Geometria analítica, módulo 4: as quatro questões da prova

GUIA DA P1: GEOMETRIA ANALÍTICA

Módulo 4

As quatro questões da prova

Resolvidas item por item, com o roteiro dos 12 minutos e o plano dos cinco dias até a prova

Guia da P1 · Autor: Ulysses Cesar · Curso de Engenharia Civil

AS REGRAS DO JOGO

O professor postou no Classroom, em 27 de julho, o arquivo "P1 – Geometria Analítica" com as quatro questões, e escreveu:

"Essa é o arquivo com as 4 questões que vocês deverão saber resolver no dia da prova de Geometria. Lembrando que cada aluno(a) terá exatos 12 minutos para resolver a questão que for sorteada pra ele(a). Por isso, estudem, preparem e pratiquem bem a resolução dos problemas nesse arquivo."

Três consequências práticas:

1. Não há surpresa. As quatro questões deste módulo são as da prova.

2. Você precisa das quatro, porque a sua é sorteada.

3. Doze minutos, cerca de 8 ou 9 itens por questão: sobram menos de 80 segundos por item. A prova não testa descoberta; testa execução treinada.

COMO USAR ESTE MÓDULO

Não leia como texto corrido. Use assim:

Primeira passada: leia a resolução completa de cada questão, entendendo cada linha.

Segunda passada: cubra a resolução e refaça no papel, consultando só quando travar.

Terceira passada: refaça no quadro (ou numa folha em pé), falando em voz alta, com cronômetro de 12 minutos.

Só a terceira conta. O que a prova mede é a terceira.

SUMÁRIO

QUESTÃO 1, Volume do paralelepípedo

QUESTÃO 2, Triângulo retângulo no espaço

QUESTÃO 3, Área de um triângulo por três métodos

QUESTÃO 4, Identidades vetoriais e coplanaridade

PARTE E: O roteiro dos 12 minutos

PARTE F: O plano dos cinco dias que restam

PARTE G: Checklist da véspera

COMO LER OS SÍMBOLOS DESTE MÓDULO

Nenhum símbolo aqui é decoração: cada um substitui uma frase inteira. Se travar na leitura de uma equação, volte a esta tabela.

Símbolo · Lê-se · O que é

ℝ · erre, conjunto dos reais · todos os números da reta: inteiros, frações e irracionais.

θ · teta · letra grega. Nomeia um ângulo, quase sempre o ângulo entre dois vetores.

√ · raiz quadrada · pergunta qual número, multiplicado por ele mesmo, dá o que está sob o traço.

· · vezes · multiplicação. Usa-se o ponto para não confundir com a letra x.

× · vezes · multiplicação.

÷ · dividido por · divisão.

± · mais ou menos · as duas contas valem: uma com +, outra com −.

≤ · menor ou igual a · inclui o próprio valor.

≈ · aproximadamente igual a · valor arredondado, não exato.

⟨ · produto escalar (interno), escreve-se ⟨u, v⟩ · ⟨u, v⟩ multiplica coordenada por coordenada e soma. Devolve um NÚMERO. Dá zero exatamente quando os vetores são perpendiculares.

∧ · produto vetorial (externo), escreve-se u ∧ v · u ∧ v devolve um VETOR perpendicular aos dois. O comprimento dele é a área do paralelogramo.

| · módulo, ou norma, escreve-se |v| · |v| é o comprimento do vetor v; |x| é a distância de x até zero. Nunca é negativo.

∎ · fim da demonstração · marca o ponto em que a prova terminou.

sen · seno · num triângulo retângulo, cateto oposto dividido pela hipotenusa.

cos · cosseno · cateto adjacente dividido pela hipotenusa.

proj · projeção · a sombra de um vetor na direção de outro.

² (expoente 2) · ao quadrado · o número multiplicado por ele mesmo. x² é x·x.

i, j, k · i, j, k · os três vetores de comprimento 1 que apontam ao longo dos eixos x, y e z.

QUESTÃO 1, VOLUME DO PARALELEPÍPEDO

O ENUNCIADO

Vamos calcular o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores AB, AC e AD, sendo A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0), C = (0, 0, 1) e D = (4, 2, 7).

A ARQUITETURA DA QUESTÃO

Os nove itens são um roteiro: montar os vetores → achar o vetor normal à base → confirmar que ele é normal → medir a base → medir a altura por projeção → multiplicar → conferir contra o produto misto.

Cada item apoia o seguinte. Se você errar o item (a), os oito seguintes caem junto. Faça o (a) com cuidado e confira antes de seguir.

O número que fecha tudo é 12. Ele aparece duas vezes: no item (d) e no item (h). Quando as duas baterem, a questão está certa.

A questão 1 em desenho: A é o vértice de onde saem os três vetores; v e w formam a base, u é a aresta inclinada.

Item (a) [1,5], os vetores e o produto externo

Determine os vetores v = AB, w = AC e o produto externo v ∧ w.

