(−2) = 4. Diferentes.

Resposta (b): não são colineares.

13 Colinearidade com incógnitas

Calcular a e b de modo que sejam colineares os pontos A(3, 1, −2), B(1, 5, 1) e C(a, b, 7).

Método. Monte AB e BC e imponha proporcionalidade. A coordenada z é a única totalmente conhecida nos dois, comece por ela.

AB = B − A =(−2, 4, 3)BC = C − B =(a−1, b−5, 6)

Pela terceira coordenada, a razão é 6/3 = 2. Logo BC = 2·AB:

a − 1 = 2·(−2)= −4 ⟹ a = −3

b − 5 = 2·4 = 8 ⟹ b = 13

Resposta: a = −3 e b = 13.

14 Provar que quatro pontos formam um paralelogramo

Mostrar que A(4, 0, 1), B(5, 1, 3), C(3, 2, 5) e D(2, 1, 3) são vértices de um paralelogramo.

Método. Um quadrilátero é paralelogramo quando um par de lados opostos é paralelo e de mesmo comprimento, o que, em vetores, é simplesmente AB = DC.

AB = B − A =(5−4, 1−0, 3−1)=(1, 1, 2)

DC = C − D =(3−2, 2−1, 5−3)=(1, 1, 2)

Como AB = DC, os lados AB e DC são paralelos e têm o mesmo comprimento. Logo ABCD é um paralelogramo. ∎

Observação: provar com um par de lados basta; não é preciso testar o outro par.

15 Ponto simétrico

Determinar o simétrico do ponto P(3, 1, −2) em relação ao ponto A(−1, 0, −3).

Método. "Simétrico em relação a A" significa que A é o ponto médio entre P e o simétrico P′. Então A = (P + P′)/2, e portanto P′ = 2A − P.

P′ = 2(−1, 0, −3)−(3, 1, −2)=(−2, 0, −6)−(3, 1, −2)

Resposta: P′ = (−5, −1, −4).

CAPÍTULO 3, PRODUTOS DE VETORES (EXERCÍCIOS 1 A 41)

Do exercício 1 ao 41 o assunto é produto escalar: norma, ângulo, ortogonalidade, cossenos diretores e projeção. Estão nas páginas 91 a 93 do PDF da Lista; o gabarito, nas páginas 97 e 98.

1 Equação com produto escalar e incógnita

Dados u = (1, a, −2a−1), v = (a, a−1, 1) e w = (a, −1, 1), determinar a de modo que ⟨u, v⟩ = ⟨u+v, w⟩.

Método. Calcule os dois lados em função de a e iguale.

Lado esquerdo:

⟨u, v⟩ = 1·a + a(a−1)+(−2a−1)·1 = a + a^2 − a − 2a − 1 = a^2 − 2a − 1

Lado direito. Primeiro u + v = (1+a, 2a−1, −2a):

⟨u+v, w⟩ =(1+a)a +(2a−1)(−1)+(−2a)(1)= a + a^2 − 2a + 1 − 2a = a^2 − 3a + 1

Igualando:

a^2 − 2a − 1 = a^2 − 3a + 1 ⟹ a = 2

Resposta: a = 2.

2 Isolar um vetor com produto escalar dentro

Dados A(−1, 0, 2), B(−4, 1, 1) e C(0, 1, 3), determinar x tal que 2x − AB = x + ⟨BC, AB⟩·AC.

Método. Note que ⟨BC, AB⟩ é um número, não um vetor. Isole x normalmente.

2x − x = AB + ⟨BC, AB⟩·AC ⟹ x = AB + ⟨BC, AB⟩·AC

Os vetores:

AB =(−3, 1, −1)BC =(4, 0, 2)AC =(1, 1, 1)

O escalar:

⟨BC, AB⟩ = 4(−3)+ 0(1)+ 2(−1)= −12 − 2 = −14

Substituindo:

x =(−3, 1, −1)− 14(1, 1, 1)=(−3−14, 1−14, −1−14)

Resposta: x = (−17, −13, −15).

