Geometria analítica: resoluções da lista, volume 2

LISTA DE EXERCÍCIOS DA P1, GEOMETRIA ANALÍTICA

Caderno de resoluções · Volume 2

Produto vetorial e produto misto

Capítulo 3, exercícios 42 a 75, área, volume e coplanaridade, resolvidos passo a passo

Guia da P1 · Autor: Ulysses Cesar · Curso de Engenharia Civil

ESTE É O VOLUME QUE DECIDE A PROVA

Três das quatro questões da P1 dependem do que está aqui: área (questões 2 e 3) e volume (questão 1). O exercício 75(a) é, literalmente, a questão 1 da prova.

Todas as respostas foram conferidas contra o gabarito do livro e recalculadas de forma independente.

AS TRÊS FÓRMULAS QUE VOCÊ VAI USAR EM TODOS ELES

Produto vetorial, determinante simbólico com i, j, k na primeira linha, expandido por cofatores com os sinais + − +.

Área: |u ∧ v| é a área do paralelogramo; metade disso é a área do triângulo.

Volume: |⟨u, v ∧ w⟩| é o volume do paralelepípedo; um sexto disso é o volume do tetraedro.

E o teste que fecha tudo: produto misto zero ⟺ coplanares.

COMO LER OS SÍMBOLOS DESTE MÓDULO

Nenhum símbolo aqui é decoração: cada um substitui uma frase inteira. Se travar na leitura de uma equação, volte a esta tabela.

Símbolo · Lê-se · O que é

ℝ · erre, conjunto dos reais · todos os números da reta: inteiros, frações e irracionais.

θ · teta · letra grega. Nomeia um ângulo, quase sempre o ângulo entre dois vetores.

√ · raiz quadrada · pergunta qual número, multiplicado por ele mesmo, dá o que está sob o traço.

· · vezes · multiplicação. Usa-se o ponto para não confundir com a letra x.

× · vezes · multiplicação.

÷ · dividido por · divisão.

± · mais ou menos · as duas contas valem: uma com +, outra com −.

≠ · diferente de · não é igual.

≈ · aproximadamente igual a · valor arredondado, não exato.

⟹ · implica · se o lado esquerdo vale, então o direito também vale.

⟺ · se e somente se · os dois lados valem juntos: um garante o outro, nos dois sentidos.

⟨ · produto escalar (interno), escreve-se ⟨u, v⟩ · ⟨u, v⟩ multiplica coordenada por coordenada e soma. Devolve um NÚMERO. Dá zero exatamente quando os vetores são perpendiculares.

∧ · produto vetorial (externo), escreve-se u ∧ v · u ∧ v devolve um VETOR perpendicular aos dois. O comprimento dele é a área do paralelogramo.

| · módulo, ou norma, escreve-se |v| · |v| é o comprimento do vetor v; |x| é a distância de x até zero. Nunca é negativo.

∈ · pertence a · o elemento está dentro do conjunto.

∎ · fim da demonstração · marca o ponto em que a prova terminou.

sen · seno · num triângulo retângulo, cateto oposto dividido pela hipotenusa.

² (expoente 2) · ao quadrado · o número multiplicado por ele mesmo. x² é x·x.

i, j, k · i, j, k · os três vetores de comprimento 1 que apontam ao longo dos eixos x, y e z.

PRODUTO VETORIAL, A CONTA (EXERCÍCIOS 42 A 50)

42 Bateria de produtos vetoriais

Dados u = (2, −1, 1), v = (1, −1, 0) e w = (−1, 2, 2), calcular:

Antes de começar, calcule uma vez os produtos que vão reaparecer:

u ∧ v = | i j k ; 2 −1 1 ; 1 −1 0 | =(1, 1, −1)

v ∧ w = | i j k ; 1 −1 0 ; −1 2 2 | =(−2, −2, 1)

(a) w ∧ v

w ∧ v = −(v ∧ w)=(2, 2, −1)

Pela anticomutatividade, não precisa refazer o determinante.

(b) v ∧ (w − u)

w − u =(−3, 3, 1)

v ∧(w−u)= | i j k ; 1 −1 0 ; −3 3 1 | =(−1, −1, 0)

(c) (u + v) ∧ (u − v)

Método rápido. Abra pela distributiva antes de calcular:

(u+v)∧(u−v)= u∧u − u∧v + v∧u − v∧v = −2(u ∧ v)

= −2(1, 1, −1)=(−2, −2, 2)

(d) (2u) ∧ (3v)

Os escalares saem para fora:

(2u)∧(3v)= 6(u ∧ v)= 6(1, 1, −1)=(6, 6, −6)

(e) ⟨u ∧ v, u ∧ v⟩

É a norma ao quadrado:

⟨(1,1,−1),(1,1,−1)⟩ = 1 + 1 + 1 = 3

(f) ⟨u ∧ v, w⟩ e ⟨u, v ∧ w⟩

⟨u∧v, w⟩ = ⟨(1,1,−1),(−1,2,2)⟩ = −1 + 2 − 2 = −1

⟨u, v∧w⟩ = ⟨(2,−1,1),(−2,−2,1)⟩ = −4 + 2 + 1 = −1

Os dois são iguais, e não por acaso: é a propriedade cíclica do produto misto. Você pode "mover o ∧" de um lado para o outro sem mudar o resultado.