Pela regra de ouro AB = B − A:

v = AB = B − A =(0−1, 1−0, 0−0)=(−1, 1, 0)

w = AC = C − A =(0−1, 0−0, 1−0)=(−1, 0, 1)

Agora o produto externo, pelo determinante simbólico:

v ∧ w = | i j k ; −1 1 0 ; −1 0 1 |

Componente i, tape a coluna do x: | 1 0 ; 0 1 | = 1·1 − 0·0 = 1

Componente j, tape a coluna do y: | −1 0 ; −1 1 | = −1 − 0 = −1, e com o sinal de menos da regra: +1

Componente k, tape a coluna do z: | −1 1 ; −1 0 | = 0 − (−1) = 1

v ∧ w =(1, 1, 1)

Item (b) [1,0], os produtos internos e a explicação

Calcule ⟨v, v ∧ w⟩ e ⟨w, v ∧ w⟩ e explique os resultados obtidos.

⟨v, v∧w⟩ =(−1)(1)+(1)(1)+(0)(1)= −1 + 1 + 0 = 0

⟨w, v∧w⟩ =(−1)(1)+(0)(1)+(1)(1)= −1 + 0 + 1 = 0

A explicação, que é onde está o ponto: o produto escalar de dois vetores não nulos é zero exatamente quando eles são perpendiculares. Os dois resultados nulos confirmam, portanto, que v ∧ w é ortogonal simultaneamente a v e a w, que é justamente a propriedade que define o produto vetorial. Como v e w determinam o plano da base do paralelepípedo, v ∧ w é normal a esse plano.

Item (c) [1,0], a norma e o que ela significa

Calcule |v ∧ w| e explique o que esse número significa.

|v ∧ w| = √(1^2 + 1^2 + 1^2)= √3 ≈ 1,73

O significado: a norma do produto vetorial é a área do paralelogramo determinado por v e w. Como esse paralelogramo é a base do paralelepípedo, √3 é a área da base.

Justificativa, se pedirem: |v ∧ w| = |v|·|w|·sen θ, e |w|·sen θ é a altura do paralelogramo relativa à base |v|; logo o produto é base × altura, que é a área.

Item (d) [1,0], o terceiro vetor e o produto misto

Determine u = AD e calcule o produto misto ⟨u, v ∧ w⟩.

u = AD = D − A =(4−1, 2−0, 7−0)=(3, 2, 7)

⟨u, v∧w⟩ = 3·1 + 2·1 + 7·1 = 12

Item (e) [1,0], a projeção

Determine a projeção proj₍v∧w₎ u.

Pela fórmula da projeção ortogonal:

proj_(v∧w_)u = [ ⟨u, v∧w⟩/|v∧w|^2 ] ·(v ∧ w)

O numerador já foi calculado no item (d): 12. O denominador é |v∧w|² = 1 + 1 + 1 = 3. Então:

proj_(v∧w_)u =(12/3)·(1, 1, 1)= 4 ·(1, 1, 1)=(4, 4, 4)

Item (f) [1,2], por que a projeção é a altura

Explique por que a altura h do paralelepípedo é dada por |proj₍v∧w₎ u|.

Este item é só texto. Vale 1,2 ponto e não exige nenhuma conta. Escreva assim:

A RESPOSTA, PARA COPIAR NO QUADRO

A altura de um paralelepípedo é medida perpendicularmente ao plano da base, e não ao longo da aresta inclinada u.

O vetor v ∧ w é normal a esse plano (item b). Projetar u sobre ele isola a componente de u na direção perpendicular à base, isto é, exatamente o quanto u se eleva acima do plano.

Como a altura é um comprimento, e não um vetor, toma-se o módulo dessa projeção. Logo h = |proj₍v∧w₎ u|.

Item (g) [0,8], o valor da altura

Calcule h = |proj₍v∧w₎ u| e simplifique, se possível.

h = |(4, 4, 4)| = √(16 + 16 + 16)= √48

E simplificando, como o enunciado pede:

√48 = √(16 · 3)= 4√3 ≈ 6,93

Não pare em √48. O item vale 0,8 e a palavra "simplifique" está no enunciado.

Item (h) [1,5], por que V = |v ∧ w| · h, e o volume

Explique por que o volume é dado por |v ∧ w| · h e calcule esse volume.

A explicação, em cinco linhas:

1. O volume de qualquer paralelepípedo é V = (área da base) × (altura).

2. A área da base, formada por v e w, é |v ∧ w| (item c).

3. A altura, medida perpendicularmente a essa base, é h (itens f e g).

4. Logo V = |v ∧ w| · h.

O cálculo:

V = √3 · 4√3 = 4 ·(√3 · √3)= 4 · 3 = 12

Item (i) [1,0], a comparação final

Compare o volume com o produto misto do item (d). Esses valores deveriam ser iguais? Explique.