3 Equação vetorial

Determinar v sabendo que (3, 7, 1) + 2v = (6, 10, 4) − v.

É o mesmo exercício 9 do capítulo 2. Resposta: v = (1, 1, 1).

4 Versor de uma combinação

Dados A(1, 2, 3), B(−6, −2, 3) e C(1, 2, 1), determinar o versor do vetor 3BA − 2BC.

Método. Monte o vetor, calcule a norma, divida.

BA = A − B =(7, 4, 0)BC = C − B =(7, 4, −2)

3BA − 2BC =(21, 12, 0)−(14, 8, −4)=(7, 4, 4)

|(7, 4, 4)| = √(49 + 16 + 16)= √81 = 9

Resposta: versor = (7/9, 4/9, 4/9).

5 Verificar se são unitários

Verificar se são unitários u = (1, 1, 1) e v = (1/√6, −2/√6, 1/√6).

|u| = √(1+1+1)= √3 ≈ 1,73 ≠ 1

|v| = √(1/6 + 4/6 + 1/6)= √(6/6)= √1 = 1

Resposta: u não é unitário; v é unitário.

6 Achar a coordenada que torna o vetor unitário

Determinar n para que v = (n, 2/5, 4/5) seja unitário.

n^2 + 4/25 + 16/25 = 1 ⟹ n^2 = 1 − 20/25 = 5/25 = 1/5

n = ±1/√5 = ±√5/5

Resposta: n = ± √5/5.

7 Norma dada, com incógnita

Seja v = (m+7)i + (m+2)j + 5k. Calcular m para que |v| = √38.

Método. Eleve os dois lados ao quadrado, some sempre isso antes de qualquer coisa, para eliminar a raiz.

(m+7)^2 +(m+2)^2 + 25 = 38

m^2 + 14m + 49 + m^2 + 4m + 4 + 25 = 38 ⟹ 2m^2 + 18m + 40 = 0 ⟹ m^2 + 9m + 20 = 0

Discriminante: 81 − 80 = 1. Raízes: m = (−9 ± 1)/2.

Resposta: m = −4 ou m = −5.

8 Norma de uma combinação, com incógnita

Dados A(1, 0, −1), B(4, 2, 1) e C(1, 2, 0), determinar m para que |v| = 7, sendo v = m·AC + BC.

AC = C − A =(0, 2, 1)BC = C − B =(−3, 0, −1)

v = m(0, 2, 1)+(−3, 0, −1)=(−3, 2m, m−1)

9 + 4m^2 +(m−1)^2 = 49 ⟹ 9 + 4m^2 + m^2 − 2m + 1 = 49 ⟹ 5m^2 − 2m − 39 = 0

Discriminante: 4 + 780 = 784 = 28². Raízes: m = (2 ± 28)/10.

Resposta: m = 3 ou m = −13/5.

9 Distância entre pontos com incógnita

Dados A(3, m−1, −4) e B(8, 2m−1, m), determinar m de modo que |AB| = √35.

AB = B − A =(5, m, m+4)

25 + m^2 +(m+4)^2 = 35 ⟹ 25 + m^2 + m^2 + 8m + 16 = 35 ⟹ 2m^2 + 8m + 6 = 0 ⟹ m^2 + 4m + 3 = 0

Resposta: m = −1 ou m = −3.

10 Perímetro de um triângulo

Calcular o perímetro do triângulo de vértices A(0, 1, 2), B(−1, 0, −1) e C(2, −1, 0).

Método. Perímetro é a soma das três normas.

Lado · Vetor · Conta · Medida

AB · (−1, −1, −3) · √(1+1+9) · √11

BC · (3, −1, 1) · √(9+1+1) · √11

AC · (2, −2, −2) · √(4+4+4) · √12 = 2√3

Resposta: perímetro = 2√11 + 2√3 = 2(√11 + √3) ≈ 10,10.

11 Ponto do eixo x equidistante de dois pontos

Obter um ponto P do eixo das abscissas equidistante dos pontos A(2, −3, 1) e B(−2, 1, −1).

