Geometria analítica, módulo 2: produto escalar

GUIA DA P1: GEOMETRIA ANALÍTICA

Módulo 2

Produto escalar

Ângulo, ortogonalidade e projeção, a conta que devolve um número

Guia da P1 · Autor: Ulysses Cesar · Curso de Engenharia Civil

O QUE ESTE MÓDULO ENTREGA

Três habilidades, e é com elas que você responde quase metade dos itens da prova:

1. Provar que dois vetores são perpendiculares, some os produtos das coordenadas; se der zero, é ângulo reto. É o item (b) e (c) da questão 2, e o item (b) da questão 1.

2. Achar o ângulo entre dois vetores, via cos θ = ⟨u,v⟩ / (|u|·|v|). É o item (e) da questão 3.

3. Projetar um vetor sobre outro, a "sombra" de um vetor na direção do outro. É o item (e) da questão 1, e é o que dá a altura do paralelepípedo.

O MAPA DAS TRÊS CONTAS DA DISCIPLINA

Antes de começar, fixe esta tabela. Ela evita a confusão mais frequente da matéria: três operações com nomes parecidos que produzem coisas de tipos diferentes.

Operação · Símbolo na prova · Entram · Sai · Mede

Produto escalar (interno) · ⟨u, v⟩ · 2 vetores · um número · quanto um "acompanha" o outro

Produto vetorial (externo) · u ∧ v · 2 vetores · um vetor · área do paralelogramo (na norma)

Produto misto · ⟨u, v ∧ w⟩ · 3 vetores · um número · volume do paralelepípedo

Este módulo trata da primeira linha. Os outros dois ficam para o Módulo 3.

SUMÁRIO

PARTE A: A conta

A.1 A definição algébrica

A.2 As duas notações e por que a prova usa ⟨ , ⟩

A.3 Propriedades

A.4 A ponte com a norma: ⟨v, v⟩ = |v|²

PARTE B: O significado geométrico

B.1 A fórmula com o cosseno

B.2 De onde ela vem (a lei dos cossenos)

B.3 O sinal do produto escalar classifica o ângulo

B.4 Ortogonalidade: o teste do ângulo reto

PARTE C: Ângulo entre vetores

C.1 A fórmula isolada

C.2 Exemplo trabalhado

C.3 Ângulos internos de um triângulo

C.4 Ângulos e cossenos diretores

PARTE D: Projeção ortogonal

D.1 O que é a projeção

D.2 Dedução da fórmula

D.3 As duas perguntas diferentes: o vetor projeção e o comprimento dela

D.4 Quando a projeção é a altura de um sólido

D.5 Exemplo trabalhado, o item (e) da questão 1

PARTE E: Erros que custam ponto

PARTE F: Treino com a Lista do professor

PARTE G: Onde ler mais

COMO LER OS SÍMBOLOS DESTE MÓDULO

Nenhum símbolo aqui é decoração: cada um substitui uma frase inteira. Se travar na leitura de uma equação, volte a esta tabela.

Símbolo · Lê-se · O que é

ℝ · erre, conjunto dos reais · todos os números da reta: inteiros, frações e irracionais.

θ · teta · letra grega. Nomeia um ângulo, quase sempre o ângulo entre dois vetores.

α · alfa · letra grega. Ângulo, normalmente o ângulo diretor com o eixo x.

β · beta · letra grega. Ângulo diretor com o eixo y.

γ · gama · letra grega. Ângulo diretor com o eixo z.

√ · raiz quadrada · pergunta qual número, multiplicado por ele mesmo, dá o que está sob o traço.

· · vezes · multiplicação. Usa-se o ponto para não confundir com a letra x.

× · vezes · multiplicação.

± · mais ou menos · as duas contas valem: uma com +, outra com −.

≥ · maior ou igual a · inclui o próprio valor.

≈ · aproximadamente igual a · valor arredondado, não exato.

⟹ · implica · se o lado esquerdo vale, então o direito também vale.

⟺ · se e somente se · os dois lados valem juntos: um garante o outro, nos dois sentidos.

⟨ · produto escalar (interno), escreve-se ⟨u, v⟩ · ⟨u, v⟩ multiplica coordenada por coordenada e soma. Devolve um NÚMERO. Dá zero exatamente quando os vetores são perpendiculares.

∧ · produto vetorial (externo), escreve-se u ∧ v · u ∧ v devolve um VETOR perpendicular aos dois. O comprimento dele é a área do paralelogramo.

| · módulo, ou norma, escreve-se |v| · |v| é o comprimento do vetor v; |x| é a distância de x até zero. Nunca é negativo.