O volume deu 12. O produto misto deu 12. São iguais.

Sim, deveriam ser iguais, e a razão é a própria dedução do item (h) escrita em símbolos:

V = |v∧w| · h = |v∧w| · |u| · |cos θ| = | ⟨u, v ∧ w⟩ |

onde θ é o ângulo entre u e v ∧ w, e a última igualdade é a definição geométrica do produto escalar. Portanto o volume do paralelepípedo é, por construção, o módulo do produto misto, e a questão inteira foi um caminho longo para verificar essa identidade.

Uma ressalva que vale ponto: são iguais em módulo. O produto misto pode ser negativo (o sinal informa a orientação dos três vetores); o volume, nunca. Aqui deu positivo, então coincidem exatamente.

CONFERÊNCIA EXTERNA

O exercício 75(a) da Lista de Exercícios do professor pede o volume do tetraedro com estes mesmos quatro pontos, e o gabarito do livro responde 2.

Como o tetraedro é um sexto do paralelepípedo: 12 ÷ 6 = 2. (confere) Sua resposta está confirmada por fonte independente.

QUESTÃO 2, TRIÂNGULO RETÂNGULO NO ESPAÇO

O ENUNCIADO

Considere o problema de mostrar que o triângulo ABC de vértices A = (0, 0, 0), B = (4, 3, 0) e C = (4, 3, 12) é um triângulo retângulo.

A ARQUITETURA DA QUESTÃO

É a mesma coisa provada duas vezes, por dois caminhos independentes, e depois a área calculada também de dois jeitos.

Caminho 1 (itens b, c): produto escalar, um deles dá zero, logo há ângulo reto.

Caminho 2 (itens d, e, f): Pitágoras nas normas, 5, 12, 13.

Depois: área pelos catetos (item g) e área pelo produto vetorial (itens h, i). As duas dão 30.

O professor está mostrando que álgebra vetorial e geometria clássica dizem a mesma coisa. Diga isso na conclusão: é a tese da disciplina.

A questão 2 em desenho: C está 12 unidades exatamente acima de B, e o ângulo reto fica em B.

Item (a) [0,6], os três vetores

AB = B − A =(4−0, 3−0, 0−0)=(4, 3, 0)

AC = C − A =(4−0, 3−0, 12−0)=(4, 3, 12)

BC = C − B =(4−4, 3−3, 12−0)=(0, 0, 12)

Observação que ajuda: BC só tem componente z. Ou seja, C está exatamente 12 unidades acima de B, na vertical.

Item (b) [0,9], os três produtos escalares

⟨AB, BC⟩ = 4·0 + 3·0 + 0·12 = 0

⟨AB, AC⟩ = 4·4 + 3·3 + 0·12 = 16 + 9 + 0 = 25

⟨AC, BC⟩ = 4·0 + 3·0 + 12·12 = 144

Item (c) [1,0], por que o triângulo é retângulo, e onde

A partir do item (b), explique por que ABC é retângulo e em qual vértice está o ângulo reto.

O produto escalar de dois vetores não nulos é zero se e somente se eles são ortogonais. Como ⟨AB, BC⟩ = 0, os lados AB e BC são perpendiculares, e um triângulo com dois lados perpendiculares é retângulo.

O vértice do ângulo reto é o ponto comum aos dois lados perpendiculares. Os lados são AB e BC; a letra comum é B. Logo o ângulo reto está em B.

O DETALHE TÉCNICO QUE IMPRESSIONA

O ângulo interno em B é, a rigor, o ângulo entre os vetores BA e BC, que saem de B, e não entre AB e BC.

Mas BA = −AB, e o produto escalar apenas troca de sinal: ⟨BA, BC⟩ = −⟨AB, BC⟩ = −0 = 0. Continua nulo, e a conclusão se mantém.

Escrever essa observação mostra que você entendeu, e não apenas aplicou.

Item (d) [1,2], as três normas

|AB| = √(4^2 + 3^2 + 0^2)= √(16 + 9)= √25 = 5

|BC| = √(0^2 + 0^2 + 12^2)= √144 = 12

|AC| = √(4^2 + 3^2 + 12^2)= √(16 + 9 + 144)= √169 = 13

São 5, 12 e 13, o terno pitagórico clássico. Bom sinal: as contas estão certas.

Item (e) [1,0], Pitágoras

Use o Teorema de Pitágoras para mostrar que ABC é retângulo.

O maior lado é AC = 13; os outros dois são 5 e 12. Testando:

5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 e 13^2 = 169

Como a soma dos quadrados dos dois menores lados é igual ao quadrado do maior, vale a recíproca do Teorema de Pitágoras: o triângulo é retângulo.

Diga o nome, é a recíproca, porque você está indo dos lados para o ângulo, e não o contrário.

Item (f) [1,2], hipotenusa e vértice do ângulo reto

A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto, e é sempre o maior: é AC, que mede 13.