Método. P está no eixo x, logo P = (x, 0, 0). Iguale as distâncias ao quadrado, evita raízes.

(x−2)^2 + 9 + 1 =(x+2)^2 + 1 + 1

x^2 − 4x + 4 + 10 = x^2 + 4x + 4 + 2

Agora cancele o que aparece idêntico nos dois lados: o x² e o +4. Sobra:

−4x + 10 = 4x + 2 ⟹ 10 − 2 = 4x + 4x ⟹ 8x = 8

Resposta: P = (1, 0, 0).

12 Ângulo interno de um triângulo

Seja o triângulo de vértices A(−1, −2, 4), B(−4, −2, 0) e C(3, −2, 1). Determinar o ângulo interno ao vértice B.

Método. Os dois vetores têm de sair de B: use BA e BC, e não AB e BC.

BA = A − B =(3, 0, 4)BC = C − B =(7, 0, 1)

⟨BA, BC⟩ = 21 + 0 + 4 = 25

|BA| = √(9+16)= 5 |BC| = √(49+1)= √50 = 5√2

cos B̂ = 25/(5 · 5√2)= 25/(25√2)= 1/√2 = √2/2

Resposta: B̂ = 45°.

13 Produto escalar num triângulo equilátero

A, B e C são vértices de um triângulo equilátero de lado 10 cm. Calcular ⟨AB, AC⟩.

Método. Não há coordenadas. Use a fórmula geométrica: num equilátero, todos os ângulos internos valem 60°, e os lados valem 10.

⟨AB, AC⟩ = |AB|·|AC|·cos 60° = 10 · 10 ·(1/2)

Resposta: 50.

14 Soma de três produtos escalares num triângulo retângulo

Os lados de um triângulo retângulo ABC (reto em A) medem 5, 12 e 13. Calcular ⟨AB, AC⟩ + ⟨BA, BC⟩ + ⟨CA, CB⟩.

Método. Trate uma parcela de cada vez, usando o ângulo de cada vértice.

Em A: o ângulo é reto, logo ⟨AB, AC⟩ = 0.

Em B: ⟨BA, BC⟩ = |BA|·|BC|·cos B̂. Mas |BA|·cos B̂ é a projeção do cateto BA sobre a hipotenusa BC, que vale… mais simples é usar o triângulo: como o ângulo reto está em A, os catetos são AB = 5 e AC = 12 (ou vice-versa), e a hipotenusa é BC = 13. Então cos B̂ = cateto adjacente / hipotenusa = 5/13, e:

⟨BA, BC⟩ = 5 · 13 ·(5/13)= 25

Em C: cos Ĉ = 12/13, e

⟨CA, CB⟩ = 12 · 13 ·(12/13)= 144

Resposta: 0 + 25 + 144 = 169.

Observação elegante: 169 = 13², o quadrado da hipotenusa. Não é coincidência, é o Teorema de Pitágoras aparecendo de novo.

15 Os três ângulos de um triângulo

Determinar os ângulos do triângulo de vértices A(2, 1, 3), B(1, 0, −1) e C(−1, 2, 1).

Método. Um ângulo por vértice, sempre com os dois vetores saindo dele.

Vértice · Vetores · Produto escalar · Normas · cos

A · AB = (−1,−1,−4), AC = (−3,1,−2) · 3 − 1 + 8 = 10 · √18 e √14 · 10/(3√28)

B · BA = (1,1,4), BC = (−2,2,2) · −2 + 2 + 8 = 8 · √18 e √12 · 2√6/9

C · CA = (3,−1,2), CB = (2,−2,−2) · 6 + 2 − 4 = 4 · √14 e √12 · 2/√42

Resposta:

 = arc cos [10/(3√28)] ≈ 50,95°

B̂ = arc cos [2√6/9] ≈ 57,02°

Ĉ = arc cos [2/√42] ≈ 72,02°

Confira: 50,95 + 57,02 + 72,02 ≈ 180° (confere), sempre faça essa soma.