⊥ · perpendicular a · formam ângulo de 90°.

sen · seno · num triângulo retângulo, cateto oposto dividido pela hipotenusa.

cos · cosseno · cateto adjacente dividido pela hipotenusa.

proj · projeção · a sombra de um vetor na direção de outro.

² (expoente 2) · ao quadrado · o número multiplicado por ele mesmo. x² é x·x.

i, j, k · i, j, k · os três vetores de comprimento 1 que apontam ao longo dos eixos x, y e z.

PARTE A: A CONTA

A.1 A definição algébrica

Dados dois vetores u = (x₁, y₁, z₁) e v = (x₂, y₂, z₂), o produto escalar é:

⟨u, v⟩ = x_1·x_2 + y_1·y_2 + z_1·z_2

Multiplique coordenada correspondente com coordenada correspondente, e some tudo. O resultado é um número real, não um vetor. Daí o nome: o produto é um escalar.

Exemplos, os da própria prova

Vetores · Conta · Resultado

AB = (4,3,0) e BC = (0,0,12) · 4·0 + 3·0 + 0·12 · 0

AB = (4,3,0) e AC = (4,3,12) · 16 + 9 + 0 · 25

AC = (4,3,12) e BC = (0,0,12) · 0 + 0 + 144 · 144

AB = (6,0,0) e AC = (3,4,0) · 18 + 0 + 0 · 18

u = (1,4,8) e v = (3,4,0) · 3 + 16 + 0 · 19

u = (1,4,8) e w = (−4,−8,−8) · −4 − 32 − 64 · −100

v = (3,4,0) e w = (−4,−8,−8) · −12 − 32 + 0 · −44

Repare na primeira linha: deu zero. Segure essa informação, ela é o coração da questão 2.

A.2 As duas notações e por que a prova usa ⟨ , ⟩

O mesmo objeto aparece escrito de dois jeitos:

u · v, notação de ponto, usada no livro do Steinbruch e Winterle e na física.

⟨u, v⟩, notação de colchetes angulares, usada pelo professor na prova.

São idênticos. Quando você abrir a Lista de Exercícios e vir "u . v = −18", leia "⟨u, v⟩ = −18".

CUIDADO COM O PONTO

Na notação com ponto há risco real de confusão: u · v (produto escalar, dá número) parece com u × v (produto vetorial, dá vetor) e com k·v (multiplicação por escalar, dá vetor).

Talvez seja exatamente por isso que o professor adotou ⟨ , ⟩ na prova. Use a notação dele quando responder, é a linguagem de quem corrige.

A.3 Propriedades

Propriedade · Enunciado · Uso na prova

Comutativa · ⟨u, v⟩ = ⟨v, u⟩ · a ordem não importa

Distributiva · ⟨u, v + w⟩ = ⟨u, v⟩ + ⟨u, w⟩ · é o que permite a demonstração do item (i) da questão 4

Com escalar · ⟨k·u, v⟩ = k·⟨u, v⟩ · tirar constante para fora

Positividade · ⟨v, v⟩ ≥ 0, e = 0 só se v = 0⃗ · garante que a norma existe

A.4 A ponte com a norma: ⟨v, v⟩ = |v|²

Faça o produto escalar de um vetor com ele mesmo:

⟨v, v⟩ = x·x + y·y + z·z = x^2 + y^2 + z^2

Mas isso é exatamente o que está dentro da raiz na fórmula da norma. Portanto:

⟨v, v⟩ = |v|^2 e, equivalentemente, |v| = √⟨v, v⟩

ESTA IGUALDADE É A CHAVE DO ITEM MAIS DIFÍCIL DA PROVA

O item (i) da questão 4 pede uma demonstração: provar que, se u + v + w = 0⃗, então

⟨u,v⟩ + ⟨u,w⟩ + ⟨v,w⟩ = −½ (|u|² + |v|² + |w|²)

A prova inteira sai de duas linhas: aplicar |·|² nos dois lados de u + v + w = 0⃗, e usar ⟨v, v⟩ = |v|² para abrir o quadrado. Está feita no Módulo 4, mas a peça-chave é esta.

PARTE B: O SIGNIFICADO GEOMÉTRICO

B.1 A fórmula com o cosseno

Existe uma segunda fórmula para a mesma operação, que não fala de coordenadas e sim de comprimentos e ângulo:

⟨u, v⟩ = |u| · |v| · cos θ

onde θ é o ângulo entre os dois vetores, medido colocando ambos saindo do mesmo ponto.