Os catetos são AB = 5 e BC = 12.

O ângulo reto está no vértice B, o único vértice que não pertence à hipotenusa AC, e o vértice comum aos dois catetos. As duas verificações independentes (item c pelo produto escalar, item e por Pitágoras) chegam à mesma conclusão.

Item (g) [1,2], área pelos catetos

Num triângulo retângulo, um cateto serve de base e o outro de altura, porque são perpendiculares entre si. Logo:

Área =(cateto × cateto)/2 =(5 × 12)/2 = 60/2 = 30

Item (h) [1,2], o produto vetorial

AB ∧ AC = | i j k ; 4 3 0 ; 4 3 12 |

i: | 3 0 ; 3 12 | = 3·12 − 0·3 = 36

j: | 4 0 ; 4 12 | = 4·12 − 0·4 = 48, com o menos: −48

k: | 4 3 ; 4 3 | = 4·3 − 3·4 = 0

AB ∧ AC =(36, −48, 0)

Conferência rápida: ⟨AB, AB∧AC⟩ = 4·36 + 3·(−48) + 0·0 = 144 − 144 = 0 (confere)

Item (i) [1,7], a norma e a compatibilidade

|AB ∧ AC| = √(36^2 +(−48)^2 + 0^2)= √(1296 + 2304)= √3600 = 60

A compatibilidade, que é onde está o ponto: a norma do produto vetorial é a área do paralelogramo determinado por AB e AC. O triângulo ABC é metade desse paralelogramo, porque a diagonal o divide em dois triângulos congruentes. Logo:

Área do triângulo = 60/2 = 30

que é exatamente o valor obtido no item (g) pelo produto dos catetos. Os dois métodos são compatíveis, um pela geometria elementar, outro pela álgebra vetorial. É a "dupla tradução entre entes geométricos e equações algébricas" que o Plano de Ensino anuncia.

QUESTÃO 3, ÁREA DE UM TRIÂNGULO POR TRÊS MÉTODOS

O ENUNCIADO

Considere o problema de calcular a área do triângulo determinado pelos vértices A = (−2, 3, 8), B = (4, 3, 8) e C = (1, 7, 8) usando três métodos diferentes.

A ARQUITETURA DA QUESTÃO

Note antes de tudo: os três pontos têm z = 8. O triângulo está deitado num plano horizontal. Isso simplifica todas as contas, e dá uma conferência de graça: o produto vetorial tem de sair vertical, do tipo (0, 0, algo).

Os três métodos, e o número que todos devem produzir é 12:

Método 1 (itens a, b): produto vetorial → área = ½|AB ∧ AC|.

Método 2 (itens c, d): fórmula de Heron, só com os lados.

Método 3 (itens e, f, g): ½·a·b·sen θ, passando pelo cosseno e pela identidade fundamental.

E o item (h) fecha usando a área para achar as três alturas.

A questão 3 em desenho: os três vértices têm z = 8, então o triângulo é horizontal e o produto vetorial sai vertical.

Item (a) [1,5], vetores, produto externo e norma

AB = B − A =(4−(−2), 3−3, 8−8)=(6, 0, 0)

AC = C − A =(1−(−2), 7−3, 8−8)=(3, 4, 0)

AB ∧ AC = | i j k ; 6 0 0 ; 3 4 0 |

i: | 0 0 ; 4 0 | = 0 − 0 = 0

j: | 6 0 ; 3 0 | = 0 − 0 = 0, com o menos: 0

k: | 6 0 ; 3 4 | = 24 − 0 = 24

AB ∧ AC =(0, 0, 24)e |AB ∧ AC| = 24

Como previsto, o vetor saiu vertical, perpendicular ao plano horizontal z = 8.

Item (b) [1,0], a relação entre a norma e a área

Explique a relação entre |AB ∧ AC| e a área do triângulo ABC.

A norma do produto vetorial é a área do paralelogramo construído sobre AB e AC. O triângulo ABC é metade desse paralelogramo, a diagonal BC o divide em dois triângulos congruentes (o ABC e o que fica do outro lado de BC). Portanto:

Área do triângulo = ½ · |AB ∧ AC| = ½ · 24 = 12

Este é o Método 1.

Item (c) [1,2], o terceiro vetor e os três lados

BC = C − B =(1−4, 7−3, 8−8)=(−3, 4, 0)

As três normas:

Lado · Vetor · Conta · Medida

a = BC (oposto a A) · (−3, 4, 0) · √(9 + 16) · 5

b = AC (oposto a B) · (3, 4, 0) · √(9 + 16) · 5

c = AB (oposto a C) · (6, 0, 0) · √36 · 6

O triângulo é isósceles: dois lados de medida 5 e a base 6.

