Geometria analítica, módulo 3: produto vetorial e produto misto

GUIA DA P1: GEOMETRIA ANALÍTICA

Módulo 3

Produto vetorial e produto misto

Área, volume e coplanaridade, onde a prova é decidida

Guia da P1 · Autor: Ulysses Cesar · Curso de Engenharia Civil

O QUE ESTE MÓDULO ENTREGA

As três respostas que o professor pede em todas as quatro questões:

1. Área. A norma do produto vetorial é a área do paralelogramo; metade dela é a área do triângulo.

2. Volume. O módulo do produto misto é o volume do paralelepípedo; um sexto dele é o volume do tetraedro.

3. Coplanaridade. Produto misto igual a zero significa que os três vetores estão no mesmo plano.

Se você sair deste módulo sabendo montar um determinante 3×3 com i, j, k sem errar o sinal do meio, e sabendo dizer o que o número resultante significa, a prova está ganha.

SUMÁRIO

PARTE A: Produto vetorial: a conta

A.1 O que ele produz

A.2 A fórmula do determinante simbólico

A.3 O passo a passo, com o sinal do meio

A.4 A conferência obrigatória

A.5 Propriedades

A.6 Regra da mão direita

PARTE B: Produto vetorial: o significado

B.1 A norma é a área do paralelogramo

B.2 Dedução da fórmula da área

B.3 Área do triângulo

B.4 Altura do triângulo a partir da área

B.5 Vetor ortogonal a dois vetores dados

PARTE C: Produto misto: a conta

C.1 Definição

C.2 Como calcular na prática

C.3 Notação

PARTE D: Produto misto: o significado

D.1 Volume do paralelepípedo, a dedução completa

D.2 Por que o módulo

D.3 Volume do tetraedro

D.4 Coplanaridade

PARTE E: O mapa de decisão

PARTE F: Erros que custam ponto

PARTE G: Treino com a Lista do professor

PARTE H: Onde ler mais

COMO LER OS SÍMBOLOS DESTE MÓDULO

Nenhum símbolo aqui é decoração: cada um substitui uma frase inteira. Se travar na leitura de uma equação, volte a esta tabela.

Símbolo · Lê-se · O que é

ℓ · ele · usado aqui como o comprimento de um lado genérico.

θ · teta · letra grega. Nomeia um ângulo, quase sempre o ângulo entre dois vetores.

√ · raiz quadrada · pergunta qual número, multiplicado por ele mesmo, dá o que está sob o traço.

· · vezes · multiplicação. Usa-se o ponto para não confundir com a letra x.

× · vezes · multiplicação.

≠ · diferente de · não é igual.

⟹ · implica · se o lado esquerdo vale, então o direito também vale.

⟺ · se e somente se · os dois lados valem juntos: um garante o outro, nos dois sentidos.

⟨ · produto escalar (interno), escreve-se ⟨u, v⟩ · ⟨u, v⟩ multiplica coordenada por coordenada e soma. Devolve um NÚMERO. Dá zero exatamente quando os vetores são perpendiculares.

∧ · produto vetorial (externo), escreve-se u ∧ v · u ∧ v devolve um VETOR perpendicular aos dois. O comprimento dele é a área do paralelogramo.

| · módulo, ou norma, escreve-se |v| · |v| é o comprimento do vetor v; |x| é a distância de x até zero. Nunca é negativo.

∥ · paralelo a · têm a mesma direção.

sen · seno · num triângulo retângulo, cateto oposto dividido pela hipotenusa.

cos · cosseno · cateto adjacente dividido pela hipotenusa.

proj · projeção · a sombra de um vetor na direção de outro.

i, j, k · i, j, k · os três vetores de comprimento 1 que apontam ao longo dos eixos x, y e z.

PARTE A: PRODUTO VETORIAL: A CONTA

A.1 O que ele produz

O produto escalar do Módulo 2 pega dois vetores e devolve um número. O produto vetorial pega dois vetores e devolve outro vetor, e um vetor muito particular:

A PROPRIEDADE QUE DEFINE O PRODUTO VETORIAL

O vetor u ∧ v é perpendicular aos dois ao mesmo tempo. Se u e v determinam um plano, então u ∧ v é perpendicular a esse plano inteiro.

Todo o resto, a fórmula, o determinante, a regra da mão direita, existe para produzir esse vetor.