As duas fórmulas dão sempre o mesmo número. Uma é boa para calcular (a das coordenadas); a outra é boa para interpretar (a do cosseno).

B.2 De onde ela vem (a lei dos cossenos)

Não é mágica. Vale ver a dedução uma vez, porque o professor gosta de perguntar "explique o resultado obtido".

Coloque u e v saindo do mesmo ponto. O vetor que fecha o triângulo é u − v. Pela lei dos cossenos aplicada a esse triângulo:

|u − v|^2 = |u|^2 + |v|^2 − 2·|u|·|v|·cos θ

Agora abra o lado esquerdo usando ⟨v, v⟩ = |v|² e a distributiva:

|u − v|^2 = ⟨u − v, u − v⟩ = ⟨u,u⟩ − 2⟨u,v⟩ + ⟨v,v⟩ = |u|^2 − 2⟨u,v⟩ + |v|^2

Comparando as duas expressões, os termos |u|² e |v|² se cancelam e sobra:

−2⟨u, v⟩ = −2·|u|·|v|·cos θ ⟹ ⟨u, v⟩ = |u|·|v|·cos θ

B.3 O sinal do produto escalar classifica o ângulo

Como |u| e |v| são sempre positivos, o sinal do produto escalar é o sinal do cosseno. E o cosseno já classifica o ângulo (Módulo 0, seção D.2):

Se ⟨u, v⟩ é… · então cos θ é… · e o ângulo é… · os vetores…

positivo · positivo · agudo (< 90°) · apontam "mais ou menos para o mesmo lado"

zero · zero · reto (= 90°) · são perpendiculares

negativo · negativo · obtuso (> 90°) · apontam "mais ou menos para lados opostos"

LEITURA IMEDIATA DA QUESTÃO 4

Na questão 4 você calcula três produtos escalares e obtém 19, −100 e −44.

Sem nenhuma conta a mais, você já pode dizer: u e v formam ângulo agudo; u e w formam ângulo obtuso; v e w formam ângulo obtuso. Isso é interpretação geométrica, e é o tipo de frase que vale ponto nesta prova.

B.4 Ortogonalidade: o teste do ângulo reto

Este é o resultado mais usado da disciplina inteira:

u ⊥ v ⟺ ⟨u, v⟩ = 0

Em palavras: dois vetores são perpendiculares exatamente quando o produto escalar entre eles é zero.

Por que funciona: se θ = 90°, então cos 90° = 0, e o produto |u||v|·0 dá zero. E vale a volta: se o produto dá zero e nenhum dos vetores é nulo, o cosseno tem de ser zero, logo o ângulo é reto.

O QUE ISSO SUBSTITUI

Na geometria do ensino médio, provar que um ângulo é reto exigia construção, Pitágoras ou semelhança. Aqui, é uma soma de três produtos. Se der zero, acabou.

É por isso que a questão 2 da prova é uma questão de dez pontos que se resolve em doze minutos: o item (b) manda calcular três produtos escalares, e um deles dá zero. O item (c) só pede que você diga o que isso significa.

Exemplo trabalhado, os itens (b) e (c) da questão 2

Com A = (0,0,0), B = (4,3,0), C = (4,3,12), já calculamos no Módulo 1:

AB = (4, 3, 0), AC = (4, 3, 12), BC = (0, 0, 12).

Os três produtos escalares:

Produto · Conta · Resultado · Leitura

⟨AB, BC⟩ · 4·0 + 3·0 + 0·12 · 0 · AB ⊥ BC

⟨AB, AC⟩ · 4·4 + 3·3 + 0·12 · 25 · ângulo agudo

⟨AC, BC⟩ · 4·0 + 3·0 + 12·12 · 144 · ângulo agudo

Só o primeiro deu zero. Logo o ângulo reto está entre os lados AB e BC, e o vértice comum a esses dois lados é B.

COMO IDENTIFICAR O VÉRTICE, SEM ERRAR

Olhe os nomes dos dois vetores que deram produto zero: AB e BC. A letra que aparece nos dois é o vértice do ângulo reto. Aqui, B.

Uma observação técnica, caso o professor pergunte: o ângulo interno em B é o ângulo entre BA e BC, não entre AB e BC. Mas como BA = −AB, o produto escalar apenas troca de sinal: ⟨BA, BC⟩ = −⟨AB, BC⟩ = −0 = 0. Continua zero, e a conclusão vale.