Item (d) [1,2], semiperímetro e fórmula de Heron

O semiperímetro é metade da soma dos lados:

s =(a + b + c)/2 =(5 + 5 + 6)/2 = 16/2 = 8

Aplicando Heron:

Área = √[ s(s−a)(s−b)(s−c)] = √[ 8 ·(8−5)·(8−5)·(8−6)]

= √[ 8 · 3 · 3 · 2 ] = √144 = 12

Este é o Método 2. Confere com o Método 1.

Item (e) [1,4], produto interno e cosseno do ângulo

⟨AB, AC⟩ = 6·3 + 0·4 + 0·0 = 18

Pela definição geométrica do produto escalar, isolando o cosseno:

cos θ = ⟨AB, AC⟩/(|AB| · |AC|)= 18/(6 · 5)= 18/30 = 3/5 = 0,6

Como 3/5 > 0, o ângulo θ (o ângulo interno em A) é agudo.

Item (f) [1,5], o seno, pela identidade fundamental

Da identidade sen²θ + cos²θ = 1:

sen^2θ = 1 − cos^2θ = 1 −(3/5)^2 = 1 − 9/25 = 25/25 − 9/25 = 16/25

sen θ = ±√(16/25)= ±4/5

A justificativa do sinal, que vale ponto: o ângulo entre dois vetores está sempre no intervalo 0 ≤ θ ≤ 180°, e nesse intervalo o seno nunca é negativo. Descarta-se a raiz negativa:

sen θ = 4/5 = 0,8

Item (g) [1,0], área pelo seno

Área = ½ · |AB| · |AC| · sen θ = ½ · 6 · 5 ·(4/5)

= ½ · 30 ·(4/5)= ½ · 24 = 12

Este é o Método 3. Os três métodos convergem para 12.

SOBRE O NOME "LEI DOS SENOS PARA ÁREA"

O enunciado chama de "Lei dos Senos para área". A fórmula é Área = ½·a·b·sen(ângulo entre a e b), e ela sai direto da definição de área: base × altura ÷ 2, com a altura escrita como b·sen θ.

Repare que é a mesma relação que dá |u ∧ v| = |u||v| sen θ. O Método 1 e o Método 3 são, no fundo, o mesmo cálculo em roupas diferentes, e o Método 2 (Heron) é o único genuinamente independente. Se o professor perguntar, essa observação vale ponto.

Item (h) [1,2], as três alturas

Com a área = 12, cada altura sai isolando na fórmula base × altura ÷ 2, ou seja, h = 2·Área ÷ lado:

Altura relativa ao lado · Medida do lado · Conta · Altura

AB · 6 · 24/6 · 4

AC · 5 · 24/5 · 4,8

BC · 5 · 24/5 · 4,8

As duas alturas relativas aos lados iguais são iguais, coerente com o triângulo ser isósceles. E o maior lado tem a menor altura, como tem de ser: a área é fixa.

QUESTÃO 4, IDENTIDADES VETORIAIS E COPLANARIDADE

O ENUNCIADO

Considere os vetores u = (1, 4, 8), v = (3, 4, 0) e w = (−4, −8, −8) em ℝ³.

A ARQUITETURA DA QUESTÃO

É a questão mais difícil das quatro, porque o item (i) pede uma demonstração geral, e não uma conta.

Toda ela gira em torno de um fato descoberto no item (a): u + v + w = 0⃗. Os três vetores, encadeados, fecham um triângulo.

Dessa única condição decorrem: a identidade do item (d), o produto misto nulo do item (e), a explicação geométrica do item (f), a igualdade dos produtos vetoriais do item (g), e as duas identidades do item (i).

Se você entender que tudo vem de u + v + w = 0, a questão vira uma questão só.

A questão 4 em desenho: como u + v + w = 0, os três encadeados fecham um triângulo, e por isso são coplanares.

Item (a) [0,4], a soma

u + v + w =(1+3−4 , 4+4−8 , 8+0−8)=(0, 0, 0)

A soma é o vetor nulo. Guarde este fato: ele explica todo o resto da questão.

Item (b) [1,2], as três normas

|u| = √(1^2 + 4^2 + 8^2)= √(1 + 16 + 64)= √81 = 9

|v| = √(3^2 + 4^2 + 0^2)= √(9 + 16)= √25 = 5

|w| = √((−4)^2 +(−8)^2 +(−8)^2)= √(16 + 64 + 64)= √144 = 12

Item (c) [1,2], os três produtos escalares

⟨u, v⟩ = 1·3 + 4·4 + 8·0 = 3 + 16 + 0 = 19

⟨u, w⟩ = 1·(−4)+ 4·(−8)+ 8·(−8)= −4 − 32 − 64 = −100

⟨v, w⟩ = 3·(−4)+ 4·(−8)+ 0·(−8)= −12 − 32 + 0 = −44

Leitura geométrica de graça: u e v formam ângulo agudo (produto positivo); u e w, e v e w, formam ângulos obtusos (produtos negativos).