(g) (u ∧ v) ∧ w e u ∧ (v ∧ w)

(u∧v)∧ w =(1,1,−1)∧(−1,2,2)=(4, −1, 3)

u ∧(v∧w)=(2,−1,1)∧(−2,−2,1)=(1, −4, −6)

São diferentes. Este item existe justamente para mostrar que o produto vetorial não é associativo: os parênteses importam.

(h) ⟨u + v, u ∧ w⟩

u + v =(3, −2, 1)u ∧ w =(2,−1,1)∧(−1,2,2)=(−4, −5, 3)

⟨(3,−2,1),(−4,−5,3)⟩ = −12 + 10 + 3 = 1

43 Produtos vetoriais com combinações

Dados a = (1, 2, 1) e b = (2, 1, 0), calcular: (a) 2a ∧ (a+b); (b) (a+2b) ∧ (a−2b).

Método. Distribua primeiro; o termo a ∧ a some.

(a)

2a ∧(a+b)= 2(a∧a)+ 2(a∧b)= 2(a ∧ b)

a ∧ b = | i j k ; 1 2 1 ; 2 1 0 | =(−1, 2, −3)

Resposta: 2(−1, 2, −3) = (−2, 4, −6).

(b)

(a+2b)∧(a−2b)= a∧a − 2(a∧b)+ 2(b∧a)− 4(b∧b)= −4(a ∧ b)

Resposta: −4(−1, 2, −3) = (4, −8, 12).

44 Produto vetorial com vetores entre pontos

Dados A(2, −1, 2), B(1, 2, −1) e C(3, 2, 1), determinar CB ∧ (BC − 2CA).

CB = B − C =(−2, 0, −2)BC = C − B =(2, 0, 2)CA = A − C =(−1, −3, 1)

BC − 2CA =(2, 0, 2)−(−2, −6, 2)=(4, 6, 0)

CB ∧(4, 6, 0)= | i j k ; −2 0 −2 ; 4 6 0 |

i: 0·0 − (−2)·6 = 12

j: (−2)·0 − (−2)·4 = 8, com o menos: −8

k: (−2)·6 − 0·4 = −12

Resposta: (12, −8, −12).

45 Vetor ortogonal a duas combinações

Determinar um vetor simultaneamente ortogonal a 2a + b e b − a, sendo a = (3, −1, −2) e b = (1, 0, −3).

Método. "Simultaneamente ortogonal a dois vetores" é o produto vetorial deles.

2a + b =(7, −2, −7)b − a =(−2, 1, −1)

(7,−2,−7)∧(−2,1,−1)= | i j k ; 7 −2 −7 ; −2 1 −1 |

i: (−2)(−1) − (−7)(1) = 2 + 7 = 9

j: (7)(−1) − (−7)(−2) = −7 − 14 = −21, com o menos: +21

k: (7)(1) − (−2)(−2) = 7 − 4 = 3

Resposta: (9, 21, 3), ou qualquer múltiplo, como (3, 7, 1).

SOBRE O GABARITO

O livro imprime "x(3, 7, 1)", indicando toda a família de múltiplos. A conta direta dá (9, 21, 3), que é 3·(3, 7, 1). As duas respostas estão certas: qualquer vetor dessa reta é ortogonal aos dois.

46 A propriedade cíclica do produto misto

Dados a = (1, −1, 2), b = (3, 4, −2) e c = (−5, 1, −4), mostrar que ⟨a, b ∧ c⟩ = ⟨a ∧ b, c⟩.

b ∧ c = | i j k ; 3 4 −2 ; −5 1 −4 | =(−14, 22, 23)

⟨a, b∧c⟩ =(1)(−14)+(−1)(22)+(2)(23)= −14 − 22 + 46 = 10

a ∧ b = | i j k ; 1 −1 2 ; 3 4 −2 | =(−6, 8, 7)

⟨a∧b, c⟩ =(−6)(−5)+(8)(1)+(7)(−4)= 30 + 8 − 28 = 10

Os dois valem 10. ∎

Por quê: ambos são o mesmo determinante 3×3 formado pelas coordenadas de a, b e c, o produto misto não depende de onde se coloca o ∧.

47 Ortogonalidade simultânea com incógnita

Determinar m para que w = (1, 2, m) seja simultaneamente ortogonal a v₁ = (2, −1, 0) e v₂ = (1, −3, −1).

Método. Duas condições de produto escalar nulo.

⟨w, v_1⟩ = 2 − 2 + 0 = 0

Esta dá 0 automaticamente, para qualquer m, w já é ortogonal a v₁.

⟨w, v_2⟩ = 1 − 6 − m = 0 ⟹ m = −5

Resposta: m = −5.

