Geometria analítica: caderno de treino, exercícios

Caderno de treino, Geometria Analítica (P1)

Ulysses Cesar · só enunciados; as resoluções estão no caderno comentado

COMO USAR. Faça no papel, sem calculadora e sem olhar o comentado. Só depois de terminar um bloco inteiro é que você confere. Conferir item a item vira leitura, e leitura não treina. Se travar num item, pule e volte no fim.

PARTE A: O motor

Mecânica pura, sem contexto. É o que serve para os quatro problemas da prova. Meta: fazer a Parte A inteira em 40 minutos, sem erro.

A.1: Vetor entre dois pontos (AB = B − A)

1) A = (1,2,3) e B = (4,6,3). Determine AB.

2) A = (0,0,0) e B = (4,3,0). Determine AB.

3) A = (2,−1,5) e B = (2,3,1). Determine AB.

4) P = (−2,3,8) e Q = (4,3,8). Determine PQ.

5) A = (1,0,0) e B = (0,1,0). Determine AB.

6) B = (4,3,0) e C = (4,3,12). Determine BC.

7) A = (−1,−1,−1) e B = (2,3,4). Determine AB.

8) M = (5,5,5) e N = (1,2,3). Determine MN e NM. Compare.

A.2: Norma (o comprimento da seta)

1) ‖(3, 4, 0)‖

2) ‖(0, 0, 12)‖

3) ‖(4, 3, 12)‖

4) ‖(1, 1, 1)‖

5) ‖(2, −3, 6)‖

6) ‖(6, 0, 0)‖

7) ‖(−1, 1, 0)‖

8) ‖(4, 4, 4)‖, simplifique o radical

A.3: Produto escalar (dá NÚMERO)

1) ⟨(1,2,3), (4,5,6)⟩

2) ⟨(4,3,0), (0,0,12)⟩

3) ⟨(4,3,0), (4,3,12)⟩

4) ⟨(1,1,1), (−1,1,0)⟩

5) ⟨(6,0,0), (3,4,0)⟩

6) ⟨(1,4,8), (3,4,0)⟩

7) ⟨(1,4,8), (−4,−8,−8)⟩

8) ⟨(2,−1,3), (1,2,0)⟩

A.4: Produto vetorial (dá VETOR)

1) (1,0,0) ∧ (0,1,0)

2) (−1,1,0) ∧ (−1,0,1)

3) (4,3,0) ∧ (4,3,12)

4) (6,0,0) ∧ (3,4,0)

5) (3,4,0) ∧ (−4,−8,−8)

6) (1,4,8) ∧ (3,4,0)

A.5: Produto misto (dá NÚMERO = volume)

1) u = (3,2,7), v = (−1,1,0), w = (−1,0,1). Calcule ⟨u, v∧w⟩.

2) u = (1,4,8), v = (3,4,0), w = (−4,−8,−8). Calcule ⟨u, v∧w⟩.

3) u = (1,0,0), v = (0,1,0), w = (0,0,1). Calcule ⟨u, v∧w⟩.

4) u = (2,2,2), v = (1,0,0), w = (0,1,0). Calcule ⟨u, v∧w⟩.

A.6: Projeção (dá VETOR)

1) Projete u = (3,2,7) sobre n = (1,1,1).

2) Projete u = (4,3,0) sobre v = (1,0,0).

3) Projete u = (2,2,0) sobre v = (0,3,0).

4) Projete u = (0,0,5) sobre v = (0,0,2).

PARTE B: Leitura geométrica

Responda em UMA frase, em voz alta, e só depois escreva. Estes itens valem mais da metade da nota nos Problemas 1 e 2.

1) O produto escalar de dois vetores deu 0. O que isso diz sobre eles?

2) ‖u∧v‖ = 20. Qual é a área do triângulo de lados u e v?

3) O produto misto de três vetores deu 0. O que isso diz?

4) Por que ⟨v, v∧w⟩ é sempre zero, quaisquer que sejam v e w?

5) O que é maior: ‖u∧v‖ ou a área do triângulo de lados u e v? Quantas vezes?

6) A projeção de u sobre v é um número ou um vetor?

7) O produto escalar é número ou vetor? E o vetorial?

8) O produto misto deu −12. Qual é o volume?

9) Por que a altura de um paralelepípedo se mede na direção de v∧w?

10) AB = B − A ou A − B? Justifique pelo significado.

PARTE C: Os quatro problemas, com desvanecimento

O MÉTODO DOS TRÊS DEGRAUS. Não leia a resolução inteira e passe adiante, isso tem retorno negativo depois da primeira leitura. Faça assim, para cada problema:DEGRAU 1 · leia a resolução no comentado até o item (c), FECHE, e complete o resto sozinho.DEGRAU 2 · leia só até o item (a), feche, complete o resto.DEGRAU 3 · só o enunciado, cronômetro em 12 minutos, falando em voz alta.Só suba de degrau quando o anterior sair inteiro.