Item (d) [1,0], verificar a identidade

Verifique que ⟨u,v⟩ + ⟨u,w⟩ + ⟨v,w⟩ = −½ (|u|² + |v|² + |w|²).

Lado esquerdo:

19 +(−100)+(−44)= −125

Lado direito:

−½(9^2 + 5^2 + 12^2)= −½(81 + 25 + 144)= −½(250)= −125

Os dois lados dão −125. A identidade se verifica. (confere)

Item (e) [1,2], produto vetorial e produto misto

v ∧ w = | i j k ; 3 4 0 ; −4 −8 −8 |

i: | 4 0 ; −8 −8 | = 4·(−8) − 0·(−8) = −32

j: | 3 0 ; −4 −8 | = 3·(−8) − 0·(−4) = −24, com o menos: +24

k: | 3 4 ; −4 −8 | = 3·(−8) − 4·(−4) = −24 + 16 = −8

v ∧ w =(−32, 24, −8)

E o produto misto:

⟨u, v∧w⟩ = 1·(−32)+ 4·24 + 8·(−8)= −32 + 96 − 64 = 0

Item (f) [1,0], o significado geométrico do zero

Explique o significado geométrico do resultado obtido no item anterior.

O produto misto é, em módulo, o volume do paralelepípedo determinado pelos três vetores. Valer zero significa que esse paralelepípedo é degenerado: ele não tem volume porque achatou.

E isso acontece exatamente quando os três vetores são coplanares, estão contidos num mesmo plano. Em linguagem de álgebra linear, são linearmente dependentes.

Por que era previsível: do item (a), u + v + w = 0⃗, logo w = −u − v. Ou seja, w é combinação linear de u e v, e portanto pertence ao plano gerado por eles. Três vetores em que um é combinação dos outros dois não podem abrir espaço tridimensional.

Item (g) [1,0], o outro produto vetorial

Calcule u ∧ v e mostre que u ∧ v = v ∧ w.

u ∧ v = | i j k ; 1 4 8 ; 3 4 0 |

i: | 4 8 ; 4 0 | = 4·0 − 8·4 = −32

j: | 1 8 ; 3 0 | = 1·0 − 8·3 = −24, com o menos: +24

k: | 1 4 ; 3 4 | = 1·4 − 4·3 = 4 − 12 = −8

u ∧ v =(−32, 24, −8)= v ∧ w (confere)

A demonstração algébrica, que é mais elegante que a comparação numérica e vale a pena escrever:

Como u + v + w = 0⃗, temos w = −u − v. Então:

v ∧ w = v ∧(−u − v)= −(v ∧ u)−(v ∧ v)

Mas v ∧ v = 0⃗ (produto vetorial de um vetor com ele mesmo), e −(v ∧ u) = u ∧ v (anticomutatividade). Logo:

v ∧ w = u ∧ v ∎ fim da demonstração

Item (h) [1,8], como (g) explica (f)

Mostre como a relação verificada em (g) explica o resultado calculado em (f).

Substituindo o resultado de (g) dentro do produto misto de (e):

⟨u, v ∧ w⟩ = ⟨u, u ∧ v⟩

E o produto vetorial u ∧ v é, por definição, ortogonal a u. Produto escalar entre vetores ortogonais é zero. Portanto:

⟨u, v ∧ w⟩ = ⟨u, u ∧ v⟩ = 0 ∎ fim da demonstração

O zero do item (e) não era coincidência aritmética: era consequência estrutural da condição u + v + w = 0⃗.

Item (i) [1,2], a demonstração geral

Considere quaisquer três vetores u, v, w em ℝ³ tais que u + v + w = 0⃗. Prove uma (e apenas uma) das duas identidades.

O enunciado deixa você escolher. Escolha a (I), é a mais curta e a menos arriscada. A demonstração da (II) fica abaixo como reserva.

DEMONSTRAÇÃO DA IDENTIDADE (I)

Provar: se u + v + w = 0⃗, então ⟨u,v⟩ + ⟨u,w⟩ + ⟨v,w⟩ = −½ (|u|² + |v|² + |w|²).

1. Como u + v + w = 0⃗, o quadrado da norma dessa soma também é zero:

|u + v + w|² = 0

2. Escreva a norma ao quadrado como produto escalar do vetor consigo mesmo:

⟨u + v + w , u + v + w⟩ = 0

3. Abra pela propriedade distributiva. Aparecem três termos "quadrados" e seis termos cruzados, iguais dois a dois pela comutatividade:

|u|² + |v|² + |w|² + 2⟨u,v⟩ + 2⟨u,w⟩ + 2⟨v,w⟩ = 0

4. Isole os termos cruzados:

2 ( ⟨u,v⟩ + ⟨u,w⟩ + ⟨v,w⟩ ) = − ( |u|² + |v|² + |w|² )

5. Divida por 2:

⟨u,v⟩ + ⟨u,w⟩ + ⟨v,w⟩ = −½ ( |u|² + |v|² + |w|² ) ∎

DEMONSTRAÇÃO DA IDENTIDADE (II), A ALTERNATIVA

Provar: se u + v + w = 0⃗, então ⟨u, v ∧ w⟩ = 0.