16 Ângulo dado, incógnita no vetor

Sabendo que o ângulo entre u = (2, 1, −1) e v = (1, −1, m+2) é π/3, determinar m.

Método. π/3 = 60°, e cos 60° = 1/2. Monte a equação e eleve ao quadrado.

⟨u, v⟩ = 2 − 1 −(m+2)= −m − 1

|u| = √6 |v| = √(1 + 1 +(m+2)^2)= √(m^2 + 4m + 6)

(−m−1)/[√6 · √(m^2+4m+6)] = 1/2

Elevando ao quadrado: 4(m+1)² = 6(m² + 4m + 6), ou seja 4m² + 8m + 4 = 6m² + 24m + 36, isto é 2m² + 16m + 32 = 0, ou m² + 8m + 16 = 0, cuja raiz dupla é m = −4.

Verificando o sinal (elevar ao quadrado pode criar solução falsa): com m = −4, ⟨u,v⟩ = −(−4) − 1 = 3 > 0, coerente com cos 60° > 0. (confere)

Resposta: m = −4.

17 Ângulo com um vetor da base

Calcular n para que seja de 30° o ângulo entre u = (1, n, 2) e j.

Método. j = (0, 1, 0). O produto escalar com j simplesmente extrai a coordenada y.

⟨u, j⟩ = n |u| = √(n^2 + 5)|j| = 1

n/√(n^2+5)= cos 30° = √3/2

Elevando ao quadrado: 4n² = 3(n² + 5) ⟹ n² = 15.

Resposta: n = ± √15. (A rigor, só n = +√15 dá ângulo de 30°; n = −√15 dá 150°. O gabarito do livro traz os dois.)

18 Ortogonalidade com parâmetro

Dados a = (2, 1, α), b = (α+2, −5, 2) e c = (2α, 8, α), determinar α para que a + b seja ortogonal a c − a.

a + b =(α+4, −4, α+2)c − a =(2α−2, 7, 0)

Impondo produto escalar nulo:

(α+4)(2α−2)+(−4)(7)+(α+2)(0)= 0

2α^2 + 6α − 8 − 28 = 0 ⟹ 2α^2 + 6α − 36 = 0 ⟹ α^2 + 3α − 18 = 0

Discriminante: 9 + 72 = 81. Raízes: α = (−3 ± 9)/2.

Resposta: α = 3 ou α = −6.

19 Vetor paralelo com produto escalar dado

Determinar v, paralelo a u = (1, −1, 2), tal que ⟨v, u⟩ = −18.

Método. Paralelo significa v = k·u. Substitua e ache k.

⟨k·u, u⟩ = k·|u|^2 = k·6 = −18 ⟹ k = −3

Resposta: v = −3(1, −1, 2) = (−3, 3, −6).

20 Ortogonal a um, colinear a outro

Determinar v ortogonal a u = (2, −3, −12) e colinear a w = (−6, 4, −2).

Método. Colinear a w significa v = t·w. Impor ortogonalidade a u dá ⟨t·w, u⟩ = t·⟨w, u⟩ = 0.

Mas repare:

⟨w, u⟩ =(−6)(2)+(4)(−3)+(−2)(−12)= −12 − 12 + 24 = 0

Ou seja, w já é ortogonal a u. Logo a condição vale para qualquer t, e há infinitas soluções.

Resposta: v = t(3, −2, 1), com t ∈ ℝ (usando o vetor (3, −2, 1), que é −½ de w e aponta na mesma direção).

21 Colinear com produto escalar dado

Determinar v, colinear a u = (−4, 2, 6), tal que ⟨v, w⟩ = −12, sendo w = (−1, 4, 2).

v = k(−4, 2, 6)

⟨v, w⟩ = k[(−4)(−1)+(2)(4)+(6)(2)] = k(4 + 8 + 12)= 24k = −12 ⟹ k = −1/2

Resposta: v = −½(−4, 2, 6) = (2, −1, −3).

22 Provar que um triângulo é retângulo

Provar que A(5, 1, 5), B(4, 3, 2) e C(−3, −2, 1) são vértices de um triângulo retângulo.