48 Paralelismo via produto vetorial nulo

Dados v = (a, 5b, −c/2) e w = (−3a, x, y), determinar x e y para que v ∧ w = 0⃗.

Método. Produto vetorial nulo significa vetores paralelos, ou seja w = k·v.

Pela primeira coordenada: −3a = k·a ⟹ k = −3. Então:

x = k·(5b)= −15b y = k·(−c/2)= 3c/2

Resposta: x = −15b e y = 3c/2.

49 Unitário ortogonal a dois, e de módulo 5

Determinar um vetor unitário simultaneamente ortogonal a v₁ = (1, 1, 0) e v₂ = (2, −1, 3). Nas mesmas condições, determinar um vetor de módulo 5.

v_1 ∧ v_2 = | i j k ; 1 1 0 ; 2 −1 3 | =(3, −3, −3)

|(3, −3, −3)| = √27 = 3√3

Unitário:

(3, −3, −3)/(3√3)=(1/√3, −1/√3, −1/√3)

De módulo 5: multiplique o unitário por 5.

Resposta:

unitário: ± (1/√3, −1/√3, −1/√3) = ± ( √3/3 , −√3/3 , −√3/3 )

módulo 5: ± 5(1/√3, −1/√3, −1/√3) = ± ( , − , − )

Os dois sinais valem, porque o oposto também é ortogonal aos dois.

Sobre a segunda forma: é a racionalizada, obtida multiplicando cada coordenada por . Como √3·√3 = 3, o 1/√3 vira √3/3. Entregue nessa forma, a Parte F do Módulo 1 lista raiz no denominador como erro que custa ponto.

50 Produtos vetoriais da base canônica

Mostrar num gráfico um representante de: (a) j ∧ 2i; (b) 3i ∧ 2k.

Método. Lembre a tabela da base canônica, que sai da regra da mão direita:

Produto · Resultado · Produto · Resultado

i ∧ j · k · j ∧ i · −k

j ∧ k · i · k ∧ j · −i

k ∧ i · j · i ∧ k · −j

(a)

j ∧ 2i = 2(j ∧ i)= −2k

Um vetor de comprimento 2 sobre o eixo z, apontando para baixo.

(b)

3i ∧ 2k = 6(i ∧ k)= −6j

Um vetor de comprimento 6 sobre o eixo y, apontando no sentido negativo.

ÁREA (EXERCÍCIOS 51 A 60)

51 Norma do produto vetorial, sem coordenadas

Sabendo que |a| = 3, |b| = √2 e 45° é o ângulo entre a e b, calcular |a ∧ b|.

|a ∧ b| = |a|·|b|·sen θ = 3 · √2 · sen 45° = 3 · √2 ·(√2/2)= 3 ·(2/2)

Resposta: 3.

52 Achar uma norma a partir do produto vetorial

Se |u ∧ v| = 3√3, |u| = 3 e 60° é o ângulo entre u e v, determinar |v|.

3√3 = 3 · |v| · sen 60° = 3 · |v| ·(√3/2)

|v| = 3√3/(3√3/2)= 2

Resposta: |v| = 2.

53 Módulo 3, ortogonal a duas combinações

Dados a = (3, 4, 2) e b = (2, 1, 1), obter um vetor de módulo 3 que seja ao mesmo tempo ortogonal a 2a − b e a + b.

2a − b =(4, 7, 3)a + b =(5, 5, 3)

(4,7,3)∧(5,5,3)= | i j k ; 4 7 3 ; 5 5 3 |

i: 7·3 − 3·5 = 21 − 15 = 6

j: 4·3 − 3·5 = 12 − 15 = −3, com o menos: +3

k: 4·5 − 7·5 = 20 − 35 = −15

|(6, 3, −15)| = √(36 + 9 + 225)= √270 = 3√30

Para módulo 3, multiplique por 3/(3√30) = 1/√30:

(6/√30, 3/√30, −15/√30)

Racionalizando (multiplique cada coordenada por , com √30·√30 = 30):

6√30/30 = √30/5 3√30/30 = √30/10 −15√30/30 = −√30/2

Resposta: ± ( , − ). Confira a norma: ( + + ) = 1,2 + 0,3 + 7,5 = 9, e √9 = 3. (confere)

54 Área de paralelogramo por dois vetores

Calcular a área do paralelogramo definido pelos vetores u = (3, 1, 2) e v = (4, −1, 0).

u ∧ v = | i j k ; 3 1 2 ; 4 −1 0 |

i: 1·0 − 2·(−1) = 2

j: 3·0 − 2·4 = −8, com o menos: +8

k: 3·(−1) − 1·4 = −7

|(2, 8, −7)| = √(4 + 64 + 49)= √117

E √117 simplifica: 117 = 9 · 13, e 9 é quadrado perfeito.

√117 = √(9 · 13)= √9 · √13 = 3√13

Resposta: área = 3√13 ≈ 10,82. Parar em √117 custa a mesma meia-linha que custaria parar em √48 na questão 1 da prova.

55 Provar paralelogramo e calcular a área

Mostrar que o quadrilátero de vértices A(1,−2,3), B(4,3,−1), C(5,7,−3) e D(2,2,1) é um paralelogramo e calcular sua área.