O produto vetorial devolve um vetor perpendicular aos dois ao mesmo tempo, e, portanto, perpendicular ao plano que eles formam.

Guarde também o nome duplo, porque a prova usa um e o livro usa outro:

Produto externo e o símbolo ∧, na prova do professor.

Produto vetorial e o símbolo ×, no livro do Steinbruch e Winterle e na Lista.

São a mesma operação.

A.2 A fórmula do determinante simbólico

Dados u = (x₁, y₁, z₁) e v = (x₂, y₂, z₂):

u ∧ v = | i j k ; x_1 y_1 z_1 ; x_2 y_2 z_2 |

Na primeira linha entram os símbolos i, j, k. Na segunda, as coordenadas do primeiro vetor. Na terceira, as do segundo.

Isso não é um determinante de verdade, a primeira linha tem vetores, não números. É um truque de notação que faz a conta sair certa. O livro chama de "determinante simbólico".

A ORDEM DAS LINHAS IMPORTA

Se você trocar a segunda com a terceira linha, o determinante troca de sinal (propriedade 4 dos determinantes, Módulo 0, seção E.5). E de fato u ∧ v = −(v ∧ u).

Portanto: primeiro vetor do nome, segunda linha da matriz. Em AB ∧ AC, o AB vai na linha do meio.

A.3 O passo a passo, com o sinal do meio

Expanda pela primeira linha, por cofatores (Módulo 0, seção E.4), lembrando + − +:

u ∧ v = | y_1 z_1 ; y_2 z_2 | i − | x_1 z_1 ; x_2 z_2 | j + | x_1 y_1 ; x_2 y_2 | k

O procedimento mecânico, que você deve executar sem pensar:

1. Componente i: tape a coluna do x. Sobram as colunas y e z. Faça y₁z₂ − z₁y₂.

2. Componente j: tape a coluna do y. Sobram x e z. Faça x₁z₂ − z₁x₂ e troque o sinal.

3. Componente k: tape a coluna do z. Sobram x e y. Faça x₁y₂ − y₁x₂.

Exemplo trabalhado 1, o item (a) da questão 1

v = AB = (−1, 1, 0) e w = AC = (−1, 0, 1).

v ∧ w = | i j k ; −1 1 0 ; −1 0 1 |

i: tape a coluna do x → | 1 0 ; 0 1 | = 1·1 − 0·0 = 1

j: tape a coluna do y → | −1 0 ; −1 1 | = (−1)·1 − 0·(−1) = −1. Com o menos da regra: +1

k: tape a coluna do z → | −1 1 ; −1 0 | = (−1)·0 − 1·(−1) = 1

v ∧ w =(1, 1, 1)

Exemplo trabalhado 2, o item (h) da questão 2

AB = (4, 3, 0) e AC = (4, 3, 12).

i: | 3 0 ; 3 12 | = 36 − 0 = 36

j: | 4 0 ; 4 12 | = 48 − 0 = 48. Com o menos: −48

k: | 4 3 ; 4 3 | = 12 − 12 = 0

AB ∧ AC =(36, −48, 0)

Exemplo trabalhado 3, o item (a) da questão 3

AB = (6, 0, 0) e AC = (3, 4, 0).

i: | 0 0 ; 4 0 | = 0

j: | 6 0 ; 3 0 | = 0. Com o menos: 0

k: | 6 0 ; 3 4 | = 24 − 0 = 24

AB ∧ AC =(0, 0, 24)

Faz sentido geométrico: os três pontos da questão 3 têm todos z = 8, isto é, estão num plano horizontal. Um vetor perpendicular a esse plano só pode ser vertical, e (0, 0, 24) é vertical. Esse tipo de conferência mental vale ouro na prova.

A.4 A conferência obrigatória

O produto vetorial é perpendicular aos dois vetores originais. Então há um teste que sempre funciona:

⟨u, u ∧ v⟩ = 0 e ⟨v, u ∧ v⟩ = 0

Se algum dos dois não der zero, você errou a conta, quase sempre no sinal do meio.

Conferindo o exemplo 1

v = (−1, 1, 0), w = (−1, 0, 1), v ∧ w = (1, 1, 1).

