Geometria analítica: cartão de bolso

CARTÃO DE BOLSO

Geometria Analítica · P1

Tudo em duas páginas

Para a véspera e para o corredor, nada aqui é novo, tudo já está nos módulos

Autor: Ulysses Cesar · Engenharia Civil

COMO LER OS SÍMBOLOS DESTE MÓDULO

Nenhum símbolo aqui é decoração: cada um substitui uma frase inteira. Se travar na leitura de uma equação, volte a esta tabela.

Símbolo · Lê-se · O que é

θ · teta · letra grega. Nomeia um ângulo, quase sempre o ângulo entre dois vetores.

√ · raiz quadrada · pergunta qual número, multiplicado por ele mesmo, dá o que está sob o traço.

· · vezes · multiplicação. Usa-se o ponto para não confundir com a letra x.

± · mais ou menos · as duas contas valem: uma com +, outra com −.

⟨ · produto escalar (interno), escreve-se ⟨u, v⟩ · ⟨u, v⟩ multiplica coordenada por coordenada e soma. Devolve um NÚMERO. Dá zero exatamente quando os vetores são perpendiculares.

∧ · produto vetorial (externo), escreve-se u ∧ v · u ∧ v devolve um VETOR perpendicular aos dois. O comprimento dele é a área do paralelogramo.

| · módulo, ou norma, escreve-se |v| · |v| é o comprimento do vetor v; |x| é a distância de x até zero. Nunca é negativo.

sen · seno · num triângulo retângulo, cateto oposto dividido pela hipotenusa.

cos · cosseno · cateto adjacente dividido pela hipotenusa.

proj · projeção · a sombra de um vetor na direção de outro.

² (expoente 2) · ao quadrado · o número multiplicado por ele mesmo. x² é x·x.

i, j, k · i, j, k · os três vetores de comprimento 1 que apontam ao longo dos eixos x, y e z.

AS SEIS FÓRMULAS

O que é · Fórmula · Devolve

Vetor entre dois pontos · AB = B − A · vetor

Norma · |v| = √(x² + y² + z²) · número

Produto escalar · ⟨u,v⟩ = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ · número

Produto vetorial · u ∧ v = | i j k ; u₁ u₂ u₃ ; v₁ v₂ v₃ | · vetor

Produto misto · ⟨u, v ∧ w⟩ · número

Projeção · proj₍v₎ u = (⟨u,v⟩ / |v|²) · v · vetor

O MAPA DE DECISÃO

Pedem · Use · Confere se

perpendicular? · ⟨u,v⟩ · dá 0

ângulo · cos θ = ⟨u,v⟩/(|u||v|) · entre −1 e 1

triângulo retângulo? · ⟨,⟩ dos lados, ou Pitágoras · um produto dá 0

vetor perpendicular a dois · u ∧ v · ⟨u, u∧v⟩ = 0

área do paralelogramo · |u ∧ v| ·

área do triângulo · ½·|AB ∧ AC| ·

altura do triângulo · 2·Área / lado ·

volume do paralelepípedo · |⟨u, v ∧ w⟩| · positivo

volume do tetraedro · (1/6)·|⟨u, v ∧ w⟩| ·

coplanares? · ⟨u, v ∧ w⟩ · dá 0

altura do paralelepípedo · |proj₍v∧w₎ u| ·

OS QUATRO NÚMEROS-ALVO

SE NÃO DER ISSO, VOCÊ ERROU UMA CONTA

Questão 1 → volume = 12 (e o produto misto do item d também dá 12)

Questão 2 → área = 30 · lados 5, 12 e 13 · ângulo reto em B

Questão 3 → área = 12 · cos θ = 3/5 · sen θ = 4/5 · alturas 4 ; 4,8 ; 4,8

Questão 4 → produto misto = 0 · as três normas são 9, 5 e 12 · a identidade dá −125

AS SEIS FRASES QUE VALEM PONTO

DECORE ESTAS

1. "Produto escalar nulo significa vetores ortogonais, porque ⟨u,v⟩ = |u||v|cos θ e o cosseno só se anula em 90°."

2. "O produto vetorial é, por definição, ortogonal aos dois, por isso os dois produtos internos deram zero."

3. "A norma do produto vetorial é a área do paralelogramo, porque |u ∧ v| = |u||v| sen θ, e |v| sen θ é a altura relativa à base |u|."

4. "A área do triângulo é metade da do paralelogramo, porque a diagonal o divide em dois triângulos congruentes."

5. "O vetor v ∧ w é normal ao plano da base; a projeção de u sobre ele isola a componente perpendicular à base, que é a altura."

6. "Produto misto nulo significa volume nulo, ou seja, os três vetores são coplanares, linearmente dependentes."

OS NOVE ERROS QUE CUSTAM PONTO

Erro · Onde acontece

escrever A − B em vez de B − A · item (a) de todas

esquecer o menos da componente j · todo produto vetorial

parar em √48 sem simplificar para 4√3 · questão 1, item (g)

dar o volume negativo · questão 1, item (h)

esquecer o ½ na área do triângulo · questões 2 e 3

usar |v| em vez de |v|² na projeção · questão 1, item (e)

responder ±4/5 sem justificar o sinal · questão 3, item (f)

usar perímetro em vez de semiperímetro · questão 3, item (d)

fazer a conta e não explicar · todos os itens de explicação

ANTES DE ESCREVER QUALQUER COISA NO QUADRO

OS 90 SEGUNDOS INICIAIS

1. Escreva os pontos dados num canto, grandes.

2. Escreva + − + ao lado, para o determinante.

3. Escreva o número-alvo da questão sorteada.

E o ritmo: 1min30 para montar os vetores · 6min nas contas · 3min nas explicações · 1min30 para conferir.

Se travar numa conta, escreva "seja X o valor do item tal" e siga, o professor pontua item a item.

OS VALORES DE COR

θ · 0° · 30° · 45° · 60° · 90° · 180°

sen · 0 · 1/2 · √2/2 · √3/2 · 1 · 0

cos · 1 · √3/2 · √2/2 · 1/2 · 0 · −1

n² · 1 · 4 · 9 · 16 · 25 · 36 · 49 · 64 · 81 · 100 · 121 · 144 · 169 · 196 · 225

n · 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 · 11 · 12 · 13 · 14 · 15

Radicais que caem: √48 = 4√3 · √50 = 5√2 · √72 = 6√2 · √3600 = 60 · √169 = 13 · √117 = 3√13 · √89 e √74 (não simplificam)

Ternos pitagóricos: (3,4,5) · (5,12,13) · (8,15,17)

Identidade fundamental: sen²θ + cos²θ = 1, e entre dois vetores o seno nunca é negativo.

Heron: s = (a+b+c)/2 e Área = √[s(s−a)(s−b)(s−c)].