1. De u + v + w = 0⃗ segue w = −u − v.

2. Substitua no produto vetorial e distribua:

v ∧ w = v ∧ (−u − v) = −(v ∧ u) − (v ∧ v)

3. Como v ∧ v = 0⃗ e −(v ∧ u) = u ∧ v:

v ∧ w = u ∧ v

4. Logo ⟨u, v ∧ w⟩ = ⟨u, u ∧ v⟩.

5. Mas u ∧ v é ortogonal a u, por definição de produto vetorial. Produto escalar entre ortogonais é nulo:

⟨u, v ∧ w⟩ = 0 ∎

Alternativa em uma linha: u + v + w = 0 implica que os três vetores são linearmente dependentes, e o produto misto de vetores dependentes é sempre nulo.

O EXERCÍCIO DA LISTA QUE TREINA ESTE ITEM

Exercício 40 da Lista: "Determinar u·v + u·w + v·w, sabendo que u + v + w = 0, |u| = 2, |v| = 3 e |w| = √5." Gabarito: −9.

Confira pela identidade (I): −½(4 + 9 + 5) = −½ · 18 = −9. (confere)

Faça esse exercício duas vezes: uma aplicando a identidade pronta, outra deduzindo-a do zero. A segunda vez é o item (i) da prova.

PARTE E: O ROTEIRO DOS 12 MINUTOS

E.1 A aritmética do tempo

Doze minutos, 8 ou 9 itens: cerca de 80 segundos por item. Não há tempo para pensar em o que fazer; só para fazer.

Mas os itens não custam igual. Divida assim:

Bloco · Itens típicos · Tempo alvo

Montar os vetores (item a) · 1 · 1 min 30

Contas encadeadas (b até g) · 5 ou 6 · 6 min

Itens de explicação (f, h, i) · 2 ou 3 · 3 min

Fechamento e conferência ·, · 1 min 30

E.2 Os 90 segundos antes de começar a escrever

Antes de escrever qualquer coisa, faça isto, custa pouco e evita desastre:

1. Escreva os pontos dados num canto do quadro, grandes.

2. Escreva + − + ao lado, para o determinante.

3. Escreva o número-alvo, se a questão tiver um: 12 na questão 1, 30 na questão 2, 12 na questão 3, 0 na questão 4.

E.3 A ordem do que dizer

O professor cobra explicação em vários itens. Fale enquanto escreve, nesta ordem, para cada item:

1. O que vou fazer: "Para achar o vetor AB, subtraio o ponto A do ponto B."

2. A conta, escrita.

3. O que o resultado significa: "Esse zero significa que os vetores são ortogonais."

O terceiro passo é o que separa nota 7 de nota 10 nesta prova.

E.4 As frases que valem ponto

Tenha estas seis prontas. Elas respondem, sozinhas, quase todos os itens de explicação das quatro questões:

O REPERTÓRIO

1. "O produto escalar nulo significa que os vetores são ortogonais, porque ⟨u,v⟩ = |u||v|cos θ e o cosseno só se anula em 90°."

2. "O produto vetorial é, por definição, ortogonal a ambos os vetores, por isso os dois produtos internos deram zero."

3. "A norma do produto vetorial é a área do paralelogramo, porque |u ∧ v| = |u||v| sen θ, e |v| sen θ é a altura relativa à base |u|."

4. "A área do triângulo é metade da do paralelogramo, porque a diagonal o divide em dois triângulos congruentes."

5. "O vetor v ∧ w é normal ao plano da base; a projeção de u sobre ele isola a componente perpendicular à base, que é a altura."

6. "Produto misto nulo significa volume nulo, ou seja, os três vetores são coplanares, linearmente dependentes."

E.5 Erros que custam ponto, reunidos

Erro · Onde costuma acontecer

Escrever A − B em vez de B − A · item (a) de todas as questões

Esquecer o sinal negativo da componente j · todo produto vetorial

Parar em √48 sem simplificar para 4√3 · questão 1, item (g)

Dar o volume negativo · questão 1, item (h)

Esquecer o ½ na área do triângulo · questões 2 e 3

Usar |v| em vez de |v|² na projeção · questão 1, item (e)

Responder ±4/5 sem justificar o sinal · questão 3, item (f)

Usar s = perímetro em vez de semiperímetro · questão 3, item (d)

Fazer a conta e não explicar · todos os itens de explicação

E.6 Se travar

Se uma conta não sair, não pare a questão. Escreva "seja X o valor de tal item" e siga, usando X. O professor pontua item a item; abandonar o resto custa muito mais do que um item errado.