⟨v, v∧w⟩ =(−1)(1)+(1)(1)+(0)(1)= −1 + 1 + 0 = 0

⟨w, v∧w⟩ =(−1)(1)+(0)(1)+(1)(1)= −1 + 0 + 1 = 0

ISSO É EXATAMENTE O ITEM (B) DA QUESTÃO 1

O professor pede: "calcule os produtos internos ⟨v, v∧w⟩ e ⟨w, v∧w⟩ e explique os resultados obtidos".

Os dois dão zero. A explicação, que é onde está o ponto, é: o produto escalar nulo significa perpendicularidade; logo os dois zeros confirmam que v ∧ w é ortogonal simultaneamente a v e a w, que é a propriedade que define o produto vetorial.

Ele está fazendo você verificar a teoria com as próprias mãos. Escreva a explicação, não só os zeros.

A.5 Propriedades

Propriedade · Enunciado · Observação

Anticomutativa · u ∧ v = −(v ∧ u) · não é comutativo; trocar a ordem inverte o vetor

Nulo em paralelos · u ∥ v ⟹ u ∧ v = 0⃗ · inclusive u ∧ u = 0⃗

Distributiva · u ∧ (v + w) = u∧v + u∧w · vale

Com escalar · (k·u) ∧ v = k·(u ∧ v) · vale

Não é associativo · u ∧ (v ∧ w) ≠ (u ∧ v) ∧ w · veja o contraexemplo logo abaixo

CONTRAEXEMPLO: POR QUE NÃO É ASSOCIATIVO

Tome os vetores da base: i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) e k = (0, 0, 1). Pelo determinante (e pela regra da mão direita), i ∧ j = k e i ∧ k = −j.

Lado esquerdo: i ∧ (i ∧ j) = i ∧ k = −j.

Lado direito: (i ∧ i) ∧ j = 0 ∧ j = 0, porque o produto vetorial de um vetor por ele mesmo é nulo.

Como −j ≠ 0, os dois lados são diferentes. Moral: numa conta com três vetores, os parênteses mandam e não se pode escolher qual produto fazer primeiro.

A.6 Regra da mão direita

A fórmula dá o vetor perpendicular, mas há dois sentidos possíveis para "perpendicular ao plano", para cima ou para baixo. Qual dos dois a fórmula escolhe?

O gesto, com a mão direita:

1. Aponte os dedos estendidos na direção do primeiro vetor, u.

2. Feche a mão, girando os dedos até a direção do segundo vetor, v.

3. O polegar esticado aponta o sentido de u ∧ v.

É a mesma mão da orientação dos eixos (Módulo 0, seção A.3). Confira: i ∧ j = k. Dedos no x, giram para o y, polegar aponta para o z. (confere)

PARTE B: PRODUTO VETORIAL: O SIGNIFICADO

B.1 A norma é a área do paralelogramo

Aqui está a razão de o produto vetorial existir na sua prova:

|u ∧ v| = área do paralelogramo determinado por u e v

Ou seja: a conta do determinante devolve um vetor, mas o comprimento desse vetor é uma área.

B.2 Dedução da fórmula da área

Vale saber, porque o professor pede explicação em três dos quatro problemas.

Existe uma segunda expressão para a norma do produto vetorial, análoga à do produto escalar:

|u ∧ v| = |u| · |v| · sen θ

Agora olhe o paralelogramo formado por u e v. Tome |u| como base. A altura é a distância perpendicular do topo até essa base, e, no triângulo retângulo formado, essa altura é o cateto oposto ao ângulo θ:

altura = |v| · sen θ

Logo:

Área = base × altura = |u| · |v| · sen θ = |u ∧ v|

Por que a norma do produto vetorial é uma área: |v|·sen θ é a altura do paralelogramo relativa à base |u|.

Essa dedução está na página 72 do PDF do Steinbruch e Winterle, com a figura.

O CONTRASTE QUE ORGANIZA TUDO

Produto escalar traz o cosseno e mede o quanto os vetores se acompanham. Máximo quando são paralelos; zero quando são perpendiculares.

Produto vetorial traz o seno e mede o quanto os vetores se abrem. Zero quando são paralelos (paralelogramo achatado, área zero); máximo quando são perpendiculares.

São complementares. Uma frase e você explica as duas operações.