Prova.

AB = B − A =(3, 5, −4)DC = C − D =(3, 5, −4)

Como AB = DC, o quadrilátero é um paralelogramo. ∎

Área. Use dois lados adjacentes: AB e AD.

AD = D − A =(1, 4, −2)

AB ∧ AD = | i j k ; 3 5 −4 ; 1 4 −2 |

i: 5·(−2) − (−4)·4 = −10 + 16 = 6

j: 3·(−2) − (−4)·1 = −6 + 4 = −2, com o menos: +2

k: 3·4 − 5·1 = 7

|(6, 2, 7)| = √(36 + 4 + 49)= √89

Resposta: área = √89 ≈ 9,43.

56 Área com lados escalados

Calcular a área do paralelogramo cujos lados são determinados por 2u e −v, sendo u = (2, −1, 0) e v = (1, −3, 2).

Método. Os escalares saem para fora, em módulo.

|2u ∧(−v)| = |2|·|−1|·|u ∧ v| = 2·|u ∧ v|

u ∧ v = | i j k ; 2 −1 0 ; 1 −3 2 | =(−2, −4, −5)

|(−2,−4,−5)| = √(4+16+25)= √45 = 3√5

Resposta: área = 2 · 3√5 = 6√5 ≈ 13,42.

57 Áreas de quatro triângulos

Calcular a área do triângulo de vértices…

Método comum aos quatro: área = ½ · |AB ∧ AC|.

(a) A(−1, 0, 2), B(−4, 1, 1), C(0, 1, 3)

AB =(−3, 1, −1)AC =(1, 1, 1)

AB ∧ AC =(1·1−(−1)·1, −((−3)·1−(−1)·1), −3·1−1·1)=(2, 2, −4)

|(2,2,−4)| = √24 = 2√6 Área = √6 ≈ 2,45

(b) A(1, 0, 1), B(4, 2, 1), C(1, 2, 0)

AB =(3, 2, 0)AC =(0, 2, −1)

AB ∧ AC =(−2, 3, 6)|(−2,3,6)| = √49 = 7 Área = 7/2 = 3,5

(c) A(2, 3, −1), B(3, 1, −2), C(−1, 0, 2)

AB =(1, −2, −1)AC =(−3, −3, 3)

AB ∧ AC =(−9, 0, −9)|(−9,0,−9)| = √162 = 9√2 Área = 9√2/2 ≈ 6,36

(d) A(−1, 2, −2), B(2, 3, −1), C(0, 1, 1)

AB =(3, 1, 1)AC =(1, −1, 3)

AB ∧ AC =(4, −8, −4)|(4,−8,−4)| = √96 = 4√6 Área = 2√6 ≈ 4,90

58 Paralelogramo dado por um vértice e uma diagonal

Calcular a área do paralelogramo que tem um vértice no ponto A(3, 2, 1) e uma diagonal de extremidades B(1, 1, −1) e C(0, 1, 2).

Método. Se BC é uma diagonal, então B e C são os outros dois vértices adjacentes a A. Logo os lados que saem de A são AB e AC.

AB =(−2, −1, −2)AC =(−3, −1, 1)

AB ∧ AC = | i j k ; −2 −1 −2 ; −3 −1 1 |

i: (−1)(1) − (−2)(−1) = −1 − 2 = −3

j: (−2)(1) − (−2)(−3) = −2 − 6 = −8, com o menos: +8

k: (−2)(−1) − (−1)(−3) = 2 − 3 = −1

|(−3, 8, −1)| = √(9 + 64 + 1)= √74

Resposta: área = √74 ≈ 8,60.

59 Área dada, incógnita no vértice

Calcular x, sabendo que A(x, 1, 1), B(1, −1, 0) e C(2, 1, −1) são vértices de um triângulo de área √29/2.

Método. Escreva a área em função de x e resolva. Trabalhe com o quadrado, para eliminar a raiz.

AB =(1−x, −2, −1)AC =(2−x, 0, −2)

AB ∧ AC =((−2)(−2)−(−1)(0), −[(1−x)(−2)−(−1)(2−x)] , 0 −(−2)(2−x))

=(4 , −[−2 + 2x + 2 − x] , 4 − 2x)=(4, −x, 4 − 2x)

Como a área do triângulo é √29/2, a norma do produto vetorial é √29, e o quadrado é 29:

16 + x^2 +(4−2x)^2 = 29 ⟹ 16 + x^2 + 16 − 16x + 4x^2 = 29

5x^2 − 16x + 3 = 0

Discriminante: 256 − 60 = 196 = 14². Raízes: x = (16 ± 14)/10.

Resposta: x = 3 ou x = 1/5.

60 Altura de um triângulo

Dado o triângulo de vértices A(0, 1, −1), B(−2, 0, 1) e C(1, −2, 0), calcular a medida da altura relativa ao lado BC.

Método. Ache a área pelo produto vetorial, ache o lado BC pela norma, e isole a altura em área = base × altura ÷ 2.