Método. Teste os produtos escalares nos três vértices até um dar zero.

BA = A − B =(1, −2, 3)BC = C − B =(−7, −5, −1)

⟨BA, BC⟩ =(1)(−7)+(−2)(−5)+(3)(−1)= −7 + 10 − 3 = 0

Produto escalar nulo ⟹ BA ⊥ BC ⟹ o ângulo em B é reto. Logo o triângulo é retângulo. ∎

ESTE É O IRMÃO GÊMEO DA QUESTÃO 2 DA PROVA

Mesma estrutura, números diferentes. Se você fizer este exercício com fluência, a questão 2 da P1 sai em menos de doze minutos.

Diferença: aqui só se pede a prova; na prova o professor ainda pede as normas, Pitágoras, a área pelos catetos e a área pelo produto vetorial.

23 Ortogonalidade com parâmetro

Qual o valor de α para que a = αi + 5j − 4k e b = (α+1)i + 2j + 4k sejam ortogonais?

⟨a, b⟩ = α(α+1)+ 10 − 16 = α^2 + α − 6 = 0

Discriminante: 1 + 24 = 25. Raízes: α = (−1 ± 5)/2.

Resposta: α = 2 ou α = −3.

24 Existe ângulo reto?

Verificar se existe ângulo reto no triângulo ABC, sendo A(2, 1, 3), B(3, 3, 5) e C(0, 4, 1).

Método. Teste os três vértices, sempre com os vetores saindo do vértice.

Vértice · Vetores · Produto escalar

A · AB = (1, 2, 2), AC = (−2, 3, −2) · −2 + 6 − 4 = 0

B · BA = (−1,−2,−2), BC = (−3, 1, −4) · 3 − 2 + 8 = 9

C · CA = (2,−3, 2), CB = (3, −1, 4) · 6 + 3 + 8 = 17

Resposta: sim, o ângulo reto está no vértice A.

25 Ângulos diretores possíveis?

Os ângulos diretores de um vetor podem ser 45°, 60° e 90°? Justificar.

Método. Os cossenos diretores sempre satisfazem cos²α + cos²β + cos²γ = 1 (porque são as coordenadas de um versor). Teste.

cos^245° + cos^260° + cos^290° =(√2/2)^2 +(1/2)^2 + 0^2 = 1/2 + 1/4 + 0 = 3/4

Como 3/4 ≠ 1, não podem. ∎

Resposta: não.

26 Achar o terceiro ângulo diretor

Os ângulos diretores de um vetor são 45°, 60° e γ. Determinar γ.

1/2 + 1/4 + cos^2γ = 1 ⟹ cos^2γ = 1/4 ⟹ cos γ = ± 1/2

Resposta: γ = 60° ou γ = 120°.

27 Vetor com três condições

Determinar v, sabendo que |v| = 5, v é ortogonal ao eixo Oz, ⟨v, w⟩ = 6 e w = 2j + 3k.

Método. Traduza cada condição numa equação.

Ortogonal a Oz significa ⟨v, k⟩ = 0, ou seja z = 0. Logo v = (x, y, 0).

⟨v, w⟩ = 6 com w = (0, 2, 3): 2y = 6 ⟹ y = 3.

|v| = 5: x² + 9 = 25 ⟹ x² = 16 ⟹ x = ±4.

Resposta: v = (4, 3, 0) ou v = (−4, 3, 0).

28 Vetor a partir de dois cossenos diretores

Sabe-se que |v| = 2, cos α = 1/2 e cos β = −1/4. Determinar v.

Método. As coordenadas são |v| vezes os cossenos diretores. O terceiro sai da identidade.

cos^2γ = 1 − 1/4 − 1/16 = 11/16 ⟹ cos γ = ± √11/4

v = 2·(cos α, cos β, cos γ)= 2·(1/2, −1/4, ±√11/4)

Resposta: v = (1, −1/2, ± √11/2).

29 Unitário ortogonal a um vetor dado

Determinar um vetor unitário ortogonal a v = (2, −1, 1).