E se o número sair feio, raiz que não simplifica, fração estranha, desconfie: as quatro questões foram construídas para dar números limpos. Volte duas linhas e confira o sinal.

PARTE F: O PLANO DOS CINCO DIAS QUE RESTAM

Do Dia 1 (hoje) até a prova, que cai no Dia 5. Cinco dias, contando hoje e o dia da prova. Conte para trás a partir da data da sua prova: o Dia 5 é sempre o dia dela.

Não sobra tempo para reconstruir teoria. O que resta é execução: as quatro questões deste módulo, refeitas até saírem de cabeça, e depois cronometradas em pé. Se algum conceito travar no meio, volte ao módulo específico só naquele ponto, não releia módulo inteiro.

Dia · O que fazer · Quanto tempo

Dia 1: hoje · Leia as quatro questões deste módulo inteiras, entendendo cada linha, sem escrever nada. Depois feche o guia e refaça a Questão 1 e a Questão 2 no papel, do zero. Confira contra o texto. · 2h30

Dia 2 · Refaça a Questão 3 e a Questão 4 no papel, sem consulta. À noite, as quatro em pé, numa folha vertical presa à parede ou no quadro, cronometradas em 12 minutos cada, falando em voz alta. · 2h30

Dia 3 · Refaça as duas piores do Dia 2. Treine em separado os dois itens que são só texto: o (f) da questão 1 (por que a projeção é a altura) e o (i) da questão 4 (a demonstração). Depois, da Lista: exercícios 57, 60, 68, 71 e 75(a). · 2h

Dia 4 · Sorteio simulado: peça a alguém para sortear uma das quatro e apresente em 12 minutos, falando alto, com a pessoa assistindo. Repita duas vezes, com questões diferentes. À noite, o checklist da véspera (Parte G), as doze perguntas, uma a uma. · 2h

Dia 5 · PROVA. De manhã, só três coisas: o repertório de frases (E.4), a tabela de erros (E.5) e os quatro números-alvo. Nada novo, nenhuma conta nova. · 30 min

O ÚNICO DIA QUE NÃO PODE FALHAR

É o Dia 2, o dia do treino cronometrado em pé.

Resolver no papel sentado é uma habilidade; resolver no quadro, de pé, falando, com o professor olhando e doze minutos correndo, é outra. A segunda é a que a prova mede, e é a única que quase ninguém treina.

Se você só tiver tempo para um dia de treino real, que seja esse. Se tiver dois, acrescente o Dia 4.

E O CÁLCULO 1, QUE VEM LOGO DEPOIS

A P1 de Cálculo vem poucos dias depois desta. Não dá para ignorá-la até o Dia 5, mas também não dá para dividir a semana ao meio.

A divisão que funciona: do Dia 1 ao Dia 4, 40 minutos por dia só com o Cartão de bolso do Cálculo, mais uma leitura rápida de um módulo por dia (Módulo 1 no Dia 1, 2 no Dia 2, 3 no Dia 3, 4 e 5 no Dia 4). Sem exercícios, sem cronômetro, o objetivo é apenas não deixar o conteúdo esfriar.

O treino de verdade do Cálculo começa no dia seguinte à prova de Geometria, com a Geometria já entregue: nesse dia os Problemas 1 e 2 no papel; no dia seguinte os Problemas 3, 4 e 5, e os cinco cronometrados em pé.

O plano completo do Cálculo está no fim do Módulo 5 daquela série.

PARTE G: CHECKLIST DA VÉSPERA

Percorra esta lista na noite do Dia 4, a véspera da prova. Se todas as respostas forem "sim", está pronto.

Sei calcular AB = B − A sem hesitar, e confiro somando de volta: A + AB = B.

Sei montar um determinante 3×3 com i, j, k e lembro do menos no meio.

Sei que ⟨u,v⟩ = 0 significa perpendicular, e sei dizer por quê.

Sei que |u ∧ v| é a área do paralelogramo, e que o triângulo é a metade.

Sei que |⟨u, v∧w⟩| é o volume do paralelepípedo, e que o tetraedro é um sexto.

Sei que produto misto zero significa coplanar.

Sei a fórmula da projeção com |v|² no denominador, e sei conferir projetando v sobre v.

Sei explicar por que a projeção sobre v ∧ w dá a altura do paralelepípedo.

Sei tirar sen θ de cos θ e justificar por que descarto o sinal negativo.

Sei a fórmula de Heron com semiperímetro, não perímetro.

Sei simplificar √48 para 4√3.

Sei os quatro números-alvo: 12 (questão 1), 30 (questão 2), 12 (questão 3), 0 (questão 4).

A ÚLTIMA COISA

O professor entregou as questões três semanas antes. Isso quer dizer que ele não está testando se você adivinha o que cai; está testando se você estudou o que ele mandou estudar.

É a prova mais justa que existe. E é a mais fácil de tirar dez, desde que o treino do Dia 2 aconteça.