Problema 1: volume do paralelepípedo

A = (1,0,0), B = (0,1,0), C = (0,0,1), D = (4,2,7). Nove itens: os vetores, o produto externo, os dois produtos internos, a norma, o produto misto, a projeção, a altura e o volume.

Alvos para conferir no fim: v∧w = (1,1,1) · ‖v∧w‖ = √3 · os dois internos dão 0 · misto = 12 · projeção = (4,4,4) · h = 4√3 · Volume = 12.

Degrau 1 ☐ Degrau 2 ☐ Degrau 3 ☐ Tempo do degrau 3: ______

Problema 2: triângulo retângulo

A = (0,0,0), B = (4,3,0), C = (4,3,12). Nove itens: os vetores, os três escalares, as normas, Pitágoras, a hipotenusa, a área e o produto vetorial.

Alvos para conferir no fim: Lados 5, 12 e 13 · ⟨AB,BC⟩ = 0, reto em B · hipotenusa AC · área 30 · AB∧AC = (36,−48,0) · norma 60.

Degrau 1 ☐ Degrau 2 ☐ Degrau 3 ☐ Tempo do degrau 3: ______

Problema 3: área por três métodos

A = (−2,3,8), B = (4,3,8), C = (1,7,8). Oito itens: produto vetorial, Heron, e a fórmula com seno, os três têm de dar o mesmo número.

Alvos para conferir no fim: AB∧AC = (0,0,24), área 12 · lados 6, 5 e 5 · s = 8, Heron = 12 · cos θ = 3/5, sen θ = 4/5 · área 12 · alturas 4, 4,8 e 4,8.

Degrau 1 ☐ Degrau 2 ☐ Degrau 3 ☐ Tempo do degrau 3: ______

Problema 4: identidades

u = (1,4,8), v = (3,4,0), w = (−4,−8,−8). Nove itens, e a chave é notar que u+v+w = 0.

Alvos para conferir no fim: Normas 9, 5 e 12 · escalares 19, −100 e −44, somando −125 · v∧w = u∧v = (−32,24,−8) · misto 0, coplanares.

Degrau 1 ☐ Degrau 2 ☐ Degrau 3 ☐ Tempo do degrau 3: ______

PARTE D: Baralho intercalado

Estes doze estão FORA DE ORDEM de propósito, misturam os quatro problemas e a base. Estudar em bloco dá a sensação de domínio e não sobrevive à prova, onde a questão chega sem aviso do assunto.REGRA: antes de calcular, escreva a primeira linha assim, "ferramenta: ________, porque ________". Só depois faça a conta.

1) Os pontos A = (0,0,0), B = (4,3,0) e C = (4,3,12) formam triângulo retângulo? Onde?

ferramenta: ______________________, porque ______________________________

2) Qual é a área do triângulo de vértices A = (−2,3,8), B = (4,3,8) e C = (1,7,8)?

ferramenta: ______________________, porque ______________________________

3) Simplifique √48 e √72.

ferramenta: ______________________, porque ______________________________

4) u = (1,4,8), v = (3,4,0), w = (−4,−8,−8) são coplanares? Prove.

ferramenta: ______________________, porque ______________________________

5) Qual é a altura do paralelepípedo de v = (−1,1,0), w = (−1,0,1) e u = (3,2,7)?

ferramenta: ______________________, porque ______________________________

6) cos θ = 3/5. Quanto vale sen θ, sabendo que θ é ângulo de triângulo?

ferramenta: ______________________, porque ______________________________

7) Ache um vetor perpendicular a (2,0,0) e a (0,5,0) ao mesmo tempo.

ferramenta: ______________________, porque ______________________________

8) Um triângulo tem lados 5, 5 e 6. Qual a área pela Fórmula de Heron?

ferramenta: ______________________, porque ______________________________

9) ‖AB∧AC‖ = 60. Qual a área do triângulo ABC?

ferramenta: ______________________, porque ______________________________

10) Qual é a altura do triângulo de área 12 relativa ao lado que mede 6?

ferramenta: ______________________, porque ______________________________

11) Prove que, se u + v + w = 0, então ⟨u, v∧w⟩ = 0.

ferramenta: ______________________, porque ______________________________

12) O vetor (4,4,4) é a projeção de u sobre (1,1,1). Qual a altura correspondente?

ferramenta: ______________________, porque ______________________________

PARTE E: Protocolo de voz

A prova é falada, no quadro. Treinar em silêncio treina a metade errada.

1. Fique EM PÉ. Sentado, você resolve; em pé, você apresenta.

2. Narre cada linha antes de escrever: "agora eu vou calcular o produto vetorial, que vai me dar um vetor perpendicular aos dois".

3. Ao achar um número, diga o que ele SIGNIFICA, não só o valor: "deu 60, que é a área do paralelogramo; o triângulo é metade, 30".

4. Se errar, diga "deixa eu conferir esta linha" e refaça ao lado. Corrigir falando conta a favor; apagar em silêncio, não.

5. Cronômetro em 12 minutos, sempre. Sem cronômetro o treino mente.