Método. Há infinitas soluções. Escolha um vetor simples que anule o produto escalar e normalize. Tomando a primeira coordenada zero: ⟨(0, y, z), (2,−1,1)⟩ = −y + z = 0 ⟹ y = z. Escolha (0, 1, 1).

|(0, 1, 1)| = √2

Resposta (uma entre infinitas): (0, 1/√2, 1/√2).

30 Vetor de módulo dado, paralelo a outro

Determinar um vetor de módulo 5 paralelo ao vetor v = (1, −1, 2).

Método. Versor, depois multiplica pelo módulo pedido.

|v| = √6 versor =(1/√6, −1/√6, 2/√6)

5·versor =(5/√6, −5/√6, 10/√6)

Resposta: ± (5/√6, −5/√6, 10/√6), os dois sinais valem, porque "paralelo" admite os dois sentidos.

Racionalizando, que é como a resposta deve ser entregue (Módulo 0, seção B.3): multiplique cada coordenada por , lembrando que √6·√6 = 6.

5/√6 = 5√6/6 10/√6 = 10√6/6 = 5√6/3

Forma racionalizada: ± ( 5√6/6 , −5√6/6 , 5√6/3 ). O gabarito do livro para na forma anterior; as duas valem, mas esta é a que segue a convenção.

31 Ortogonal a dois, com módulo e sentido dados

O vetor v é ortogonal a u = (2, −1, 3) e w = (1, 0, −2) e forma ângulo agudo com j. Calcular v, sabendo que |v| = 3√6.

Método. Um vetor ortogonal a dois vetores é o produto vetorial deles (Módulo 3 do Guia). Depois ajusta-se o módulo e o sentido.

u ∧ w = | i j k ; 2 −1 3 ; 1 0 −2 | =(2, 7, 1)

|u ∧ w| = √(4 + 49 + 1)= √54 = 3√6

O módulo já é exatamente o pedido. E a segunda coordenada é 7 > 0, logo o ângulo com j é agudo, a condição está satisfeita sem trocar o sinal.

Resposta: v = (2, 7, 1).

32 Vetor com duas condições de produto escalar

Determinar v, ortogonal ao eixo Oz, que satisfaz ⟨v, v₁⟩ = 10 e ⟨v, v₂⟩ = −5, sendo v₁ = (2, 3, −1) e v₂ = (1, −1, 2).

Método. Ortogonal a Oz ⟹ z = 0, logo v = (x, y, 0). Monte o sistema 2×2.

2x + 3y = 10 e x − y = −5

Da segunda: x = y − 5. Substituindo: 2(y−5) + 3y = 10 ⟹ 5y = 20 ⟹ y = 4, e x = −1.

Resposta: v = (−1, 4, 0).

33 Vetor projeção

Determinar o vetor projeção do vetor u = (1, 2, −3) na direção de v = (2, 1, −2).

Método. Fórmula da projeção, com |v|² no denominador.

⟨u, v⟩ = 2 + 2 + 6 = 10 |v|^2 = 4 + 1 + 4 = 9

proj_(v_)u =(10/9)·(2, 1, −2)

Resposta: (20/9, 10/9, −20/9), ou seja (10/9)(2, 1, −2).

O GABARITO DO LIVRO ESTÁ ERRADO NESTE

Ele imprime (10/9)(2, 1, −1). O correto é (10/9)(2, 1, −2): a projeção sobre v é sempre um múltiplo de v, e v = (2, 1, −2). É erro de digitação do livro.

34 Comprimento de uma projeção sobre um eixo

Qual o comprimento do vetor projeção de u = (3, 5, 2) sobre o eixo dos x?

Método. Projetar sobre o eixo x é projetar sobre i = (1, 0, 0), e isso simplesmente extrai a primeira coordenada.

proj_(i_)u = ⟨u, i⟩ · i = 3i =(3, 0, 0)

Resposta: 3.

35 Cossenos diretores do vetor oposto

Se AB tem cossenos diretores p, q, r e ângulos diretores α, β, γ, quais são os cossenos e os ângulos diretores de BA?