B.3 Área do triângulo

A diagonal de um paralelogramo o divide em dois triângulos iguais. Logo:

Área do triângulo ABC = ½ · |AB ∧ AC|

A diagonal parte o paralelogramo em dois triângulos iguais. Por isso o triângulo é metade.

Conferindo nas duas questões da prova

Questão · Produto vetorial · Norma · Área do triângulo

2 · AB ∧ AC = (36, −48, 0) · √(1296 + 2304) = √3600 = 60 · 60/2 = 30

3 · AB ∧ AC = (0, 0, 24) · 24 · 24/2 = 12

Na questão 2, a área também sai por (cateto × cateto)/2 = (5 × 12)/2 = 30. Os dois caminhos batem, e é isso que o item (i) pede que você verifique.

B.4 Altura do triângulo a partir da área

Sabendo a área, qualquer altura sai isolando na fórmula base × altura / 2 (Módulo 0, seção C.6):

h(ℓ)= 2 · Área/ℓ

É o item (h) da questão 3, que pede as três alturas de uma vez.

B.5 Vetor ortogonal a dois vetores dados

Pergunta muito frequente na Lista: "determine um vetor ortogonal simultaneamente a u e a v".

A resposta é imediata: é o produto vetorial u ∧ v. E se pedirem unitário, divida pela norma; se pedirem de módulo m, multiplique o unitário por m.

Há sempre duas respostas, porque −(u ∧ v) também é ortogonal aos dois. Diga isso: vale ponto.

PARTE C: PRODUTO MISTO: A CONTA

C.1 Definição

O produto misto de três vetores u, v, w é:

⟨u, v ∧ w⟩

Leia da direita para a esquerda: primeiro faça o produto vetorial de v com w (que dá um vetor); depois faça o produto escalar desse resultado com u (que dá um número).

Notação alternativa do livro: (u, v, w).

C.2 Como calcular na prática

Há dois caminhos, e os dois dão o mesmo número.

Caminho 1, em duas etapas (o que a prova pede)

O enunciado da questão 1 conduz você por este caminho: primeiro calcula v ∧ w no item (a), depois faz o escalar com u no item (d). É o caminho seguro.

Caminho 2, um único determinante 3×3

Empilhe as coordenadas dos três vetores, na ordem, e calcule o determinante:

⟨u, v ∧ w⟩ = | u_1 u_2 u_3 ; v_1 v_2 v_3 ; w_1 w_2 w_3 |

Aqui é um determinante de verdade, só com números, então dá para usar Sarrus. Serve para conferir o resultado do caminho 1 em trinta segundos.

Exemplo trabalhado, o item (d) da questão 1

u = (3, 2, 7), v ∧ w = (1, 1, 1).

Pelo caminho 1:

⟨u, v∧w⟩ = 3·1 + 2·1 + 7·1 = 12

Conferindo pelo caminho 2, com u = (3,2,7), v = (−1,1,0), w = (−1,0,1):

| 3 2 7 ; −1 1 0 ; −1 0 1 |

= 3·(1·1 − 0·0) − 2·((−1)·1 − 0·(−1)) + 7·((−1)·0 − 1·(−1))

= 3·(1) − 2·(−1) + 7·(1) = 3 + 2 + 7 = 12 (confere)

C.3 Notação

Repare que não faz falta escrever parênteses em ⟨u, v ∧ w⟩: a única leitura possível é fazer o vetorial primeiro, porque ⟨u, v⟩ ∧ w seria "número ∧ vetor", que não existe.

PARTE D: PRODUTO MISTO: O SIGNIFICADO

D.1 Volume do paralelepípedo, a dedução completa

Esta dedução é o item (h) da questão 1, vale 1,5 ponto, e está na página 84 do PDF do Steinbruch e Winterle. Ela junta tudo o que você viu até aqui.

Considere o paralelepípedo cujas três arestas que saem de um mesmo vértice são os vetores u, v e w.

Passo 1: o volume de qualquer paralelepípedo.

V =(área da base)×(altura)

Passo 2: a área da base. Tome como base o paralelogramo formado por v e w. Pela Parte B:

área da base = |v ∧ w|

Passo 3: a altura. O vetor v ∧ w é perpendicular à base. Chamando de θ o ângulo entre u e v ∧ w, a altura é a projeção de u nessa direção perpendicular:

h = |u| · |cos θ|

Passo 4: juntando.