PARTE C: ÂNGULO ENTRE VETORES

C.1 A fórmula isolada

Partindo de ⟨u, v⟩ = |u||v| cos θ e isolando o cosseno:

cos θ = ⟨u, v⟩/(|u| · |v|)

E, se o enunciado pedir o ângulo em si:

θ = arc cos [ ⟨u, v⟩/(|u| · |v|)]

O procedimento é sempre em três passos, e nessa ordem:

1. Calcule o produto escalar (numerador).

2. Calcule as duas normas (denominador).

3. Divida e simplifique.

C.2 Exemplo trabalhado, o item (e) da questão 3

Com A = (−2, 3, 8), B = (4, 3, 8), C = (1, 7, 8):

AB = (6, 0, 0), AC = (3, 4, 0).

Passo 1: produto escalar: ⟨AB, AC⟩ = 6·3 + 0·4 + 0·0 = 18

Passo 2: normas: |AB| = √36 = 6 ; |AC| = √(9+16) = √25 = 5

Passo 3: divisão: cos θ = 18/(6·5) = 18/30 = 3/5 = 0,6

Como 3/5 é positivo, o ângulo é agudo. E como 3/5 não é um dos valores notáveis, a resposta fica como fração mesmo, não force um ângulo "redondo".

E o seno, para o item (f)

Usando a identidade fundamental (Módulo 0, seção D.4):

sen^2θ = 1 −(3/5)^2 = 1 − 9/25 = 16/25 ⟹ sen θ = 4/5

Positivo, porque o ângulo entre dois vetores está sempre entre 0° e 180°, e nesse intervalo o seno nunca é negativo. Diga isso na prova, é o que justifica descartar a raiz negativa, e vale ponto.

C.3 Ângulos internos de um triângulo

Cuidado com um detalhe que derruba gente: para achar o ângulo interno no vértice B de um triângulo ABC, os dois vetores têm de sair de B. Ou seja, use BA e BC, e não AB e BC.

cos B̂ = ⟨BA, BC⟩/(|BA| · |BC|)

Se você usar AB em vez de BA, obtém o suplementar do ângulo (180° − B̂), e o cosseno sai com o sinal trocado.

Esse é o pedido do exercício 12 da Lista ("determinar o ângulo interno ao vértice B") e do exercício 15 ("determinar os ângulos do triângulo").

C.4 Ângulos e cossenos diretores

Os ângulos diretores de um vetor v são os ângulos α, β, γ que ele forma com os eixos x, y e z, respectivamente. Os cossenos desses ângulos são os cossenos diretores.

Como os eixos são as direções de i, j e k, a fórmula do ângulo dá diretamente:

cos α = x/|v| cos β = y/|v| cos γ = z/|v|

Ou seja: os cossenos diretores são as coordenadas do versor de v. E daí sai uma identidade que a Lista cobra nos exercícios 25, 26 e 35:

cos^2α + cos^2β + cos^2γ = 1

Porque é a norma do versor, que vale 1, elevada ao quadrado.

PARTE D: PROJEÇÃO ORTOGONAL

Esta é a parte mais difícil do módulo, e a que decide a questão 1. Vale ler devagar.

D.1 O que é a projeção

Imagine o vetor v deitado no chão, e o vetor u apontando para o alto, na diagonal. Acenda uma lâmpada exatamente perpendicular ao chão, bem acima. A sombra que u projeta sobre a reta de v é a projeção ortogonal de u sobre v.

Escreve-se proj₍v₎ u, leia "projeção de u na direção de v". Repare na ordem: quem é projetado é u; a direção é v.

A projeção de u sobre v é a sombra de u na direção de v, quando a luz vem perpendicular a v.

Duas propriedades imediatas, e ambas importam:

1. A projeção é um vetor, e ele fica sempre na mesma reta de v (é múltiplo de v).

2. A diferença u − proj₍v₎ u é perpendicular a v. Ela é a parte de u que "sobra" para fora da direção de v.

D.2 Dedução da fórmula

Como a projeção está na direção de v, ela é um múltiplo de v. Chame o múltiplo de m:

proj_(v_)u = m · v

A condição que determina m é a propriedade 2: o que sobra é perpendicular a v.