AB =(−2, −1, 2)AC =(1, −3, 1)

AB ∧ AC = | i j k ; −2 −1 2 ; 1 −3 1 |

i: (−1)(1) − (2)(−3) = −1 + 6 = 5

j: (−2)(1) − (2)(1) = −4, com o menos: +4

k: (−2)(−3) − (−1)(1) = 6 + 1 = 7

|(5, 4, 7)| = √(25 + 16 + 49)= √90 = 3√10 Área = 3√10/2

BC = C − B =(3, −2, −1)|BC| = √(9+4+1)= √14

h = 2·Área/|BC| = 3√10/√14 = 3√10·√14/14 = 3√140/14 = 3·2√35/14 = 3√35/7

Resposta: h = 3√35/7 ≈ 2,54.

EQUAÇÕES VETORIAIS E DEMONSTRAÇÕES (EXERCÍCIOS 61 A 66)

61 Vetor com produto vetorial dado

Determinar v tal que v seja ortogonal ao eixo dos y e u = v ∧ w, sendo u = (1, 1, −1) e w = (2, −1, 1).

Método. Ortogonal ao eixo y significa segunda coordenada nula: v = (a, 0, c). Monte o produto vetorial e iguale a u.

v ∧ w = | i j k ; a 0 c ; 2 −1 1 | =(0·1 − c·(−1), −(a·1 − c·2), a·(−1)− 0·2)

=(c, 2c − a, −a)

Igualando a (1, 1, −1):

Coordenada · Equação · Resultado

x · c = 1 · c = 1

z · −a = −1 · a = 1

y (conferência) · 2(1) − 1 = 1 (confere) · consistente

Resposta: v = (1, 0, 1).

62 Vetor paralelo com produto vetorial dado

Dados u = (0, 1, −1), v = (2, −2, −2) e w = (1, −1, 2), determinar x, paralelo a w, que satisfaz x ∧ u = v.

Método. Paralelo a w significa x = k·w. Calcule w ∧ u uma vez e ache k.

w ∧ u = | i j k ; 1 −1 2 ; 0 1 −1 | =((−1)(−1)− 2·1 , −(1·(−1)− 2·0), 1·1 −(−1)·0)=(−1, 1, 1)

Então x ∧ u = k(w ∧ u) = k(−1, 1, 1) = (2, −2, −2), o que dá k = −2.

Resposta: x = −2(1, −1, 2) = (−2, 2, −4).

63 Sistema com produto vetorial

Dados u = (2, 1, 0) e v = (3, −6, 9), determinar x que satisfaz v = u ∧ x e que seja ortogonal a w = (1, −2, 3).

Método. Escreva x = (a, b, c), monte u ∧ x e iguale a v.

u ∧ x = | i j k ; 2 1 0 ; a b c | =(1·c − 0·b , −(2c − 0·a), 2b − 1·a)=(c, −2c, 2b − a)

Igualando a (3, −6, 9):

Coordenada · Equação · Resultado

x · c = 3 · c = 3

y · −2c = −6 · (confere) consistente

z · 2b − a = 9 · a = 2b − 9

Sobra um parâmetro livre. Agora a segunda condição:

⟨x, w⟩ =(2b−9)(1)+ b(−2)+ 3(3)= 2b − 9 − 2b + 9 = 0

Ela se satisfaz automaticamente, para qualquer b. Logo o problema tem infinitas soluções.

Resposta: x = (2y − 9, y, 3), com y ∈ ℝ.

64 Demonstração: a ∧ b = b ∧ c = c ∧ a

Demonstrar que a ∧ b = b ∧ c = c ∧ a, sabendo que a + b + c = 0⃗.

Demonstração.

Da hipótese, c = −a − b. Então:

b ∧ c = b ∧(−a − b)= −(b ∧ a)−(b ∧ b)

Como b ∧ b = 0⃗ e −(b ∧ a) = a ∧ b (anticomutatividade):

b ∧ c = a ∧ b

Da mesma forma, substituindo agora a = −b − c:

c ∧ a = c ∧(−b − c)= −(c ∧ b)−(c ∧ c)= b ∧ c

Logo a ∧ b = b ∧ c = c ∧ a. ∎

ESTE EXERCÍCIO É O ITEM (G) DA QUESTÃO 4 DA PROVA

Lá, o professor pede exatamente "mostre que u ∧ v = v ∧ w", sob a hipótese u + v + w = 0⃗. É este exercício, com outras letras.

E a consequência, que o item (h) da prova pede, é imediata: se v ∧ w = u ∧ v, então ⟨u, v ∧ w⟩ = ⟨u, u ∧ v⟩ = 0, porque u ∧ v é ortogonal a u.

65 Duas demonstrações

Sendo u e v vetores do espaço, com v ≠ 0:

(a) determinar o número real r tal que u − rv seja ortogonal a v;

(b) mostrar que (u + v) ∧ (u − v) = 2v ∧ u.