Método. BA = −AB. Multiplicar por −1 troca o sinal de todas as coordenadas, logo troca o sinal de todos os cossenos diretores. E cos(180° − θ) = −cos θ.

Resposta: os cossenos diretores de BA são −p, −q, −r, e os ângulos diretores são π−α, π−β, π−γ.

36 Demonstração: soma ortogonal à diferença

Mostrar que, se u + v é ortogonal a u − v, então |u| = |v|.

Demonstração.

Por hipótese, ⟨u + v, u − v⟩ = 0. Abrindo pela distributiva:

⟨u,u⟩ − ⟨u,v⟩ + ⟨v,u⟩ − ⟨v,v⟩ = 0

Como o produto escalar é comutativo, ⟨u,v⟩ = ⟨v,u⟩ e os dois termos do meio se cancelam:

⟨u,u⟩ − ⟨v,v⟩ = 0 ⟹ |u|^2 = |v|^2

E como normas são não negativas, |u| = |v|. ∎

Leitura geométrica: u + v e u − v são as duas diagonais do paralelogramo formado por u e v. As diagonais só são perpendiculares quando o paralelogramo é um losango, isto é, quando os lados têm o mesmo comprimento.

37 Demonstração: ortogonal a dois, ortogonal à soma

Mostrar que, se u é ortogonal a v e a w, então u é ortogonal a v + w.

Demonstração.

Por hipótese, ⟨u, v⟩ = 0 e ⟨u, w⟩ = 0. Pela distributiva:

⟨u, v + w⟩ = ⟨u, v⟩ + ⟨u, w⟩ = 0 + 0 = 0

Logo u é ortogonal a v + w. ∎

38 Módulo da soma e da diferença, sem coordenadas

Calcular |u + v| e |u − v|, sabendo que |u| = 4, |v| = 3 e o ângulo entre u e v é de 60°.

Método. Eleve ao quadrado e abra usando ⟨v,v⟩ = |v|².

Primeiro o produto escalar: ⟨u, v⟩ = 4 · 3 · cos 60° = 12 · ½ = 6.

|u+v|^2 = |u|^2 + 2⟨u,v⟩ + |v|^2 = 16 + 12 + 9 = 37

|u−v|^2 = |u|^2 − 2⟨u,v⟩ + |v|^2 = 16 − 12 + 9 = 13

Resposta: |u + v| = √37 e |u − v| = √13.

39 Produto escalar de combinações

Sabendo que |u| = 2, |v| = 3 e que u e v formam ângulo de 3π/4 rad, determinar |⟨2u − v, u − 2v⟩|.

Método. Abra pela distributiva e substitua.

3π/4 = 135°, e cos 135° = −√2/2. Então:

⟨u, v⟩ = 2 · 3 ·(−√2/2)= −3√2

Abrindo:

⟨2u − v, u − 2v⟩ = 2⟨u,u⟩ − 4⟨u,v⟩ − ⟨v,u⟩ + 2⟨v,v⟩ = 2|u|^2 − 5⟨u,v⟩ + 2|v|^2

= 2(4)− 5(−3√2)+ 2(9)= 8 + 15√2 + 18 = 26 + 15√2

Como 26 + 15√2 > 0, o módulo não muda nada.

Resposta: 26 + 15√2 ≈ 47,21.

40 A identidade da questão 4 da prova

Determinar ⟨u,v⟩ + ⟨u,w⟩ + ⟨v,w⟩, sabendo que u + v + w = 0⃗, |u| = 2, |v| = 3 e |w| = √5.

Método. Este é o exercício mais importante da lista para a P1. Faça-o das duas maneiras.