⟨ u − m·v , v ⟩ = 0

Abrindo pela distributiva:

⟨u, v⟩ − m·⟨v, v⟩ = 0

Isolando m, e usando ⟨v, v⟩ = |v|²:

m = ⟨u, v⟩/|v|^2

E portanto a fórmula:

proj_(v_)u = [ ⟨u, v⟩/|v|^2 ] · v

O ERRO NÚMERO UM DA PROJEÇÃO

É |v|² no denominador, não |v|.

O motivo é fácil de lembrar: o numerador ⟨u, v⟩ já traz um "tamanho de v" embutido; e depois você ainda multiplica pelo vetor v inteiro, que traz outro. São dois, por isso o quadrado.

Teste de sanidade que nunca falha: projete v sobre ele mesmo. Tem de dar o próprio v.

proj₍v₎ v = (⟨v,v⟩ / |v|²)·v = (|v|²/|v|²)·v = v (confere)

Se você usar |v| no denominador, esse teste falha na hora.

D.3 As duas perguntas diferentes: o vetor projeção e o comprimento dela

Preste atenção ao que o enunciado pede, porque são coisas de tipos diferentes:

Pergunta · Símbolo · Tipo · Fórmula

"determine a projeção" · proj₍v₎ u · vetor · (⟨u,v⟩/|v|²)·v

"determine o comprimento / o módulo da projeção" · |proj₍v₎ u| · número · |⟨u,v⟩| / |v|

A segunda fórmula sai da primeira: tirando a norma de (⟨u,v⟩/|v|²)·v, o escalar sai em módulo e sobra |⟨u,v⟩|·|v|/|v|² = |⟨u,v⟩|/|v|.

A questão 1 pede as duas: o item (e) pede o vetor projeção, e o item (g) pede a norma dela.

D.4 Quando a projeção é a altura de um sólido

Esta é a ideia que o item (f) da questão 1 pede para você explicar, e vale 1,2 ponto. Vale entender de verdade.

Um paralelepípedo tem uma base (um paralelogramo) e uma altura. A altura é medida perpendicularmente à base, não ao longo da aresta inclinada, e sim na vertical em relação ao plano da base.

Agora suponha que a base seja formada pelos vetores v e w, e que a terceira aresta seja u.

O vetor v ∧ w (produto vetorial, Módulo 3) é perpendicular ao plano da base. Ele aponta na direção "vertical" do sólido.

Projetar u na direção de v ∧ w é, portanto, medir quanto de u sobe na vertical.

E "quanto u sobe na vertical" é exatamente a definição de altura.

Logo:

h = | proj_(v∧w_)u |

A FRASE PARA ESCREVER NO QUADRO

"O vetor v ∧ w é normal ao plano da base. A projeção de u sobre ele isola a componente de u perpendicular à base, que é precisamente a altura do paralelepípedo. Como altura é comprimento, toma-se o módulo."

Três linhas. Valem 1,2 ponto no item (f) da questão 1.

COM NÚMEROS: A PROJEÇÃO MEDE A ALTURA, NÃO A ARESTA INCLINADA

Base no chão, formada por v = (2, 0, 0) e w = (0, 3, 0). A terceira aresta, inclinada, é u = (1, 1, 5).

Primeiro, v ∧ w = (0, 0, 6): vertical, como esperado (a base está no plano horizontal).

Depois, ⟨u, v∧w⟩ = 1·0 + 1·0 + 5·6 = 30 e |v∧w|² = 36. Logo proj = ()·(0, 0, 6) = (0, 0, 5), e a altura é h = |proj| = 5.

A aresta u mede √(1 + 1 + 25) = √27 ≈ 5,20, maior que a altura 5. Medir ao longo da aresta inclinada dá o número errado; a projeção sobre a vertical dá o certo.

Conferência: volume = área da base × altura = 6 · 5 = 30, que é |⟨u, v∧w⟩| = 30.

D.5 Exemplo trabalhado, o item (e) da questão 1

Da questão 1 já temos (Módulo 1): v ∧ w = (1, 1, 1) e u = AD = (3, 2, 7).

Passo 1: o produto escalar do numerador:

⟨u, v∧w⟩ = 3·1 + 2·1 + 7·1 = 12

Passo 2: o quadrado da norma do denominador:

|v∧w|^2 = 1^2 + 1^2 + 1^2 = 3

(Repare: não precisa tirar a raiz e elevar ao quadrado de novo. |v∧w|² é só a soma dos quadrados das coordenadas.)