(a)

Impondo ortogonalidade:

⟨u − rv, v⟩ = 0 ⟹ ⟨u, v⟩ − r⟨v, v⟩ = 0 ⟹ r = ⟨u, v⟩/|v|^2

Resposta: r = ⟨u, v⟩ / |v|².

Observação: é exatamente o escalar da projeção ortogonal de u sobre v. Faz sentido: u − rv é a parte de u que sobra depois de retirar a componente na direção de v, e essa sobra é perpendicular a v.

(b)

Abrindo pela distributiva:

(u+v)∧(u−v)= u∧u − u∧v + v∧u − v∧v

Os termos u ∧ u e v ∧ v são nulos, e −u∧v = v∧u:

= v∧u + v∧u = 2(v ∧ u) ∎ fim da demonstração

66 A base média de um triângulo

Demonstrar que o segmento cujos extremos são os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e igual à sua metade.

Demonstração.

Seja o triângulo ABC. Sejam M o ponto médio de AB e N o ponto médio de AC. Então:

AM = ½ AB e AN = ½ AC

O segmento que liga M a N, como vetor:

MN = AN − AM = ½ AC − ½ AB = ½(AC − AB)= ½ BC

Da igualdade MN = ½ BC seguem as duas conclusões pedidas:

MN é paralelo a BC, porque é múltiplo escalar dele;

|MN| = ½ |BC|, porque a norma escala pelo módulo do fator. ∎

PRODUTO MISTO, COPLANARIDADE E VOLUME (EXERCÍCIOS 67 A 75)

67 Vetores coplanares?

Verificar se são coplanares os seguintes vetores:

(a) u = (3, −1, 2), v = (1, 2, 1), w = (−2, 3, 4)

(b) u = (2, −1, 0), v = (3, 1, 2), w = (7, −1, 2)

Método. Coplanares ⟺ produto misto igual a zero ⟺ determinante 3×3 nulo.

(a)

| 3 −1 2 ; 1 2 1 ; −2 3 4 | = 3(2·4 − 1·3)−(−1)(1·4 − 1·(−2))+ 2(1·3 − 2·(−2))

= 3(5)+ 1(6)+ 2(7)= 15 + 6 + 14 = 35

Diferente de zero. Resposta (a): não são coplanares.

(b)

| 2 −1 0 ; 3 1 2 ; 7 −1 2 | = 2(1·2 − 2·(−1))−(−1)(3·2 − 2·7)+ 0

= 2(4)+ 1(−8)+ 0 = 8 − 8 = 0

Resposta (b): sim, são coplanares.

68 Pontos coplanares?

Verificar se são coplanares os pontos:

Método. Quatro pontos A, B, C, D são coplanares ⟺ ⟨AB, AC ∧ AD⟩ = 0.

(a) A(1,1,1), B(−2,−1,−3), C(0,2,−2), D(−1,0,−2)

AB =(−3, −2, −4)AC =(−1, 1, −3)AD =(−2, −1, −3)

| −3 −2 −4 ; −1 1 −3 ; −2 −1 −3 | = −3(−3−3)+ 2(3−6)− 4(1+2)= 18 − 6 − 12 = 0

Resposta (a): sim, são coplanares.

(b) A(1,0,2), B(−1,0,3), C(2,4,1), D(−1,−2,2)

AB =(−2, 0, 1)AC =(1, 4, −1)AD =(−2, −2, 0)

| −2 0 1 ; 1 4 −1 ; −2 −2 0 | = −2(0−2)− 0(0−2)+ 1(−2+8)= 4 + 6 = 10

Resposta (b): não são coplanares.

(c) A(2,1,3), B(3,2,4), C(−1,−1,−1), D(0,1,−1)

AB =(1, 1, 1)AC =(−3, −2, −4)AD =(−2, 0, −4)

| 1 1 1 ; −3 −2 −4 ; −2 0 −4 | = 1(8−0)− 1(12−8)+ 1(0−4)= 8 − 4 − 4 = 0

Resposta (c): sim, são coplanares.

69 Coplanaridade com incógnita

Para que valor de m os pontos A(m, 1, 2), B(2, −2, −3), C(5, −1, 1) e D(3, −2, −2) são coplanares?

AB =(2−m, −3, −5)AC =(5−m, −2, −1)AD =(3−m, −3, −4)

Impondo determinante nulo e expandindo pela primeira linha:

(2−m)·[(−2)(−4)−(−1)(−3)] −(−3)·[(5−m)(−4)−(−1)(3−m)] +(−5)·[(5−m)(−3)−(−2)(3−m)]

Calculando os três colchetes, um de cada vez:

primeiro: 8 − 3 = 5

segundo: −20 + 4m + 3 − m = 3m − 17

terceiro: −15 + 3m + 6 − 2m = m − 9

Substituindo:

(2−m)·5 + 3·(3m − 17)− 5·(m − 9)= 10 − 5m + 9m − 51 − 5m + 45 = −m + 4

Os termos em m² e m³ não aparecem porque o m entra em apenas uma linha do determinante, por isso a equação é do 1º grau, e não do 3º. Igualando a zero:

−m + 4 = 0 ⟹ m = 4

Conferindo com m = 4: AB = (−2,−3,−5), AC = (1,−2,−1), AD = (−1,−3,−4).

| −2 −3 −5 ; 1 −2 −1 ; −1 −3 −4 | = −2(8−3)+ 3(−4−1)− 5(−3−2)= −10 − 15 + 25 = 0 (confere)

Resposta: m = 4.