V = |v ∧ w| · |u| · |cos θ|

Volume = área da base × altura. A base é o paralelogramo de v e w; a altura é medida na perpendicular a ela.

Passo 5: reconhecendo o produto escalar. Chame a = v ∧ w. Pela definição geométrica do produto escalar (Módulo 2, seção B.1), ⟨u, a⟩ = |u|·|a|·cos θ, e portanto |⟨u, a⟩| = |u|·|a|·|cos θ|. Mas essa é exatamente a expressão do Passo 4. Logo:

V = | ⟨u, v ∧ w⟩ |

O volume do paralelepípedo é o módulo do produto misto.

O ROTEIRO DE CINCO LINHAS PARA O ITEM (H)

Escreva no quadro, nesta ordem:

1. V = área da base × altura

2. área da base = |v ∧ w|

3. a altura é a componente de u perpendicular à base, ou seja |u|·|cos θ|

4. logo V = |v ∧ w| · |u| · |cos θ|

5. e isso é |⟨u, v ∧ w⟩|, pela definição geométrica do produto escalar

Cinco linhas, 1,5 ponto.

D.2 Por que o módulo

Porque o produto misto pode dar negativo, e volume não é negativo.

O sinal do produto misto informa a orientação dos três vetores, se formam um triedro "direito" (como i, j, k) ou "esquerdo". Para volume, isso não interessa: toma-se o módulo.

Se na sua conta o produto misto der −12, o volume é 12. Escrever "volume = −12" custa ponto.

D.3 Volume do tetraedro

Um tetraedro (pirâmide de base triangular) com arestas u, v, w saindo do mesmo vértice ocupa um sexto do paralelepípedo correspondente:

V(tetraedro)=(1/6)· | ⟨u, v ∧ w⟩ |

De onde vem o 6: a base do tetraedro é metade da base do paralelepípedo (triângulo em vez de paralelogramo), e o volume de uma pirâmide é um terço do prisma de mesma base e altura. Dois vezes três, seis.

A CONFIRMAÇÃO DE QUE OS NÚMEROS DA QUESTÃO 1 ESTÃO CERTOS

O exercício 75(a) da Lista de Exercícios do professor diz: "Calcular o volume do tetraedro ABCD, sendo A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1) e D(4,2,7)." O gabarito impresso responde: 2.

São exatamente os quatro pontos da questão 1 da prova. E o volume do paralelepípedo que você calcula na questão 1 é 12, que dividido por 6 dá 2. (confere)

Ou seja: a questão 1 da prova é o exercício 75(a) da Lista, com o roteiro aberto item por item. Se o seu resultado der diferente de 12, você errou uma conta.

D.4 Coplanaridade

Se o produto misto dá zero, o paralelepípedo tem volume zero, ou seja, ele achatou. Isso só acontece quando os três vetores estão no mesmo plano:

u, v, w coplanares ⟺ ⟨u, v ∧ w⟩ = 0

Quando os três vetores caem no mesmo plano, o paralelepípedo achata e o volume é zero.

E para pontos: quatro pontos A, B, C, D estão no mesmo plano quando ⟨AB, AC ∧ AD⟩ = 0.

É A RESPOSTA DO ITEM (F) DA QUESTÃO 4

Na questão 4, o produto misto ⟨u, v ∧ w⟩ dá zero. O item (f) pergunta o significado geométrico.

Resposta: os três vetores são coplanares, estão contidos num mesmo plano, e por isso o paralelepípedo que determinariam é degenerado, de volume nulo.

E há uma razão a mais, específica daquela questão: como u + v + w = 0⃗, temos w = −u − v, isto é, w é combinação linear de u e v. Três vetores em que um é combinação dos outros dois são necessariamente coplanares.

PARTE E: O MAPA DE DECISÃO

Cole esta tabela na parede. Ela responde "o enunciado pede X, eu uso Y".