Passo 3: monte a projeção:

proj_(v∧w_)u =(12/3)·(1, 1, 1)= 4 ·(1, 1, 1)=(4, 4, 4)

Passo 4: e a altura, no item (g):

h = |(4, 4, 4)| = √48 = 4√3 ≈ 6,93

PARTE E: ERROS QUE CUSTAM PONTO

Erro · Consequência · Como evitar

Usar |v| em vez de |v|² na projeção · a projeção sai com o tamanho errado · teste: proj₍v₎ v tem de dar v

Dar a projeção como número quando o enunciado pede vetor · perde o item inteiro · leia: "determine a projeção" = vetor

Usar AB e BC para achar o ângulo interno em B · o ângulo sai suplementar · ambos os vetores têm de sair do vértice

Esquecer que o seno é positivo entre 0° e 180° · responde ±4/5 e perde a justificativa · escreva a razão: 0 < θ < 180°

Concluir "perpendicular" sem dizer por quê · perde o item de explicação · escreva: ⟨u,v⟩ = 0 ⟹ cos θ = 0 ⟹ θ = 90°

Confundir ⟨u,v⟩ com u ∧ v · resposta do tipo errado · escalar dá número; vetorial dá vetor

PARTE F: TREINO COM A LISTA DO PROFESSOR

Todos os exercícios abaixo são do capítulo 3 da Lista (páginas 91 e seguintes do PDF), com gabarito no fim do arquivo.

Bloco 1, produto escalar básico

Exercícios 1, 2, 5, 6, 7, 8, 9

Bloco 2, ortogonalidade (o coração da questão 2)

Exercícios 18, 20, 22, 23, 24, 36, 37, 47.

O 22 é o irmão gêmeo da questão 2 da prova: "provar que A(5,1,5), B(4,3,2) e C(−3,−2,1) são vértices de um triângulo retângulo". O gabarito confirma: BA · BC = 0.

O 24 pede "verificar se existe ângulo reto no triângulo ABC", mesma técnica.

Bloco 3, ângulo entre vetores

Exercícios 12, 13, 14, 15, 16, 17, 38, 39, 40.

O 40 merece atenção especial: dados |u| = 2, |v| = 3, |w| = √5 e u + v + w = 0⃗, calcular u·v + u·w + v·w. Gabarito: −9. É a identidade do item (i) da questão 4 da prova, com números. Confira: −½(4 + 9 + 5) = −½·18 = −9. (confere)

Bloco 4, projeção

Exercícios 33, 34.

O 33 pede o vetor projeção de u = (1, 2, −3) na direção de v = (2, 1, −2). Faça pela fórmula: ⟨u,v⟩ = 2 + 2 + 6 = 10; |v|² = 4 + 1 + 4 = 9; logo proj = (10/9)·(2, 1, −2). O gabarito impresso traz (10/9)(2, 1, −1), é erro de digitação do livro; a terceira coordenada é −2, porque a projeção é sempre múltipla de v.

Bloco 5, cossenos diretores

Exercícios 25, 26, 28, 35

O EXERCÍCIO QUE VALE POR TRÊS

Se você tiver tempo para apenas um, faça o 40. Ele é a questão 4 da prova em miniatura: mesma hipótese (soma dos três vetores é nula), mesma identidade, números pequenos.

Faça-o duas vezes: uma com a identidade pronta, outra deduzindo do zero (elevando |u+v+w|² ao quadrado). A segunda é a demonstração que o item (i) pede.

PARTE G: ONDE LER MAIS

Assunto · Steinbruch e Winterle (páginas do PDF na sua pasta)

Produto escalar: definição e propriedades (3.1) · 40

Módulo de um vetor via produto escalar (3.2) · 41

Ângulo entre dois vetores (3.4), com a dedução do cosseno · 46 a 48

Problemas resolvidos de ângulo (3.4.3) · 48

Condição de ortogonalidade · 49 a 52

Ângulos e cossenos diretores · 53 a 57

Projeção de um vetor (3.6) · 58 a 60

Produto escalar no ℝ² (3.7) · 60

Problemas propostos do capítulo 3 · 91 em diante; gabarito nas 97 a 99

Complemento fora do livro-texto, se a lei dos cossenos da seção B.2 estiver esquecida: FME volume 3, Trigonometria, páginas 236 a 238 do PDF.

PRÓXIMO PASSO

Abra o Módulo 3, Produto vetorial e produto misto. É o módulo mais pesado da série, e o que fecha as quatro questões.

O sinal do produto escalar já classifica o ângulo, sem calcular ângulo nenhum.

O vetor v ∧ w aponta na perpendicular à base. A projeção de u sobre ele mede exatamente quanto u sobe, que é a altura h.