70 Valor de k para coplanaridade

Determinar o valor de k para que os seguintes vetores sejam coplanares:

Método. Determinante 3×3 igual a zero, resolvido em k.

(a) a = (2, −1, k), b = (1, 0, 2), c = (k, 3, k)

| 2 −1 k ; 1 0 2 ; k 3 k | = 2(0·k − 2·3)+ 1(1·k − 2·k)+ k(3 − 0)= −12 − k + 3k = 2k − 12 = 0

Resposta (a): k = 6.

(b) a = (2, 1, 0), b = (1, 1, −3), c = (k, 1, −k)

| 2 1 0 ; 1 1 −3 ; k 1 −k | = 2(−k + 3)− 1(−k + 3k)+ 0 = −2k + 6 − 2k = 6 − 4k = 0

Resposta (b): k = 3/2.

(c) a = (2, k, 1), b = (1, 2, k), c = (3, 0, −3)

| 2 k 1 ; 1 2 k ; 3 0 −3 | = 2(−6 − 0)− k(−3 − 3k)+ 1(0 − 6)= −12 + 3k + 3k^2 − 6

3k^2 + 3k − 18 = 0 ⟹ k^2 + k − 6 = 0

Resposta (c): k = 2 ou k = −3.

71 Volume de um paralelepípedo

Sejam u = (1, 1, 0), v = (2, 0, 1), w₁ = 3u − 2v, w₂ = u + 3v e w₃ = i + j − 2k. Determinar o volume do paralelepípedo definido por w₁, w₂ e w₃.

Método. Monte os três vetores e calcule o módulo do produto misto.

w_1 = 3(1,1,0)− 2(2,0,1)=(3,3,0)−(4,0,2)=(−1, 3, −2)

w_2 =(1,1,0)+ 3(2,0,1)=(1,1,0)+(6,0,3)=(7, 1, 3)

w_3 =(1, 1, −2)

| −1 3 −2 ; 7 1 3 ; 1 1 −2 |

Expandindo pela primeira linha:

= −1·(1·(−2) − 3·1) − 3·(7·(−2) − 3·1) + (−2)·(7·1 − 1·1)

= −1·(−5) − 3·(−17) − 2·(6)

= 5 + 51 − 12 = 44

Resposta: volume = 44 unidades de volume.

72 Volume dado, incógnita

Calcular m para que o volume do paralelepípedo determinado por v₁ = 2i − j, v₂ = 6i + mj − 2k e v₃ = −4i + k seja igual a 10.

| 2 −1 0 ; 6 m −2 ; −4 0 1 | = 2(m·1 −(−2)·0)+ 1(6·1 −(−2)(−4))+ 0

= 2m + 1(6 − 8)= 2m − 2

Como o volume é o módulo, há dois casos:

2m − 2 = 10 ⟹ m = 6 ou 2m − 2 = −10 ⟹ m = −4

Resposta: m = 6 ou m = −4.

73 Volume dado, incógnita (2)

Os vetores a = (2, −1, −3), b = (−1, 1, −4) e c = (m+1, m, −1) determinam um paralelepípedo de volume 42. Calcular m.

| 2 −1 −3 ; −1 1 −4 ; m+1 m −1 |

Expandindo pela primeira linha:

= 2·(1·(−1) − (−4)·m) + 1·((−1)(−1) − (−4)(m+1)) − 3·((−1)m − 1·(m+1))

= 2(4m − 1) + (1 + 4m + 4) − 3(−m − m − 1)

= 8m − 2 + 4m + 5 + 6m + 3 = 18m + 6

Dois casos:

18m + 6 = 42 ⟹ m = 2 ou 18m + 6 = −42 ⟹ m = −8/3

Resposta: m = 2 ou m = −8/3.

74 Volume dado, com pontos

Dados A(1,−2,3), B(2,−1,−4), C(0,2,0) e D(−1,m,1), determinar m para que o volume do paralelepípedo determinado por AB, AC e AD seja 20 unidades de volume.

AB =(1, 1, −7)AC =(−1, 4, −3)AD =(−2, m+2, −2)

| 1 1 −7 ; −1 4 −3 ; −2 m+2 −2 |

Expandindo:

= 1·(4·(−2) − (−3)(m+2)) − 1·((−1)(−2) − (−3)(−2)) + (−7)·((−1)(m+2) − 4·(−2))

= (−8 + 3m + 6) − (2 − 6) − 7(−m − 2 + 8)

= (3m − 2) + 4 − 7(6 − m) = 3m − 2 + 4 − 42 + 7m = 10m − 40

Dois casos:

10m − 40 = 20 ⟹ m = 6 ou 10m − 40 = −20 ⟹ m = 2

Resposta: m = 6 ou m = 2.