Caminho 1, a demonstração do zero

Como u + v + w = 0⃗, o quadrado da norma dessa soma é zero:

|u + v + w|^2 = ⟨u+v+w, u+v+w⟩ = 0

Abrindo pela distributiva, com os termos cruzados aparecendo duas vezes cada:

|u|^2 + |v|^2 + |w|^2 + 2(⟨u,v⟩ + ⟨u,w⟩ + ⟨v,w⟩)= 0

Isolando:

⟨u,v⟩ + ⟨u,w⟩ + ⟨v,w⟩ = −½(|u|^2 + |v|^2 + |w|^2)

Caminho 2, substituindo os números

= −½(2^2 + 3^2 +(√5)^2)= −½(4 + 9 + 5)= −½(18)

Resposta: −9.

ESTE EXERCÍCIO É O ITEM (I) DA QUESTÃO 4 DA PROVA

A identidade que você acabou de deduzir no Caminho 1 é exatamente a identidade (I) que o item (i) da questão 4 manda provar, só que lá os vetores são genéricos, e aqui vêm com números.

Faça este exercício duas vezes. Na segunda, escreva só a dedução, sem números. Isso é o item (i), pronto.

41 Vetor ortogonal a dois, com módulo e sentido

O vetor v é ortogonal a a = (1, 2, 0) e b = (1, 4, 3) e forma ângulo agudo com o eixo dos x. Determinar v, sabendo que |v| = 14.

Método. Produto vetorial, depois ajusta módulo e sinal.

a ∧ b = | i j k ; 1 2 0 ; 1 4 3 | =(6, −3, 2)

|a ∧ b| = √(36 + 9 + 4)= √49 = 7

Para módulo 14, basta dobrar:

v = 2(6, −3, 2)=(12, −6, 4)

A primeira coordenada é 12 > 0, logo o ângulo com o eixo x é agudo. (confere)

Resposta: v = (12, −6, 4).

TABELA DE RESPOSTAS, CONFERÊNCIA RÁPIDA

Cap. 2 · Resposta · Cap. 2 · Resposta

1 · (1, −2) · 9 · (1, 1, 1)

2a · (−15/2, 15/2) · 10 · a₁ = 2, a₂ = −3

2b · (23/5, −11/5) · 11 · a = 3/2, b = −9/2

3 · (−4,1); (2,5); (−5,−30) · 12 · a) sim b) não

4 · a = −4/3, b = −3/4 · 13 · a = −3, b = 13

5 · k₁ = −1, k₂ = 2 · 14 · AB = DC = (1,1,2)

6 · D(4, −4) · 15 · (−5, −1, −4)

7 · P(3, −4, −1/2)

8 · (14, −10, −6)

Cap. 3 · Resposta · Cap. 3 · Resposta

1 · a = 2 · 22 · ⟨BA, BC⟩ = 0

2 · (−17, −13, −15) · 23 · −3 ou 2

3 · (1, 1, 1) · 24 · ângulo reto em A

4 · (7/9, 4/9, 4/9) · 25 · não

5 · u não; v sim · 26 · 60° ou 120°

6 · ± √5/5 · 27 · (4,3,0) ou (−4,3,0)

7 · −4 ou −5 · 28 · (1, −1/2, ±√11/2)

8 · 3 ou −13/5 · 29 · (0, 1/√2, 1/√2)

9 · −1 ou −3 · 30 · ±(5/√6, −5/√6, 10/√6)

10 · 2(√11 + √3) · 31 · (2, 7, 1)

11 · P(1, 0, 0) · 32 · (−1, 4, 0)

12 · 45° · 33 · (10/9)(2, 1, −2)

13 · 50 · 34 · 3

14 · 169 · 35 · −p, −q, −r ; π−α, π−β, π−γ

15 · ≈ 50,95° ; 57,02° ; 72,02° · 38 · √37 e √13

16 · m = −4 · 39 · 26 + 15√2

17 · ± √15 · 40 · −9

18 · 3 ou −6 · 41 · (12, −6, 4)

19 · (−3, 3, −6)

20 · t(3, −2, 1), t ∈ ℝ

21 · (2, −1, −3)

PRÓXIMO PASSO

Abra o Volume 2, capítulo 3, exercícios 42 a 75: produto vetorial, área, produto misto e volume. É a parte que decide as questões 1, 2 e 3 da prova.