O enunciado pede · Use · Resultado

provar que dois vetores são perpendiculares · ⟨u, v⟩ · tem de dar 0

o ângulo entre dois vetores · cos θ = ⟨u,v⟩/(|u||v|) · número entre −1 e 1

provar que um triângulo é retângulo · ⟨,⟩ dos lados, ou Pitágoras nas normas · um produto dá 0

um vetor perpendicular a dois vetores · u ∧ v · vetor

a área de um paralelogramo · |u ∧ v| · número

a área de um triângulo · ½·|AB ∧ AC| · número

a altura de um triângulo · 2·Área/lado · número

o volume de um paralelepípedo · |⟨u, v ∧ w⟩| · número

o volume de um tetraedro · (1/6)·|⟨u, v ∧ w⟩| · número

provar que 3 vetores são coplanares · ⟨u, v ∧ w⟩ · tem de dar 0

provar que 4 pontos são coplanares · ⟨AB, AC ∧ AD⟩ · tem de dar 0

a altura de um paralelepípedo · |proj₍v∧w₎ u| · número

provar que dois vetores são paralelos · u ∧ v, ou coordenadas proporcionais · vetorial tem de dar 0⃗

PARTE F: ERROS QUE CUSTAM PONTO

Erro · Como evitar

Esquecer o sinal negativo da componente j · escreva + − + no canto do quadro antes de começar

Trocar a ordem das linhas do determinante · primeiro vetor do nome vai na segunda linha

Dar o volume negativo · volume é módulo do produto misto

Esquecer o ½ na área do triângulo · |u ∧ v| é a área do paralelogramo

Esquecer o 1/6 no tetraedro · paralelepípedo → tetraedro divide por 6

Responder "é a área" sem justificar · escreva a dedução: |u∧v| = |u||v|senθ = base × altura

Confundir ⟨u,v⟩ (número) com u∧v (vetor) · escalar → número; vetorial → vetor

Não conferir a ortogonalidade · ⟨u, u∧v⟩ tem de dar 0. Leva dez segundos

PARTE G: TREINO COM A LISTA DO PROFESSOR

Capítulo 3 da Lista, páginas 91 em diante do PDF, gabarito nas páginas 97 a 99.

Bloco 1, produto vetorial, conta pura

Exercícios 42, 43, 44, 50, 51, 52

Bloco 2, vetor ortogonal a dois vetores

Exercícios 45, 47, 49, 53, 61, 63.

O 49 pede um vetor unitário ortogonal a v₁ = (1,1,0) e v₂ = (2,−1,3), e depois um de módulo 5. É o procedimento completo da seção B.5.

Bloco 3, área (o coração das questões 2 e 3)

Exercícios 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60.

O 57 traz quatro triângulos para calcular área por coordenadas. Faça os quatro.

O 60 pede a altura relativa a um lado a partir da área, é o item (h) da questão 3.

Bloco 4, produto misto, coplanaridade e volume

Exercícios 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75.

O 75(a) é a questão 1 da prova. Faça-o por último, quando os outros estiverem dominados, e confira: tetraedro = 2, paralelepípedo = 12.

A SEQUÊNCIA MAIS EFICIENTE

Se o tempo apertar, faça nesta ordem: 57 (área) → 60 (altura) → 68 (coplanaridade) → 71 (volume) → 75 (a prova).

Cinco exercícios que cobrem, juntos, tudo o que as quatro questões pedem deste módulo.

PARTE H: ONDE LER MAIS

Assunto · Steinbruch e Winterle (páginas do PDF na sua pasta)

Produto vetorial: definição e determinante simbólico · 63 a 68

Propriedades do produto vetorial · 68 a 70

Interpretação geométrica: a área do paralelogramo (3.10) · 71 e 72

Problemas resolvidos de produto vetorial (3.10.1) · 72 em diante

Produto misto: definição e propriedades (3.12) · 76 a 79

Coplanaridade e o significado do misto nulo · 79

Volume do paralelepípedo, a dedução completa · 84

Volume do tetraedro · 85 a 88

Problemas propostos do capítulo 3 · 91 em diante; gabarito nas 97 a 99

Complementos, nos outros livros da sua pasta:

Assunto · Onde

Determinante 3×3, cofatores e Laplace · Determinante, a construção do conceito, páginas 2 a 7

Significado geométrico do determinante · mesmo arquivo, últimas páginas

Regra de Sarrus, para conferir · FME 4, páginas 92 a 94 do PDF

Paralelepípedo e volume de prisma · FME 10, páginas 149 a 153 e 170 a 174

PRÓXIMO PASSO

Abra o Módulo 4, As quatro questões da prova. Toda a teoria já está dada; o que falta é executar, cronometrado.