75 Volume do tetraedro

Calcular o volume do tetraedro ABCD, sendo dados:

Método. O tetraedro é um sexto do paralelepípedo determinado pelos mesmos três vetores.

V(tetraedro)=(1/6)· | ⟨AB, AC ∧ AD⟩ |

(a) A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1), D(4,2,7)

AB =(−1, 1, 0)AC =(−1, 0, 1)AD =(3, 2, 7)

AC ∧ AD?, mais direto: | −1 1 0 ; −1 0 1 ; 3 2 7 |

Expandindo pela primeira linha:

= −1·(0·7 − 1·2) − 1·((−1)·7 − 1·3) + 0

= −1·(−2) − 1·(−10) = 2 + 10 = 12

V = 12/6 = 2

Resposta (a): volume = 2.

ESTE É A QUESTÃO 1 DA PROVA

Os quatro pontos são exatamente os da questão 1 da P1. Lá o professor pede o volume do paralelepípedo, que é 12, em vez do tetraedro, e conduz você por nove itens até chegar nele.

Se a sua conta aqui der 2, a sua questão 1 vai dar 12. É a mesma conta.

(b) A(−1,3,2), B(0,1,−1), C(−2,0,1), D(1,−2,0)

Para este, calcular também a medida da altura traçada do vértice A.

AB =(1, −2, −3)AC =(−1, −3, −1)AD =(2, −5, −2)

| 1 −2 −3 ; −1 −3 −1 ; 2 −5 −2 |

Expandindo pela primeira linha:

= 1·((−3)(−2) − (−1)(−5)) + 2·((−1)(−2) − (−1)(2)) − 3·((−1)(−5) − (−3)(2))

= 1·(6 − 5) + 2·(2 + 2) − 3·(5 + 6)

= 1 + 8 − 33 = −24

V = |−24|/6 = 4

A altura traçada de A. Ela é relativa à face oposta, o triângulo BCD. Use a fórmula da pirâmide, V = (1/3)·(área da base)·altura.

BC = C − B =(−2, −1, 2)BD = D − B =(1, −3, 1)

BC ∧ BD = | i j k ; −2 −1 2 ; 1 −3 1 |

i: (−1)(1) − (2)(−3) = −1 + 6 = 5

j: (−2)(1) − (2)(1) = −4, com o menos: +4

k: (−2)(−3) − (−1)(1) = 6 + 1 = 7

|(5, 4, 7)| = √90 = 3√10 Área de BCD = 3√10/2

h = 3V/área = 3·4/(3√10/2)= 12 · 2/(3√10)= 24/(3√10)= 8/√10

Racionalizando, multiplique por :

8/√10 = 8√10/10 = 4√10/5

Resposta (b): volume = 4 e altura = ≈ 2,53.

TABELA DE RESPOSTAS, CONFERÊNCIA RÁPIDA

Ex. · Resposta · Ex. · Resposta

42a · (2, 2, −1) · 57a · √6

42b · (−1, −1, 0) · 57b · 7/2

42c · (−2, −2, 2) · 57c · 9√2/2

42d · (6, 6, −6) · 57d · 2√6

42e · 3 · 58 · √74

42f · −1 e −1 · 59 · 3 ou 1/5

42g · (4,−1,3) e (1,−4,−6) · 60 · 3√35/7

42h · 1 · 61 · (1, 0, 1)

43a · (−2, 4, −6) · 62 · (−2, 2, −4)

43b · (4, −8, 12) · 63 · (2y − 9, y, 3)

44 · (12, −8, −12) · 65a · r = ⟨u,v⟩/|v|²

45 · (9, 21, 3) = 3(3,7,1) · 67 · a) não b) sim

46 · 10 = 10 · 68 · a) sim b) não c) sim

47 · m = −5 · 69 · m = 4

48 · x = −15b, y = 3c/2 · 70a · k = 6

49 · ±(√3/3, −√3/3, −√3/3) · 70b · k = 3/2

50a · −2k · 70c · k = 2 ou −3

50b · −6j · 71 · 44 u.v.

51 · 3 · 72 · m = 6 ou −4

52 · 2 · 73 · m = 2 ou −8/3

53 · ±(, −) · 74 · m = 6 ou 2

54 · 3√13 · 75a · 2

55 · √89 · 75b · 4 e

56 · 6√5

OS SEIS EXERCÍCIOS QUE MAIS RENDEM PARA A P1

Se o tempo apertar, faça só estes, eles cobrem, juntos, tudo o que as quatro questões pedem:

22 (Volume 1), triângulo retângulo por produto escalar → questão 2

40 (Volume 1), a identidade com u + v + w = 0 → questão 4, item (i)

57, quatro áreas de triângulo por produto vetorial → questões 2 e 3

60, altura de triângulo a partir da área → questão 3, item (h)

64, a ∧ b = b ∧ c = c ∧ a sob soma nula → questão 4, itens (g) e (h)

75(a), o volume do tetraedro dos quatro pontos da prova → questão 1 inteira